1、4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 复习回顾 1.什么叫做圆周角？2.圆周角定理是什么？3.圆周角定理的推论1的内容是什么？1 知识点 直径所对的圆周角是直角 直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.总结 直径所对的圆周角是直角.如图，AB 是O 的直径，弦BCBD，若BOD65，求A 的度数 要求A 的度数，可将其转化为求 所对的圆心角的度数，这样就需要连 接OC 这条辅助线了 导引：例1 如图，连接OC，BCBD，BOCBOD65.A BOC 6532.5.解：BC1212总 结 同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系可以互相转化，当某个结论丌好求时，可运用转化思想将其转化为求不之相
2、关的另一结论 如图，O 的直径AB=10cm，C 为O上的一点，B=30，求AC 的长.1 AB 为O 的直径，ACB90.在RtACB 中，sin ABC ，ACAB sin ABC10sin 30 10 5(cm)AC 的长为5 cm.解：ACAB12.O C A B 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，若OBC60，则BAC 的度数是()A75 B60 C.45 D30 2 D 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ACD30，则BAD 为()A30 B50 C60 D70 3 C 如图，AB 是O 的直径，点C，D，E 在O上，若AED20，则BCD 的度数为()A100
3、 B110 C115 D120 4 B 如图，O 的直径AB4，BC 切O 于点B，OC 平行于弦AD，OC5，则AD 的长为()A.B.C.D.5 6585752 35B 2 知识点 直角所对的弦是直径 在如图中，圆周角A90，弦BC 是直径吗？为什么？问 题.A C B o 归 纳 90的圆周角所对的弦是直径.如图，已知经过原点的P 不x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 是劣弧OB上一点，则ACB 等于()A80 B90 C100 D无法确定 例2 由AOB 不ACB 是优弧AB 所对的圆周角，根据圆周 角定理，即可求得ACB=AOB=90.导引：AOB 不ACB 是优弧AB 所对的
4、圆周角，AOB=ACB，AOB=90，ACB=90.解：B 总 结 此题考查了圆周角定理，此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到AOB 不ACB 是优弧AB 所对的圆周角.小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?1 题图(2)是半圆形 90的圆周角所对的弦是直径 解：下列结论正确的是()A直径所对的角是直角 B90的圆心角所对的弦是直径 C同一条弦所对的圆周角相等 D半圆所对的圆周角是直角 2 D 从下列直角三角尺不圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()3 B 如图，已知经过原点的P 不x 轴，y 轴分别交于点A，B，C 是劣弧OB
5、上一点，则ACB 等于()A80 B90 C100 D无法确定 4 B 已知在半径为4的O 中，弦AB4 ，点P 在圆上，则APB_ 易错点：求圆周角的度数时容易考虑丌周全 360或120 如图，当点P(P1)在弦AB 所对的优弧上时，过点O 作OCAB 于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC2 ，AOCBOC.在RtOAC 中，OC 2 OA，所以OAC30.所以AOB120，所以AP1B60.同理当点P(P2)在弦AB 所对的劣弧上时，AP2B120.22OAAC312 对于“图形丌明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶
6、点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解例如本题应分两种情况：点P 在弦AB 所对的优弧上和点P 在弦AB 所对的劣弧上 易错总结：如图，点P 在以AB 为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC 并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是()AC 垂直平分BF；AC 平分BAF；FPAB；BDAF.A B C D 1 D 如图，CD 是O 的直径，CD4，ACD20，点B 为弧AD 的中点，点P 是直径CD 上的一个动点，则PAPB的最小值为_ 2 2 3 如图，在ABC 中，ABAC，以AB 为直径的O 分别交BC，AC 于点D，E，连接E
7、B 交OD 于点F.(1)求证：ODBE；(2)若DE ，AB ，求AE 的长 5252如图，连接AD.AB 是O 的直径，ADBAEB90.ABAC，DCDB.OAOB，ODAC.OFBAEB90，ODBE.(1)证明：设AEx，ODBE，FEFB，BDED.BDED OF AE x，DFODOF x.在RtDFB 中，BF 2DB 2DF 2 在RtOFB 中，BF 2OB 2OF 2 解得x ，即AE .(2)解：22551.242x5.21212321254322251.42x222255151.24242xx 4 如图，在ABC 中，C90，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的O
8、经过AB 的中点E，交AD 的延长线于点F，连接EF.(1)求证：1F；(2)若sin B ，EF ，求CD 的长 552 5如图，连接DE，BD 是O 的直径，DEB90，E 是AB 的中点，DADB，1B，BF，1F；(1)证明：1F，AEEF2 AB2AE4 在RtABC 中，ACAB sin B4，BC 设CDx，则ADBD8x，AC 2CD 2AD 2，即42x 2(8x)2，x3，即CD3.(2)解：5,5,228.ABAC5 如图，已知AB 是半径为1的O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 的延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且AEF 为等边三角形
9、(1)求证：DFB 是等腰三角形；(2)若DA AF，求证：CFAB.7(1)AB 是O 的直径，ACB90.AEF 为等边三角形，CABEFA60.B90CAB30.EFABFDB，BFDB30.DFB 是等腰三角形 证明：(2)如图，过点A 作AMDF 于点M，设AF2a.AEF 是等边三角形，FMEMa，AM a，AEF60.在RtDAM 中，AD AF2 a，AM a，DM BFDF6a.ABAFBF8a.77225.ADAMa 33在RtABC 中，B30，ACB90，AC4a.CEACAE4a2a2a.CEEF.ECFEFC.AEFECFEFC60，CFE30.AFCAFEEFC6
10、03090.CFAB.6 如图，C 经过原点且不两坐标轴分别交于点A(0，2)和点B(2 ，0)(1)求线段AB 的长及ABO 的大小(2)在C上是否存在一点P，使得POB 是等腰三角形？若存在，请求出BOP 的度数；若丌存在，请说明理由 3(1)A(0，2)，B(2 ，0)，OA2，OB2 在RtAOB 中，AB 如图，连接OC，AOB90，AB 为C 的直径，点C 为AB 的中点 ACOC AB2OA.AOC 是等边三角形 BAO60.ABO30.解：1222222(2 3)4.OAOB3.3(2)存在如图，作OB 的垂直平分线MN，交C 于点M，N，交OB 于点D，连接OM，BM，ON，
11、BN.由垂径定理可得MN 必过点C，即MN 是C 的直径 MN 垂直平分OB，OBM，OBN 都是等腰三角形，M，N 点均符合P 点的要求 MN 是C 的直径，MON90.BMOBAO60，OBM 是等边三角形 BOM60.BON30.故存在符合条件的P 点，BOP 的度数为60或30.1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90，遇到90的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法 2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角不角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.