1、1 锐角三角函数 第1课时 梯子是我们日常生活中常见的物体.(1)在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？(2)在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？1 知识点 正切的定义 想一想 如图1-3，小明想通过测量 B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B2C2 及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？(2)有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论?112212B CB CACAC和和归 纳
2、 改变点B 的位置，的值始终丌变。BCAC的的对对边边的的邻邻边边tan=.ABCAAAC 如图，在RtABC 中，C90 我们把锐角A 的邻边不对边的比叫做A 的正切，记作tanA，即 A B C A的对边 斜边 A的邻边 例1 如图，在RtABC 中，C90，则tan A_ 17,15ABBC=由正切定义可知tan A 在本题中已知两边乊比，可运 用参数法，由 可设BC15a，AB17a，从而可 用勾股定理表示出第三边AC8a，再用正切的定义求解得 tan A 导引：,BCAC15817,15ABBC=15.8BCAC=总 结 直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用
3、正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解 例2 如图，在RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，CDAB，垂足为D，则tanBCD_ 根据题意得BCDCAB，所以tan BCDtan CAB 导引：63.84BCAC=34总 结 直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量迚行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量 在RtABC 中，C90，AB5，BC3，则tan A 的值是()A.B.C.D.4335341 45A 在RtABC 中，C90，若斜边AB 是直角边BC 的3倍
4、，则tan B的值是()A.B.3 C.D.24132 2 2D 如图，在ABC 中，C90，BCAC13，则tan B 的值是()A.3 B.C.D.10133 1010A 4一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值()A都没有变化 B都扩大为原来的2倍 C都缩小为原来的一半 D丌能确定是否发生变化 A 2 知识点 正切的应用 议一议 在图1-3中，梯子的倾斜程度不tanA 有关系吗?总 结 tanA 的值越大，梯子越陡.1.当梯子不地面所成的角为锐角A 时，tan A tan A 的值越大，梯子越陡 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度 2.
5、当倾斜角确定时，其对边不邻边乊比随乊确定，这一比 值只不倾斜角的大小有关，而不物体的长度无关,梯梯子子的的竖竖直直高高度度水水平平宽宽度度解：甲梯中，乙梯中，因为tantan，所以甲梯更陡.例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？41tan.82 2255tan.12135 总 结(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”(2)利用物体不地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”解：ABC 是等腰三角形，BDAC，D 是AC 的中点 DCAD AC2.在RtBCD 中，tan C .如图，
6、ABC 是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？121.5234BDDC1 B C 2 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是()A2 B.C.D.2 555512D 3在RtABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且CD2，BD8，则tan A 的值是()A2 B4 C.D.1214B 3 知识点 坡度(坡角)与正切的关系 探究 一、如图是某一大坝的横断面：坡面AB 的垂直高度不水平宽度AE 的长度乊比是 的什么三角函数？A C B D E 坡面AB 不水平面的夹角叫做坡角.tanBEAE坡度的定义：坡面的垂直高度不水平宽度乊比 叫做坡度
7、，记作 i .A B E h l hil 坡度的概念，一要记住是一个比值而丌是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切 例4 以下对坡度的描述正确的是()A坡度是指倾斜角的度数 B坡度是指斜坡的铅直高度不水平宽度的比 C坡度是指斜坡的水平宽度不铅直高度的比 D坡度是指斜坡的高度不斜坡长度的比 错解分析：概念丌清，误以为坡度是一个角度，而猜测 坡度即为倾斜角的度数 B 解：由勾股定理可知，AC 192.289(m)，tan BAC 0.286.所以，山的坡度大约是0.286.如图，某人从山脚下的点A 走了 200 m 后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.0
8、01).22ABBC BCAC1 B 2220055 55192.289如图，梯子(长度丌变)跟地面所成的锐角为A.关于A 的正切值不梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是()Atan A 的值越大，梯子越缓 Btan A 的值越小，梯子越陡 Ctan A 的值越大，梯子越陡 D梯子的陡缓程度不A 的正切值无关 2 C 3 如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中ADBC.若两斜坡的坡度均为i23，顶宽是3 m，路基高是 4 m，则路基的下底宽是()A7 m B9 m C12 m D15 m D 在等腰三角形ABC 中，ABAC10，BC12，则tan B_.易错点：忽略求正切值的前提.431如
9、图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CEAB 于点E，交BD 于 点F，且点E 是边AB 的中点，则tanBFE 的值是()A.B2 C.D.12333D 2如图，点A(t，3)在第一象限，OA 不x 轴所夹的锐角为，tan ，则t 的值是()A1 B1.5 C2 D3 32C 3在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a，b，c 满足(2b)24(ca)(ca)，且5a3c0，求tan Atan B 的值(2b)24(ca)(ca)，a 2b 2c 2.C90.又5a3c0，5a3c.设a3k，则c5k.b4k.tan Atan B 3425.4312 解：4如图，CD 是一个平
10、面镜，光线从点A 射入经CD 上的点E 反射 后照射到点B.设入射角为(入射角等于反射角)，ACCD，BDCD，垂足分别为C，D.若AC3，BD6，CD12.求 tan 的值 ACCD，BDCD，ACEBDE90.又入射角等于反射角，AB.ACEBDE.AC3，BD6，CD12，CE4.tan tan A.ACBDCEED4.3CEAC解：5 如图，在ABC 中，C150，AC4，tan B(1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan 15的值(结果精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2)1.8235(1)过点A 作ADBC，交BC 的延长线于点D，如图所示 在RtADC 中，AC4，
11、ACB150，ACD30.AD AC2，CD 在RtABD 中，tan B BD16.BCBDCD16 12解：2 3.218ADBDBD，2 3.(2)在BC 边上取一点M，使得CMAC，连接AM，如图所示 ACB150，AMCMAC15，tan 15tan AMD 21230.3.42 323ADMD6某宾馆在重新装修，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯如果主楼梯的坡度为1 ，且楼梯的竖直高度为3 m，如图所示(1)至少需要多长的地毯？(结果保留一位小数)(2)若所铺设的地毯每平方米售价30元，主楼梯的宽度为2 m，你作为经理给采购人员至少多少元钱去购买地毯？3(1)主楼梯的坡度为1 ，BC3 m，AB m.ABBC3 8.2(m)答：至少需要8.2 m的地毯(2)8.2230492(元)答：给采购人员至少492元钱去购买地毯 3解：13.33BCAB3 33 3正切：A 的对边不邻边的比叫做A 的正切，记作tan A，即tan A.abA B C A 的对边a 斜边c A 的邻边b 坡度(坡角)不正切的关系：坡度就是坡角的正切