1、2023年四川省达州市开江县中考一模数学试卷一、选择题(每小题4分,共40分)1.下列实数中,比小的数是( )A.B.5C.D.12.下列各式计算正确的是( )A.B.C.D.3.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形,它的左视图是( )A.B.C.D.4.如图,生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下,如果,那么的度数为( )A.B.C.D.5.孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书大约在一千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步。问人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若每辆车乘坐2人,则有9人步行;问人与车各多少?设有人
2、,辆车,可列方程为( )A.B.C.D.6.2023年国内生产总值增长5.5%左右,城镇新增就业1200万人以上。请将数“1200万”用科学记数法表示为( )A.B.C.D.7.如图,的直径垂直于弦,垂足为,的长为( )A.B.C.4D.88.如图,在中,过的中点作,垂足为点,延长交的延长线于点,连接,则的长为( )A.4B.C.8D.9.如图,在平面直角坐标系中,点,在轴上,点,在直线上,若点的坐标为,且,都是等边三角形,从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为,则可表示为( )A.B.C.D.10.二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,与轴的交点为、,其中,有下列结论:;其中,正确的
3、结论有( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(每小题4分,共20分)11.因式分解:_.12.已知、是一元二次方程的两个实数根,则的值是_.13.如图,在中,分别以点,为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点、,作直线交、于点、,连接、,则_.14.如图,正方形的边长为4,、两点分别位于轴、轴上,点在上,交于点,函数的图象经过点,若,则的值为_.15.如图,将正方形纸片沿折叠,使点落在边的点处(不与点,点重合),点落在点处,交于点,连接、,交于点,连接.下列结论:;平分;若,则,其中正确结论的序号是_.三、解答题(共90分)16.(1)(4分)计算:;(2)(4分),选一个适合的数代入求值.1
4、7.(8分)今年是中国共产主义青年团成立100周年,某校组织学生观看庆祝大会实况进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛,并将竞赛成绩(满分100分)进行整理(成绩得分用表示),其中记为“较差”,记为“一般”,记为“良好”,记为“优秀”,绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.请根据统计图提供的信息,回答如下问题:(1)_,_,并将直方图补充完整;(2)已知这组的具体成绩为93,94,99,91,100,94,96,98,这8个数据的中位数是_,众数是_;(3)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生,1名男生,现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛,请用列表或画树状图的
5、方法,求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.18.(6分)某小组开展数学实践活动,在大跳台另一侧进行测量.如图,已知测倾器高度为1米,在测点处安置测倾器,测得点处的仰角,在与点相距7.8米的测点处安置测倾器,测得点处的仰角(,与在一条直线上),求大跳台起点到地面的高度.(参考数据:,计算结果精确到1米)19.(10分)已知:在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为,.(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出向下平移4个单位,再向左平移1个单位得到的并直接写出点的坐标;(2)画出绕点顺时针方向旋转后得到的,并直接写出点的坐标;(3)请求出(2)中旋转过程中所扫过的面积.20.(8分
6、)如图,在四边形中,对角线,交于点,且平分,过点作交的延长线于点.(1)求证:四边形是菱形;(2)若,求的面积.21.(8分)某超市经销一种商品,每件成本为40元,试经销发现,该种商品的每天销售量(件数)与销售单价(元/件)满足一次函数关系,其每天销售单价,销售量的几组对应值如表所示:销售单价(元/件)556070销售量(件)706040(1)直接写出(件)与(元/件)之间的函数表达式;(2)求销售单价定为多少时,当天的销售利润是1050元?(3)销售过程中要求运出的商品数不少于60件,求销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少?22.(9分)如图,是的直径,点在上,的平分
7、线交于点,过点作,分别交、的延长线于点、.(1)求证:是的切线;(2)若的半径为5,求的长.23.(9分)定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如:点是函数的图象的“等值点”.(1)分别判断函数,的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;(2)设函数,的图象的“等值点”分别为点,过点作轴,垂足为.当的面积为3时,求的值;(3)若函数的图象记为,将其沿直线翻折后的图象记为.当,两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出的取值范围.24.(12分)如图,抛物线经过,两点,与轴交于另一点,点是抛物线的顶点.(
8、1)求抛物线的解析式及点的坐标;(2)如图1,连接,点在直线上方的抛物线上,连接,当面积最大时,求点坐标;(3)如图2,连接、,在抛物线上是否存在点,使,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.25.(12分)将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置,与在同一条直线上,与在同一条直线上.将正方形绕点逆时针旋转一周,直线与直线交于点.(1)直接写出与的关系;(2)如图2,当点在线段上时,求的面积;(3)连接,当时,求的值.参考答案1-10 CBDCD CBDDC11. 12.16 13. 14. 15.16.(1)解:原式(2)解:原式,且且,且,当时,原式.17.(1)30%,1
9、6%.(2)95、94;(3)画树状图为:共有12种等可能情况,其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果,所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为.18.解:延长交于点,米,米,设米,米,在中,即,解得,则(米),答:首钢大跳台起点到地面的高度约为48米.19.解:(1)如图1,;(2)如图2,;(3),是等腰直角三角形,旋转过程中所扫过的面积.20.(1)证明:,又,四边形为平行四边形,又平分,四边形是菱形;(2)解:四边形是菱形,的面积.21.(1);(2)当天利润为1050元时,由题意得:,解得:,答:该天的销售单价应定为75元或55元;(3)设每天的销售利润为元,则,对称轴为直线,当时,
10、随的增大而增大,当时,.答:销售单价定为60元时,才能使当天的销售利润最大,最大利润是1200元.22.解:(1)连接,平分,是的切线;(2)连接,是的直径,又,则,又,在中,即,解得:,则,解得:,设,解得:经检验:是原方程的解,故的长为.23.解:(1)在中,令,得不成立,函数的图象上不存在“等值点”;在中,令,解得:,函数的图象上有两个“等值点”或;(2)在函数中,令,解得:,在函数中,令,解得:,轴,的面积为3,当时,解得,当时,方程没有实数根,当时,解得:,综上所述,的值为或;(3)令,解得:,函数的图象上有两个“等值点”或,当时,两部分组成的图象上必有2个“等值点”或,:,:,令,
11、整理得:,的图象上不存在“等值点”,当时,有3个“等值点”、,当时,两部分组成的图象上恰有2个“等值点”,当时,两部分组成的图象上恰有1个“等值点”,当时,两部分组成的图象上没有“等值点”,综上所述,当,两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,或.24.(1)抛物线的解析式为:,顶点;(2)设,如图,当交轴于时,设,设的解析式为:,则,的解析式为:,则,解得(舍),当时,;如图,当与轴交于点时,过作于,是等腰直角三角形,设的解析式为:,则,的解析式为:,联立方程组得:解得:(舍),因为点在抛物线上,所以当时,综上所述,存在点或,使得.25.解:(1)相等,垂直;(2)如图2,当在线段上时,连接交于点,在中,在中,;(3)如图3,连接,则,由(1)知,延长至.使,连接,是等腰直角三角形,.