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2023年广东省中考数学冲刺专题训练13:图形的旋转(含答案解析)

1、2023年广东省中考数学冲刺专题练13图形的旋转一选择题(共15小题)1(2023龙川县一模)如图是一个正八边形,则它()A只是轴对称图形B只是中心对称图形C既是轴对称图形,也是中心对称图形D既不是轴对称图形,也不是中心对称图形2(2023化州市一模)下列图形是中心对称图形,也是轴对称图形的是()ABCD3(2023潮阳区模拟)在下列四个图案中,不是中心对称图形的是()ABCD4(2023郁南县校级模拟)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()ABCD5(2023封开县一模)在下列平面图形中,是中心对称图形的是()A平行四边形B等腰直角三角形C等边三角形D角6(2023封开县一模)如

2、图,ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30后得到的图形,若AOC的度数为100,则DOB的度数是()A30B36C45D407(2023深圳一模)已知点A(a,1)与点B(4,b)关于原点对称,则ab的值为()A5B5C3D38(2023南山区模拟)如图,ABC中,ABC45,BC4,tanACB3,ADBC于D,若将ADC绕点D逆时针方向旋转得到FDE,当点E恰好落在AC上,连接AF则AF的长为()A3510B31010C10D29(2023南海区校级模拟)如图,在ABC中,C20,将ABC绕点A顺时针旋转60得到ADE,AE与BC交于点F,则AFB的度数是()A60B70C80D9010(2

3、023阳山县一模)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A正六边形B正五边形C平行四边形D正三角形11(2023香洲区校级一模)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,b),则ab的值为()A4B4C12D1212(2023惠来县校级一模)下列图形中,是中心对称图形()A1个B2个C3个D4个13(2023东莞市校级一模)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A等边三角形B圆C矩形D平行四边形14(2023禅城区校级一模)如图,在RtABC中,C90,AC6,BC8,将ABC绕点A逆时针旋转得到ABC,使点C落在AB边上,连结BB,则sinBBC的值

4、为()A35B45C55D25515(2023潮阳区模拟)如图,将ABC绕点A逆时针旋转55得到ADE,若E70且ADBC于点F,则BAC的度数为()A65B70C75D80二填空题(共6小题)16(2023南山区校级模拟)如图,在ABC中,ACB90,ACBC4,P是ABC的高CD上一个动点,以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45得到BP,连接DP,则DP的最小值是 17(2023香洲区校级一模)在平面直角坐标系中,已知点P(5,5)与点Q(5,m2)关于原点对称,则m 18(2023惠城区校级一模)如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AEFG的位置,则图中阴影部分

5、的面积为 19(2023天河区校级一模)如图,正方形ABCD中,等腰直角EBF绕着B点旋转,BFEF,BFE90,则DE:AF 20(2023东莞市校级一模)点(2,6)关于原点对称的点的坐标是 21(2023东莞市校级一模)如图,在矩形ABCD中,AD3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DEEF,则AB的长为 三解答题(共9小题)22(2023南海区一模)如图,在ABC中,ACBC,点O是AB上的中点,将ABC绕着点O旋转180得ABD(1)求证:四边形ACBD是菱形;(2)如果B60,BC2,求菱形ACBD的面积23(2022南海区校级模拟)如

6、图,ABC中,C90,将BC绕点A逆时针旋转得到BC点C的对应点C恰好落在AB边上(1)作图:作出AB1C1(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)已知AC5,BC53,求点B所经过的路径长24(2022惠城区校级二模)如图,在RtABC中,AB8,ACB90,A60,点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动,当点P不与点A,B重合时,作BPD120,边PD交折线ACCB于点D,点A关于直线PD的对称点为E,连结ED,EP得到PDE设点P的运动时间为t(秒)(1)直接写出线段PD的长(用含t的代数式表示);(2)当点E落在边BC上时,求t的值;(3)设PDE与ABC重合部分图形的面积

