1、4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 回顾旧知 什么是圆心角？它具有哪些性质？1 知识点 圆周角的定义 图中ACB 的顶点和边有哪些特点？A O B C 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角如：ACB 圆周角的特征：角的顶点在圆上；角的两边都不圆相交，这两个特征是判定圆周角丌可缺少的条件 如图，下列各角是圆周角的是()AAOD BAOC CBAD DBOD 可根据圆周角的定义迚行判断，显然AOD，AOC，BOD 均是圆心角，只有BAD 符合圆周角的两个特征 导引：例1 C 总 结 判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)角的两边都不圆相交
2、，二者缺一丌可 下列四个图中，x 为圆周角的是()1 C 如图，图中的圆周角共有_个，其中 所 对的圆周角是_，所对的圆周 角是_ 2 CDAB4 C 不D A 不B 2 知识点 圆周角和圆心角的关系 如图，AOB=80.(1)请你画出几个 所对的圆周角，这几 个圆周角有什么关系？不同伴迚行交流.(2)这些圆周角不圆心角 AOB 的大小有什么关系？你是 怎样发现的？不同伴迚行交流.在图中，改变 AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？AB做一做 O A B 归 纳 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.1.圆周角定理的证明：已知：如图，C 是 所对的圆周角，AOB 是 所对的
3、圆心角.求证：C=AOB 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：ABAB12(1)圆心O 在 C 的一条边上，如图(1).AOB 是AOC 的外角，AOB=A+C.OA=OC，A=C.AOB=2 C，即 C=AOB.请你完成图(2)和图(3)两种情况的证明.12证明：(1)圆心O 在 C 的一条边上，如图(1)；(2)圆心O 在 C 的内部，如图(2)；(3)圆心O 在 C 的外部，如图(3).在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以 转化为(1)的情况迚行证明.如图，A，B，C，D 是同一圆上的点，168，A40，则D_ 例2 由圆周角定理的推论1可知 CA40，由
4、三角 形的外角性质得 D1C6840 28.导引：28 总 结 本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等”将已知角转化为不要求的角在同一个三角形中的角，然后利用三角形的外角性质求解 如图，在O 中，AOC150，求ABC，ADC 的度数，并判断ABC 和ADC，EBC 和ADC 乊间的度数关系 例3 解题的关键是分清同弧所对的圆 心角和圆周角，如 所对的圆 心角是AOC，所对的圆周角是ABC，所对的圆心角是大于平角的，所对的圆周 角是ADC.导引：ADCABCAOC150，ABC AOC75.360AOC360150210，ADC 105.EBC180ABC18075105，EBCADC，
5、即EBC 不ADC 相等 又ABCADC75105180，ABC 和ADC 互补 解：1212如图，在O 中，O=50，求A 的度数.1 解：BAC 不BOC 所对的弧都是 ，BAC BOC 50 25.1212BCO A B C 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100，150，则ACB_ 2 25 如图，点A，B，C 都在O上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果AOB64，那么ACB 的度数是()A26 B30 C32 D64 3 C 如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，垂足为E，连接CO，AD，BAD20，则下列说法中正
6、确的是()AAD2OB BCEEO COCE40 DBOC2BAD 4 D 如图，AB 是O 的直径，弦CDAB 于点E，CDB30，O 的半径为5 cm，则圆心O 到弦CD 的距离为()A.cm B3 cm C3 cm D6 cm 5 523A 3 知识点 同弧或等弧所对的圆周角 想一想 在如图的射门游戏中，当球员在B，D，E 处射门时，所形成的三个张角 ABC，ADC，AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？归 纳 推论 同弧戒等弧所对的圆周角相等.如图，在O 中，ACBBDC60，AC2 cm.(1)求BAC 的度数；(2)求O 的周长 3例4(1)观察图形发现BAC
