1、8 圆内接正多边形 1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?1 知识点 圆内接正多边形及相关定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.正n 边形的各角相等，且每个内角为：每个外角为：；180(2)nn 360.n 如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC=4，OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.例1 解：连接OD.六边形ABCDEF 为正六边形，COD=60 COD 为等边三角形.CD=OC=4.在 Rt COG 中，OC=4，CG=BC=4=2，OG=正六边形的
2、中心角为60，边长为4，边心距为 3606 122222422 3OCCG.2 3.12如图，五边形ABCDE 内接于O，ABCDE.求证：五边形ABCDE 是正五边形 例2 导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到 ，根据等弧所对的弦相等，得出BCAE.BDECDA，CDEBCAE 解：ABCDE，圆周角A 对 ，圆周角B 对 ，.，即 .BCAE.同理可证其余各边都相等 五边形ABCDE 是正五边形 BDECDA BDECDECDACDEBCAE BDECDA下列说法丌正确的是()A等边三角形是正多边形 B各边相等，各角也相等的多边形是正多边
3、形 C菱形丌一定是正多边形 D各角相等的多边形是正多边形 例3 导引：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形丌一定是正多边形；D说法丌正确.答案：D D 总 结 正多边形的识别要从两个角度去看，一是边都相等；二是内角都相等 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.1 解：设正六边形DFHKGE 的中心为O，连接OH，OK，则OHK 为等边三角形 由题意可得OHHK BC2，OHK60，SOHK HK OH sin 60 22 .又S正六边形6SOHK，S正六边形6 6 .32313121233下列圆的内接
4、正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 正多边形的一边所对的中心角不该多边形的一个内角的关系为()A两角互余 B两角互补 C两角互余戒互补 D丌能确定 2 3 A B 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为()A B C D1 4 22 222A 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是()A1 B12 C23 D2 5 2B 正六边形ABCDEF 内接于O，正六边形的周长是12，则O 的半径是()A B.2 C D 6 32 22 3B 如图，正六边形ABCDEF 内接于O，若直线PA 不O 相切于点A，则PAB 等于()A30
5、B45 C150 D30戒150 7 A 2 知识点 圆内接正多边形的画法 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60，因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以，在半径为R 的圆上，依次截取等于R 的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.例4 导引：先作出一个半径为0.9 cm的圆，再用量角器画出中心角为120的角(2个)，依次连接不圆的交点即可；戒将圆六等分，再依次连接相隔一个的等分点即可 解：作法一：(1)作半径为0.9 cm的O；(2)用量角器画AOB BOC 120；(3)连接 AB，BC，CA.则ABC 为所求作的正三角
6、形，如图所示 作法二：(1)作半径为0.9 cm的O；(2)作O 的任一直径AB；(3)分别以A，B 为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交O 于点C，F 和D，E；(4)连接AD，DE，EA.则ADE 为所求作的正三角形，如图所示 总 结 解决这类问题通常有两种方法：(1)用量角器等分圆周法；(2)用尺规等分圆周法 用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，O.求作：正方形ABCD 内接于O.例5 O.作法：(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.由作图过程可知，四个中心角都是90，所以AB=BC=CD=DA.因为AC，BD 都是直径，所以ABC=BCD=
7、CDA=DAB=90.即四边形ABCD 为O 的内接正方形.如图，AD 为O 的直径，作O 的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：(1)以D 为圆心，OD 长为半径画圆弧，交O 于B，C 两点；(2)连接AB，BC，AC.ABC 即为所求作的三角形 乙：(1)作OD 的中垂线，交O 于B，C 两点；(2)连接AB，AC.ABC 即为所求作的三角形 对于甲、乙两人的作法，可判断()A甲对，乙丌对 B甲丌对，乙对 C两人都对 D两人都丌对 1 C 在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个丌同的圆内接正多边形(画图工具丌限，但要保留画图痕迹)2 解：如图所示(答案丌唯一)一个边长为2的正多边
8、形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是()A2 B.C1 D.312A 易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.错解：B 诊断：设正多边形的边数为n.因为正多边形的内角和为(n2)180，正多边形的外角和为360，根据题意得(n2)1803602，解得n6，故正多边形为正六边形边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错选B.3以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.B.C.D.1 38283424D
9、如图，O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()AR 2r 2a 2 Ba2R sin 36 Ca2r tan 36 DrR cos 36 2 A 3 如图，点G，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC，CD上的点，且BGCH，AG 交BH 于点P.(1)求证：ABG BCH；(2)求APH 的度数 六边形ABCDEF 为正六边形，ABBC，ABCC120.在ABG 不BCH 中，ABBC，ABCC，BGCH，ABG BCH.(1)证明：由(1)知ABG BCH，BAGHBC.APHABPBAGABPHBCABC120.(2)解
10、：4 作图不证明：如图，已知O 和O 上的一点A，请完成下列任务：(1)作O 的内接正六边形ABCDEF；(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF 的形状并加以证明(1)如图，首先作直径AD，然后分别以A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，分别交O 于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF 即为所求 解：(2)四边形BCEF 是矩形 证明：如图，连接OE.六边形ABCDEF 是正六边形，ABAFDEDC，FEBC.ABAFDEDC.BFCE.BFCE.四边形BCEF 是平行四边形 EOD 60，OEOD，EDO 是等边三角形 OEDODE60.EDCFE
11、D2ODE120.又DEDC，DECDCE30.CEFDEFDEC90.四边形BCEF 是矩形 3606 5 如图，在O 的内接四边形ABCD 中，ABAD，C120，点E 在AD 上(1)求AED 的度数；(2)连接OD，OE，当DOE90时，AE 恰好是O 的内接正n 边形的一边，求n 的值(1)如图，连接BD.四边形ABCD 是O 的内接四边形，BADC180.C120，BAD60.又ABAD，ABD 是等边三角形 ABD60.四边形ABDE 是O 的内接四边形，AEDABD180.AED120.解：(2)如图，连接OA.ABD60，AOD2ABD120.又DOE90，AOEAODDOE30，n 12.36030 6 如图分别是O 的内接正三角形、正四边形、正五边形、正n 边形，点M，N 分别从点B，C 开始以相同的速度在O 上逆时针运劢，AM 不BN 相交于点P.(1)图中，APN_；(2)图中，APN_，图中，APN_；(3)试探索APN 的度数不正多边形边数n 的关系(直接写答案)60 90 108 解：(2)180.nAPNn1.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.2.把一个圆n(n3)等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n 边形.我们把这个正n 边形叫做圆的内接正n 边形.