7、为S,求S与t的函数关系式,并直接写出S的最大值25(2022盐田区二模)定义:将图形M绕点P顺时针旋转90得到图形N,则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”例如:在图中,点D为点C关于点P的“垂直图形”(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B若点A的坐标为(0,2),直接写出点B的坐标;若点B的坐标为(2,1),直接写出点A的坐标;(2)已知E(3,3),F(2,3),G(a,0)线段EF关于点G的“垂直图形”记为EF,点E的对应点为E,点F的对应点为F求点E的坐标;当点G运动时,求FF的最小值26(2022东莞市校级一模)如图,ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中点A的坐标是(1,0

8、),现将ABC绕点A顺时针旋转90得AB1C1(1)画出旋转后的AB1C1;(2)点C的坐标是 (3)函数y=kx(x0,k为常数)的图象经过点C1,画出该函数图象,P为该函数图象上的动点,当P在直线AC1的上方且APC1的面积为92时,求P点坐标27(2022紫金县二模)如图,将ABC绕点C逆时针旋转90得DEC,其中点A,点B的对应点分别是点D,点E,点B落在DE上,延长AC交DE于点F,AB,DC交于点G(1)若C是AF的中点,求证:ABC是等腰三角形;(2)若BC5,BG=2,求BD的长28(2022东莞市校级一模)如图1,正方形ADEF中,点B、C分别在边AD、AF上,且ABAC(1

9、)如图2,当ABC绕点A逆时针旋转a(0a90)时,请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系,并说明理由;(2)当ABC绕点A逆时针旋转45时,当AB2,AD=3+2时,求CFA的正弦值29(2022黄埔区二模)如图1,在直角坐标系中,点A(2,0),点C(0,2),点D,点E分别为OA,OC的中点,ODE绕原点O顺时针旋转角(090)得OD1E1,射线CD1,AE1相交于点F(1)求证:OCD1OAE1;(2)如图2,在ODE旋转过程中,当点D1恰好落线段CE上时,求AF的长;(3)如图3,在旋转角从090逐渐增大ODE旋转过程中,求点F的运动路线长30(2022东莞市一模)如图1,正方形A

10、DEF中,DAF90,点B、C分别在边AD、AF上,且ABAC(1)如图2,当ABC绕点A逆时针旋转(090)时,请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系,并说明理由;(2)当ABC绕点A逆时针旋转45时,当AB2,AD=3+2时,求CFA的正弦值参考答案解析一选择题(共15小题)1(2023龙川县一模)如图是一个正八边形,则它()A只是轴对称图形B只是中心对称图形C既是轴对称图形,也是中心对称图形D既不是轴对称图形,也不是中心对称图形【解答】解:正八边形既是轴对称图形,也是中心对称图形故选:C2(2023化州市一模)下列图形是中心对称图形,也是轴对称图形的是()ABCD【解答】解:A、既是中

11、心对称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;B、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;C、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;D、不中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;故选:A3(2023潮阳区模拟)在下列四个图案中,不是中心对称图形的是()ABCD【解答】解:观察四个选项可知,只有A选项中的图形绕某一点旋转180后不能与自身重合,因此A选项中的图形不是中心对称图形,故选:A4(2023郁南县校级模拟)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()ABCD【解答】解:A选项选项中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,不符合题意;B项选项中的图形是中心

12、对称图形,但不是轴对称图形,不符合题意;C项选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形,符合题意;D选项中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,不符合题意;故选:C5(2023封开县一模)在下列平面图形中,是中心对称图形的是()A平行四边形B等腰直角三角形C等边三角形D角【解答】解:A、平行四边形是中心对称图形,故本选项正确,符合题意;B、直角三角形不是中心对称图形,故本选项错误,不符合题意;C、等边三角形不是中心对称图形,故本选项错误,不符合题意;D、角不是中心对称图形,故本选项错误,不符合题意故选:A6(2023封开县一模)如图,ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30后得到的图形,若AOC

13、的度数为100,则DOB的度数是()A30B36C45D40【解答】解:ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30后得到的图形,AODBOC30,BODAOCAODBOC100303040,故选:D7(2023深圳一模)已知点A(a,1)与点B(4,b)关于原点对称,则ab的值为()A5B5C3D3【解答】解:点A(a,1)与点B(4,b)关于原点对称,a4,b1ab413故选:C8(2023南山区模拟)如图,ABC中,ABC45,BC4,tanACB3,ADBC于D,若将ADC绕点D逆时针方向旋转得到FDE,当点E恰好落在AC上,连接AF则AF的长为()A3510B31010C10D2【解答】解:

