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八年级数学暑假培优讲义6:一元二次方程的概念和解法1(教师版)

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 一元二次方程的概念和解法(1) 一元二次方程的概念和解法(1) 知识模块:知识模块:一元二次方程的概念一元二次方程的概念 1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程(都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程)叫做一元二次方程。如02-2x,0124-2xx,0-2xx等都是一元二次方程。 2、说明: (1)一元二次方程属于整式方程,定义中的“只有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2”这句话,是指对方程“整理合并整理合并”之后而言的。由一元二次方程的概念可知,只有同时满足三个条件:方程两边都是关于未知数的

2、整式;只含有一个未知数;未知数的最高次数是 2,这样的方程才是一元二次方程,不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。 (2)判断一个方程是否为一元二次方程时,先观察其是否属于整式方程整式方程,再看其合并同类项后是否符合“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2”. 【例 1】下列方程中,是关于 x 的一元二次方程的是( ) A11xx B112xxx x C20 x D3220 xx 【答案】C 【例 2】下列方程中,一元二次方程有( ) 2320 xx;22340 xxy;214xx;21x ;2303xx A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】B 知识模块:知识模块:

3、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 1、任何一个关于x的一元二次方程都可以化成0)acb,(a,02是常数,cbxax,这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中cbxax,2分别叫做二次项、一次项、和常数项。ba,分别叫做二次项系数和一次项系数。 2、说明: (1)0a是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分, 因为方程02cbxax,只有当0a时才叫做一元二次方程,反之,如果明确指出方程02cbxax是一元二次方程,那就隐含了0a这个条件,即是说方程中含有字母系数的2x项,且出现“关于x的方程”这样的语句,就要对方程中的字母进行讨论,这一点很重要,它是重要的考点之一。 (2)任何一

4、个一元二次方程经过整理(去分母,去括号,移项,合并同类项)都可化成一元二次方程的一般形式,但需指出的是一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数都是针对方程的一般形式而言的,所以即使题目没有指出先把方程化成一般形式,只要求写出方程的项和某一项系数,解题时也要把一元二次方程化成一般式一元二次方程化成一般式。 (3)注意区分二次项与二次项系数,一次项与一次项系数,它们都包含前面的符号, 如24320 xx, 二次项为24x, 二次项系数为 4,一次项为3x,一次项系数为3,常数项为2。 【例 3】在下列方程中,整理后是一元二次方程的是( ) A23231xxx B2240 xx

5、C210 x x D2131xx 【答案】B 【例 4】一元二次方程23410 xx 的二次项系数与一次项分别是( ) A3,4 B3,4 C3,4x D3,4x 【答案】C 【例 5】方程222320mmxm x是一元二次方程,则m_ 【答案】2 知识模块:知识模块:一元二次方程的解一元二次方程的解 能使一元二次方程左、右两边都相等的未知数的值,称为一元二次方程解。 【例 6】关于x的一元二次方程225250 xxpp的一个根为 1,则实数 p 的值是( ) A4 B0 或 2 C1 D1 【答案】C 【例 7】若一元二次方程200axbxca 的一个根为1,则 a、b、c 满足_ 【答案】

6、0a bc 【例 8】已知m是方程210 xx 的一个根,则代数式2mm的值等于( ) A1 B0 C1 D2 【答案】A 知识模块:知识模块:直接开平方法直接开平方法 1.具有(axb)2c(a0,c0,a,b,c 为常数)这样结构特点的一元二次方程适 用于直接开平方法 2.一元二次方程可能有两个不相等的实数解,也可能有两个相等的实数解,也可能无实 数解如:(axb)2=c(a0,a,b,c 常数),当 c0 时,有两个不等的实数解, c0 时,有两个相等的实数解,c0 时无实数解 3.两边同时开平方,将二次方程转化为两个一次方程,便求得方程的两个解可以说: 利用平方根的概念,通过两边开平方

7、,达到降次的目的,化未知为已知,体现一种转 化的思想 【例 9】 (1).方程2160 x 的解为_ (2) 方程223x的根是_ (3) 方程4210 x 的根是_ 【答案】 (1)4(2)122323xx(3)45 【例 10】(1)解关于x的方程:221 11bxxb (2)解方程:21232503x (3)解关于x的方程22261axxa 【答案】 (1)当1b时,221bxb ;当1b时,无实数根 (2)35 32x(3)当1a 时,2 221axa ;当1a 时,无实数根 知识模块:知识模块:因式分解法因式分解法 1.利用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法(主要复习

8、十字相乘法因式分解) 。 2.理论依据:. 00, 0.BABA或得到 3.步骤:化为一般形式;因式分解;得到两个一元一次方程;解方程。注意:先观察形式。 【例 11】 (1)012 x (2)01622 )(x 思考:对于上面的方程我们还有其他的解法吗? 【答案】 (1)1211xx (2)1262xx 【例 12】 (1)210tt (2)1310 x xx (3)282xx (4)2760 xx 【答案】 (1)1221tt (2)1213xx (3)124 3 24 3 2xx (4)1216xx 【例 13】 (1)解方程:28x x (2)解方程:383423x xx 【答案】 (

9、1)1242xx(2)12243xx 【例 14】已知2220 xxyy,且0,0 xy,求代数式22225252yxyxyxyx的值 【答案】3013或 【习题 1】若关于x的方程20axbxc是一元二次方程,则必须具备的条件是( ) A0a Bab c, ,都不为零 C00bc, Dab c, ,都是实数 【答案】A 【习题2】已知21230mxmx ,当m为_时,不是一元二次方程( ) A1 B-1 C1 D全体实数 【答案】A 【习题 3】关于x的一元二次方程22(2)340mxxm有一个解是0,那么m_ 【答案】2 【习题 4】当_时,20axbxc是一元二次方程 【答案】0a 【习

10、题 5】方程3115xx的一次项系数是_ 【答案】2 【习题 6】关于 x 的一元二次方程222340mxxm有一个根是 0,则m的值为( ) A2m B2m C22m 或 D0m 【答案】B 【习题 7】若方程2231kxxx是一元二次方程,则k的取值范围是_ 【答案】3k 【习题 8】当方程211120mmxmx是一元二次方程时,m的值为_ 【答案】1 【习题 9】下列方程中哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程?试说明理由。 (1)9322 yx (2)yyx22232 (3)xxx23)(x3- )( (4)210 xx (5)21-12-xxx (6))b(a, 02为已知数bxax 【答案】 (4) 【习题 10】用开平方法解下列方程 (1)22810 x (2) 232490 x (3)21421505x 【答案】 (1)12117xx (2)1252xx (3)1245 345 322xx 【习题 11】用因式分解法解下列方程 (1)) 1( 3) 1(22xx (2) 032 xx (3)23 49230 xx (4)112134x xxx 【答案】 (1)12112xx (2)12103xx (3)123423xx (4)1232xx