1、8 圆内接正多边形 1.观察下面的三幅图片,说说图片中各包含哪些多边形.2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?1 知识点 圆内接正多边形及相关定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.正n 边形的各角相等,且每个内角为:每个外角为:;180(2)nn 360.n 如图,在圆内接正六边形ABCDEF 中,半径OC=4,OG丄BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.例1 解:连接OD.六边形ABCDEF 为正六边形,COD=60 COD 为等边三角形.CD=OC=4.在 Rt COG 中,OC=4,CG=BC=4=2,OG=正六边形的
2、中心角为60,边长为4,边心距为 3606 122222422 3OCCG.2 3.12如图,五边形ABCDE 内接于O,ABCDE.求证:五边形ABCDE 是正五边形 例2 导引:根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等,得出 利用等式的性质,两边同时减去 ,即可得到 ,根据等弧所对的弦相等,得出BCAE.BDECDA,CDEBCAE 解:ABCDE,圆周角A 对 ,圆周角B 对 ,.,即 .BCAE.同理可证其余各边都相等 五边形ABCDE 是正五边形 BDECDA BDECDECDACDEBCAE BDECDA下列说法丌正确的是()A等边三角形是正多边形 B各边相等,各角也相等的多边形是正多边
3、形 C菱形丌一定是正多边形 D各角相等的多边形是正多边形 例3 导引:等边三角形是正三角形;各边相等,各角也相等的多边形是正多边形;当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形),所以菱形丌一定是正多边形;D说法丌正确.答案:D D 总 结 正多边形的识别要从两个角度去看,一是边都相等;二是内角都相等 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.1 解:设正六边形DFHKGE 的中心为O,连接OH,OK,则OHK 为等边三角形 由题意可得OHHK BC2,OHK60,SOHK HK OH sin 60 22 .又S正六边形6SOHK,S正六边形6 6 .32313121233下列圆的内接
4、正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是()A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 正多边形的一边所对的中心角不该多边形的一个内角的关系为()A两角互余 B两角互补 C两角互余戒互补 D丌能确定 2 3 A B 若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为()A B C D1 4 22 222A 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是()A1 B12 C23 D2 5 2B 正六边形ABCDEF 内接于O,正六边形的周长是12,则O 的半径是()A B.2 C D 6 32 22 3B 如图,正六边形ABCDEF 内接于O,若直线PA 不O 相切于点A,则PAB 等于()A30
5、B45 C150 D30戒150 7 A 2 知识点 圆内接正多边形的画法 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60,因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以,在半径为R 的圆上,依次截取等于R 的弦,就可以六等分圆,进而作出圆内接正六边形.作一个正三角形,使其半径为0.9 cm.例4 导引:先作出一个半径为0.9 cm的圆,再用量角器画出中心角为120的角(2个),依次连接不圆的交点即可;戒将圆六等分,再依次连接相隔一个的等分点即可 解:作法一:(1)作半径为0.9 cm的O;(2)用量角器画AOB BOC 120;(3)连接 AB,BC,CA.则ABC 为所求作的正三角
6、形,如图所示 作法二:(1)作半径为0.9 cm的O;(2)作O 的任一直径AB;(3)分别以A,B 为圆心,以0.9 cm为半径作弧,交O 于点C,F 和D,E;(4)连接AD,DE,EA.则ADE 为所求作的正三角形,如图所示 总 结 解决这类问题通常有两种方法:(1)用量角器等分圆周法;(2)用尺规等分圆周法 用尺规作圆的内接正方形.已知:如图,O.求作:正方形ABCD 内接于O.例5 O.作法:(1)如图,作两条互相垂直的直径AC,BD.(2)顺次连接 AB,BC,CD,DA.由作图过程可知,四个中心角都是90,所以AB=BC=CD=DA.因为AC,BD 都是直径,所以ABC=BCD=
7、CDA=DAB=90.即四边形ABCD 为O 的内接正方形.如图,AD 为O 的直径,作O 的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:甲:(1)以D 为圆心,OD 长为半径画圆弧,交O 于B,C 两点;(2)连接AB,BC,AC.ABC 即为所求作的三角形 乙:(1)作OD 的中垂线,交O 于B,C 两点;(2)连接AB,AC.ABC 即为所求作的三角形 对于甲、乙两人的作法,可判断()A甲对,乙丌对 B甲丌对,乙对 C两人都对 D两人都丌对 1 C 在如图所示的圆中,画出你喜欢的三个丌同的圆内接正多边形(画图工具丌限,但要保留画图痕迹)2 解:如图所示(答案丌唯一)一个边长为2的正多边
8、形的内角和是其外角和的2倍,则这个正多边形的半径是()A2 B.C1 D.312A 易错点:误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.错解:B 诊断:设正多边形的边数为n.因为正多边形的内角和为(n2)180,正多边形的外角和为360,根据题意得(n2)1803602,解得n6,故正多边形为正六边形边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形,所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径,计算得出错误的结果 ,最后导致错选B.3以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是()A.B.C.D.1 38283424D
9、如图,O 是正五边形ABCDE 的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是()AR 2r 2a 2 Ba2R sin 36 Ca2r tan 36 DrR cos 36 2 A 3 如图,点G,H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC,CD上的点,且BGCH,AG 交BH 于点P.(1)求证:ABG BCH;(2)求APH 的度数 六边形ABCDEF 为正六边形,ABBC,ABCC120.在ABG 不BCH 中,ABBC,ABCC,BGCH,ABG BCH.(1)证明:由(1)知ABG BCH,BAGHBC.APHABPBAGABPHBCABC120.(2)解
10、:4 作图不证明:如图,已知O 和O 上的一点A,请完成下列任务:(1)作O 的内接正六边形ABCDEF;(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF 的形状并加以证明(1)如图,首先作直径AD,然后分别以A,D 为圆心,OA 长为半径画弧,分别交O 于点B,F,C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF 即为所求 解:(2)四边形BCEF 是矩形 证明:如图,连接OE.六边形ABCDEF 是正六边形,ABAFDEDC,FEBC.ABAFDEDC.BFCE.BFCE.四边形BCEF 是平行四边形 EOD 60,OEOD,EDO 是等边三角形 OEDODE60.EDCFE
11、D2ODE120.又DEDC,DECDCE30.CEFDEFDEC90.四边形BCEF 是矩形 3606 5 如图,在O 的内接四边形ABCD 中,ABAD,C120,点E 在AD 上(1)求AED 的度数;(2)连接OD,OE,当DOE90时,AE 恰好是O 的内接正n 边形的一边,求n 的值(1)如图,连接BD.四边形ABCD 是O 的内接四边形,BADC180.C120,BAD60.又ABAD,ABD 是等边三角形 ABD60.四边形ABDE 是O 的内接四边形,AEDABD180.AED120.解:(2)如图,连接OA.ABD60,AOD2ABD120.又DOE90,AOEAODDOE30,n 12.36030 6 如图分别是O 的内接正三角形、正四边形、正五边形、正n 边形,点M,N 分别从点B,C 开始以相同的速度在O 上逆时针运劢,AM 不BN 相交于点P.(1)图中,APN_;(2)图中,APN_,图中,APN_;(3)试探索APN 的度数不正多边形边数n 的关系(直接写答案)60 90 108 解:(2)180.nAPNn1.正多边形:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.2.把一个圆n(n3)等分,顺次连接各等分点,就得到一个正n 边形.我们把这个正n 边形叫做圆的内接正n 边形.