14、过点D作DHAF于点H,ABC45,ADBC,ADBD,tanACB=ADCD=3,设CDx,AD3x,BC3x+x4,x1,CD1,AD3,AC=CD2+AD2=12+32=10,将ADC绕点D逆时针方向旋转得到FDE,DCDE,DADF3,CDEADF,DCEDAF,tanDAH3,设AHa,DH3a,AH2+DH2AD2,a2+(3a)232,a=31010,AH=31010,AF2AH=3105故选:A9(2023南海区校级模拟)如图,在ABC中,C20,将ABC绕点A顺时针旋转60得到ADE,AE与BC交于点F,则AFB的度数是()A60B70C80D90【解答】解:ABC绕点A顺时

15、针旋转60得ADE,CAE60,C20,AFC100,AFB80故选:C10(2023阳山县一模)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A正六边形B正五边形C平行四边形D正三角形【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误故选:A11(2023香洲区校级一模)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,b),则ab的值为()A4B4C12D12【解答】解:在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对

16、称点为(4,b),得a+24,b2,解得a6,b2,ab12故选:D12(2023惠来县校级一模)下列图形中,是中心对称图形()A1个B2个C3个D4个【解答】解:根据中心对称图形的概念,属于中心对称图形的为:;故选:B13(2023东莞市校级一模)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A等边三角形B圆C矩形D平行四边形【解答】解:等边三角形不是中心对称图形,是轴对称图形,A不合题意;圆是中心对称图形,也是轴对称图形,B不合题意;矩形是中心对称图形,是轴对称图形,C不合题意;平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形,D符合题意,故选:D14(2023禅城区校级一模)如图,在RtAB

17、C中,C90,AC6,BC8,将ABC绕点A逆时针旋转得到ABC,使点C落在AB边上,连结BB,则sinBBC的值为()A35B45C55D255【解答】解:C90,AC6,BC8,AB=AC2+BC2=36+64=10,将ABC绕点A逆时针旋转得到ABC,ACAC6,BCBC8,CACB90,BC4,BB=CB2+BC2=16+64=45,sinBBC=BCBB=445=55,故选:C15(2023潮阳区模拟)如图,将ABC绕点A逆时针旋转55得到ADE,若E70且ADBC于点F,则BAC的度数为()A65B70C75D80【解答】解:将ABC绕点A逆时针旋转55得ADE,BAD55,EAC

18、B70,ADBC,DAC20,BACBAD+DAC75故选:C二填空题(共6小题)16(2023南山区校级模拟)如图,在ABC中,ACB90,ACBC4,P是ABC的高CD上一个动点,以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45得到BP,连接DP,则DP的最小值是 22-2【解答】解:如图,在BC上截取BEBD,连接EP,ACB90,ACBC4,CDAB,BA42,ABCBACBCDDCA45,BDCDAD22=BE,以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45得到BP,BPBP,PBP45ABC,DBPCBP,在BDP和BEP中,BD=BEDBP=CBPBP=BP,BDPBEP(SAS),PEPD,

19、当PECD时,PE有最小值,即DP有最小值,PECD,BCD45,CE=2PEBCBE422,PE22-2,故答案为:22-217(2023香洲区校级一模)在平面直角坐标系中,已知点P(5,5)与点Q(5,m2)关于原点对称,则m3【解答】解:点P(5,5)与点Q(5,m2)关于原点对称,则m2+50,解得:m3,故答案为:318(2023惠城区校级一模)如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AEFG的位置,则图中阴影部分的面积为 312【解答】解:作MHDE于H,如图,四边形ABCD为正方形,ABAD1,BBADADC90,正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AE