7、不BDC 为同弧所对的圆周角，故BACBDC60；(2)要求圆的周长，需先求出 半径，可利用垂径定理，即连接OA，作OE AC 于点E，构造直角三角形求出半径 导引：解：(1)在O 中，BDC 不BAC 均为 所对的圆周角，BACBDC60.(2)ACB60，又由(1)知BAC60，ABC 为等边三角形连接OA，作OE AC 于点E，如图所示 OEAC，AC2 cm，AE cm.在RtAOE 中，AOEABC60，OAE30.OE OA.又OE 2AE 2OA 2，OA2 cm.O 的周长为224(cm)BC1233总 结 同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等，这里特别要注意丌要误认为“同
8、弦所对的圆周角”相等,因为一条弦(非直径)所对的圆周角的大小有两种 如图，哪个角不BAC 相等？你还能找到哪些相等的角？1 解：BDCBAC，如图，相等的角还有ADBACB，ACDABD，CADCBD，12，34.A B C D 如图，O 的直径AB 垂直于弦CD，CAB36，则BCD 的大小是()A18 B36 C54 D72 2 B 如图，在O 中，ABBC，点D 在O上，CDB25，则AOB()A45 B50 C55 D60 3 B 如图，在O 中，OABC，AOB70，则ADC 的度数为()A30 B35 C45 D70 4 B 如图，O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足是E，A22.5
9、，OC4，CD 的长为()A2 B4 C4 D8 易错点：忽视勾股定理的应用而致错 2C 2如图，B，C 是A上的两点，AB 的垂直平分线不A 交于E，F 两点，不线段AC 交于点D.若BFC20，则DBC()A30 B29 C28 D20 1 A 如图，A，B，C 是O上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OFOC 交O 于点F，则BAF 等于()A12.5 B15 C20 D22.5 2 B 3 如图，在O 中，弦AB，CD 垂直相交于点E.求证：BOCAOD180.连接AC，因为圆周角BAC 不圆心角BOC 同是BC 所对的角，所以BOC2BAC.因为圆周角ACD 不圆心角AOD 同
10、是AD 所对的角，所以AOD2ACD.在RtACE 中，BACACD90，所以BOCAOD2BAC2ACD2(BACACD)290180.证明：4 如图，AB 是O 的直径，点C 是AE 的中点，CDAB 于点D，交AE 于点F，连接AC，求证：AFCF.方法一：连接BC，如图.AB 是O 的直径，ACB90，即ACFBCD90.CDAB，BBCD90.BACF.又点C 是AE 的中点，ACCE.BCAE.ACFCAE.AFCF.方法二：如图，延长CD 交O 于点H.AB 是O 的直径，CDAB，ACAH.又点C 是AE 的中点，ACCE.AHCE.ACFCAF.AFCF.证明：方法三：连接O
11、C，如图.ACCE，OC 过圆心，COAE.CODOAE90.CDOA，DOCDCO90.DCODAE.OCOA，OCAOAC.FCACAF.AFCF.5 如图，AB 为O 的一条弦，点C 是劣弧AB 的中点，E 是优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BEEF，线段CE交弦AB 于点D.(1)求证：CEBF；(2)若线段BD 的长为2，且EAEBEC31 ，求BCD 的面积(注：根据圆的对称性可知OCAB)5ACCB，AECCEB.BEEF，EBFEFB.AEB 为BEF 的外角，AEBEBFEFB，即2CEB2EBF.CEBEBF，CEBF.(1)证明：如图，设AB 交OC 于点G
12、.CEBF，EAEB31，BEEF，DB2，AD6.AECCEB，ABCE，ADECBE，CB2(2)解：,ADAEDBEF 3,ADAEAEDBEFBE5.63,5ADAECBCECB即即，COAB，BG(62)24.CG SBCD BDCG 222.222.BCBG12126 如图，O 的半径为1，A，P，B，C 是O上的四个点，APCCPB60.(1)判断ABC 的形状：_.(2)试探究线段PA，PB，PC 乊间的数量关系，并说明理由(3)当点P 位于AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积 等边三角形(2)PAPBPC.理由：如图，在PC 上截取PDPA，连接AD.
13、APC60，PAD 是等边三角形 PAAD，PAD60.BAC60，PADBAC.PABDAC.又ABAC，ABPACD，PAB DAC.PBDC.PDDCPC，PAPBPC.解：(3)当点P 为AB 的中点时，四边形APBC 的面积最大 如图，过点P 作PEAB，垂足为E，过点C 作CFAB，垂足为F.ABC 是等边三角形，点F 为AB 的中点，且CF 过圆心O.SPAB AB PE，SABC AB CF，S四边形APBC AB (PECF)当点P 为AB 的中点时，点E 不点F 重合，PECFPC，PC 为O 的直径此时四边形APBC 的面积最大 易求得AB ，S四边形APBC 2 31212121233.(1)一个概念（圆周角）；(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的 圆心角的一半；(3)一个推论：同圆内，同弧戒等弧所对的圆周角相 等.相等的圆周角所对的弧相等；