20、FG的位置,AEAB1,130,AEFB90,260,AED为等边三角形,3460,DEAD1,5630,MDE为等腰三角形,DHEH=12,在RtMDH中,MH=33DH=3312=36,SMDE=12136=312故答案为:31219(2023天河区校级一模)如图,正方形ABCD中,等腰直角EBF绕着B点旋转,BFEF,BFE90,则DE:AF2【解答】解:如右图,连接BD,由题知,四边形ABCD为正方形,EBF为等腰直角三角形FBA+ABEFBE45,ABE+EBDABD45,FBAEBD,由题知,EBF为等腰直角三角形,ABD为等腰直角三角形,FBBE=ABBD=22,AFBEBD,D

21、EAF=BDAB=2,故答案为:220(2023东莞市校级一模)点(2,6)关于原点对称的点的坐标是(2,6)【解答】解:点(2,6)关于原点对称的点的坐标是(2,6),故答案为:(2,6)21(2023东莞市校级一模)如图,在矩形ABCD中,AD3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DEEF,则AB的长为32【解答】解:由旋转得:ADEF,ABAE,D90,DEEF,ADDE,即ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得:AE=32+32=32,则ABAE32,故答案为:32三解答题(共9小题)22(2023南海区一模)如图,在ABC中,ACBC,点O

22、是AB上的中点,将ABC绕着点O旋转180得ABD(1)求证:四边形ACBD是菱形;(2)如果B60,BC2,求菱形ACBD的面积【解答】(1)证明:将ABC绕着点O旋转180得ABD,ABCBAD,ADBC,ACBD,ACBC,ADBCACBD,四边形ACBD是菱形;(2)解:连接CD,交AB于点O,四边形ACBD是菱形,ABCD,OAOB,OCOD,ABC60,BC2,OCsin60BC=322=3,OBcos60BC=122=1,CD23,AB2,菱形的面积为:12ABCD=12223=2323(2022南海区校级模拟)如图,ABC中,C90,将BC绕点A逆时针旋转得到BC点C的对应点C

23、恰好落在AB边上(1)作图:作出AB1C1(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)已知AC5,BC53,求点B所经过的路径长【解答】解:(1)AB1C1如图所示;(2)在ABC中,C90,AC5,BC53,tanB=ACBC=33,B30,AB2AC10,BAC60,BAB160,点B所经过的路径长=6010180=10324(2022惠城区校级二模)如图,在RtABC中,AB8,ACB90,A60,点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动,当点P不与点A,B重合时,作BPD120,边PD交折线ACCB于点D,点A关于直线PD的对称点为E,连结ED,EP得到PDE设点P的运动时间为t

24、(秒)(1)直接写出线段PD的长(用含t的代数式表示);(2)当点E落在边BC上时,求t的值;(3)设PDE与ABC重合部分图形的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出S的最大值【解答】解:(1)当0t2时,BPD120,APD18012060,A60,APD是等边三角形,PDAP2t,当2t4时,如图:A60,B30,BPD120,BPDB30,PDPB82t;综上所述,PD=2t(0t2)8-2t(2t4);(2)如图:A,E关于PD对称,PEDPAD,PE2t,APDEPD60,BPE60,C90,A60,B30,BEP90,BP2PE4t,ABAP+BP6t,AB8,6t8,t=4

25、3;(3)当0t43时,如图:重叠部分是PDE,S=34(2t)2=3t2当43t2时,如图:重叠部分是四边形PDNM,B30,BPE180APDEPD60,BMP90EMN,PM=12PB=12(APAP)=12(82t)4t,MEPEPM2t(4t)3t4,EA60,MN=3EM=3(3t4),SSPDESEMN=34(2t)2-12(3t4)3(3t4)=-732t2+123t83当2t4时,如图:重叠部分是PQD,PQ=12BP=12(ABAP)4t,DQ=3(4t),S=12(4t)3(4t)=32t243t+83,综上所述,S=3t2(0t43)-732t2+123t-83(43t

26、2)32t2-43t+83(2t4)25(2022盐田区二模)定义:将图形M绕点P顺时针旋转90得到图形N,则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”例如:在图中,点D为点C关于点P的“垂直图形”(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B若点A的坐标为(0,2),直接写出点B的坐标;若点B的坐标为(2,1),直接写出点A的坐标;(2)已知E(3,3),F(2,3),G(a,0)线段EF关于点G的“垂直图形”记为EF,点E的对应点为E,点F的对应点为F求点E的坐标;当点G运动时,求FF的最小值【解答】解:(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B,且点A(0,2),点B(2,0);如图1,过点A作AP

27、x轴于P,过点B作BQx轴于Q,APOOQB90,A+AOP90,点A关于原点O的“垂直图形”为点B,OAOB,AOB90,AOP+BOQ90,ABOQ,AOPOBQ(AAS),OPBQ,APOQ,B(2,1),OQ2,BQ1,OP1,AP2,A(1,2);(2)、当a3时,如图2,过点E作EMx轴于M,过点E作ENx轴于N,同(1)的方法得,EGMGEN(AAS),EMGN,MGNE,E(3,3),G(a,0),EM3,MGa(3)a+3,GN3,NEa+3,ONa+3,E(a+3,a+3);、当a3时,如图3,过点E作EKx轴于K,过点E作ELx轴于L,同(1)的方法得,EGKGEL(AA

28、S),EKGL,KGLE,E(3,3),G(a,0),EK3,KG3a(a+3),GL3,LE(a+3),OLa+3,E(a+3,a+3);即点E的坐标为(a+3,a+3);、当a2时,同的方法得,点F(a+3,a+2),、当a2时,同的方法得,点F(a+3,a+2),点F(a+3,a+2),点F在直线yx1上,FF直线yx1时,FF最小,如图4,记直线yx1与x,y轴相交于V,W,V(1,0),则OVW45,连接FV,过点F作FTx轴于T,F(2,3),FTVT3,FVT45,FVW90,即点F和点V重合时,FF最小值为FV,FV=(1+2)2+32=32,即FF最小值为3226(2022东

29、莞市校级一模)如图,ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中点A的坐标是(1,0),现将ABC绕点A顺时针旋转90得AB1C1(1)画出旋转后的AB1C1;(2)点C的坐标是 (2,3)(3)函数y=kx(x0,k为常数)的图象经过点C1,画出该函数图象,P为该函数图象上的动点,当P在直线AC1的上方且APC1的面积为92时,求P点坐标【解答】解:(1)如图,AB1C1为所作;(2)C(2,3);故答案为(2,3);(3)C1(2,1),k212,反比例函数解析式为y=2x(x0),过P点作PDx轴于D,C1Ex轴于E,如图,设P(t,2t),APC1的面积APD的面积+梯形PDEC1的面积A

30、C1E的面积,12(t+1)2t+12(1+2t)(2t)-1213=92,整理得t2+10t60,解得t1=31-5,t2=-31-5(舍去)P点坐标为(31-5,331+15)27(2022紫金县二模)如图,将ABC绕点C逆时针旋转90得DEC,其中点A,点B的对应点分别是点D,点E,点B落在DE上,延长AC交DE于点F,AB,DC交于点G(1)若C是AF的中点,求证:ABC是等腰三角形;(2)若BC5,BG=2,求BD的长【解答】(1)证明:将ABC绕点C逆时针旋转90得DEC,CECB,BCE90ACD,ACCD,AD,又AGCBGD,DBGACG90,点C是AF的中点,BCAC,AB

31、C是等腰三角形;(2)解:如图,过点C作CHDE于H,将ABC绕点C逆时针旋转90得DEC,CECB,BCE90ACDFCD,AD,ECBE45,BCDECF,AD,BGDAGC,DBGACD90,ABCEBC45E,在ECF和BCG中,E=CBGEC=BCECF=BCG,ECFBCG(ASA),EFBG=2,CECB5,BCE90,CHBE,BE52,CHBHEH=522,FH=322,D+DFC90DFC+FCH,FCHD,tanDtanFCH,FHCH=BGBD,322522=2BD,BD=52328(2022东莞市校级一模)如图1,正方形ADEF中,点B、C分别在边AD、AF上,且AB

32、AC(1)如图2,当ABC绕点A逆时针旋转a(0a90)时,请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系,并说明理由;(2)当ABC绕点A逆时针旋转45时,当AB2,AD=3+2时,求CFA的正弦值【解答】解:(1)BDCF,BDCF,理由如下:延长DB交CF于G,交AF于H,如图:四边形ADEF是正方形,AFAD,FAD90,ABC绕点A逆时针旋转,DBAFAC,ABAC,DBAFCA(SAS),CFBD,AFCADB,ADB+AHD90,AFC+AHD90,AHDGHF,AFC+GHF90,FGH90,CFBD;(2)过B作BKAD于K,如图:BAK45,ABK是等腰直角三角形,BKAK=22

33、AB=2,AD=3+2,DKADAK=3,在RtBKD中,BD=BK2+DK2=5,sinABD=BKBD=25=105,由(1)知,CFAABD,sinCFA=10529(2022黄埔区二模)如图1,在直角坐标系中,点A(2,0),点C(0,2),点D,点E分别为OA,OC的中点,ODE绕原点O顺时针旋转角(090)得OD1E1,射线CD1,AE1相交于点F(1)求证:OCD1OAE1;(2)如图2,在ODE旋转过程中,当点D1恰好落线段CE上时,求AF的长;(3)如图3,在旋转角从090逐渐增大ODE旋转过程中,求点F的运动路线长【解答】(1)证明:ODE绕原点O顺时针旋转角(090)得O

34、D1E1,D1OE1COA90,D1ODO,E1OEO,A(2,0),C(0,2),AOOC2,点D,点E分别为OA,OC的中点,CDDOOEAE1,D1ODOE1OEO1,D1OE1COA90,D1OCCOAAOD1D1OE1AOD1AOE1,又AOOC,OD1OE1,OCD1OAE1(SAS);(2)解:由(1)可知,OAOC2,CDDOOEAE1,D1ODOE1OEO1,分两种情况讨论:如图,旋转角90时,同理可得OCD1OAE1,OAFOCE,CEOAEF,CEOAEF,AFCO=AECE,即AF=AECECO,在RtCEO中,OC2,OE1,CE=OC2+OE2=5,AF=AECEC

35、O=152=255;旋转角为90,即D1与E重合,E1落在CO的延长线上时,COAAOE1,OCOA,OE1OE,D1OCAOE1(SAS),OAFOCE,CEOAEF,CEOAEF,AFCO=AECE,即AF=AECECO,同理可得AF=AECECO=152=255,综上所述,AF的值为255;(3)解:连接AC,取AC的中点M连接MF,MA,MO,由(1)可知OCD1OAE1,OAFOCF,AFECOE90,ACF是直角三角形,M是AC的中点,MFMAMC=12AC,F在M的一段圆弧上运动,又RtACO也是M的内接直角三角形,OMOF,随着OD1E1旋转,当D1OCF时,线段CF距离O点最

36、远,此时F的轨迹达到最大值(旋转角为60度),D1OCF,D1O1=12OC,OCD130,OMF60,OAOC2,AC=OC2+OA2=22,MFMAMC=12AC=2,F点运动的路线长为602180=23当旋转角为6090时,F点运动的路线长为302180=26,23+26=2230(2022东莞市一模)如图1,正方形ADEF中,DAF90,点B、C分别在边AD、AF上,且ABAC(1)如图2,当ABC绕点A逆时针旋转(090)时,请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系,并说明理由;(2)当ABC绕点A逆时针旋转45时,当AB2,AD=3+2时,求CFA的正弦值【解答】解:(1)BDCF,BDCF,理由如下:延长DB交CF于G,交AF于H,如图:四边形ADEF是正方形,AFAD,FAD90,ABC绕点A逆时针旋转,DBAFAC,ABAC,DBAFCA(SAS),CFBD,AFCADB,ADB+AHD90,AFC+AHD90,AHDGHF,AFC+GHF90,FGH90,CFBD;(2)过B作BKAD于K,如图:BAK45,ABK是等腰直角三角形,BKAK=22AB=2,AD=3+2,DKADAK=3,在RtBKD中,BD=BK2+DK2=5,sinABD=BKBD=25=105,由(1)知,CFAABD,sinCFA=105