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2023年福建省中考数学一轮复习专题训练19:圆(含答案解析)

1、 专题专题 19 19 圆圆 一、单选题一、单选题 1如图,ABC 内接于O,ABC90 ,D 是的中点,连接 CD,BD 交 AC 于点 E,若ACD55 ,则AED 的度数是( ) A80 B75 C67.5 D60 2如图, 在正五边形中, 连接, 以点 A 为圆心, 为半径画弧交于点 F, 连接, 则的度数是( ) A18 B30 C36 D40 3 (2021 九上 鼓楼月考)如图,PA、PB 是O 切线,A、B 为切点,点 C 在O 上,且ACB55 ,则APB 等于( ) A55 B70 C110 D125 4 (2021 九上 福州月考)在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心,1

2、为半径作 ,则此坐标系中点 (12,12) 与 的位置关系是( ) A在圆内 B在圆外 C在圆上 D无法确定 5 (2021 九上 福州月考)下列命题中:相等的圆心角所对的弧相等;平分弦的直径垂直于弦;垂直于半径的直线是圆的切线;E,F 是AOB 的两边 OA,OB 上的两点,则不同的 E,O,F 三点确定一个圆:其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 6 (2021 九上 福州月考) O 的半径为 5 厘米 , A 为线段 OP 中点, 当 OP6 厘米时, 点 A 与 O 的位置关系是( ) A点 A 在 O 内 B点 A 在 O 上 C点 A 在 O 外 D不能确定

3、7 (2021 福建)如图, 为 的直径,点 P 在 的延长线上, , 与 相切,切点分别为 C,D.若 = 6, = 4 ,则 sin 等于( ) A35 B25 C34 D45 8 (2021 福建模拟)如图,点 , , 在 上, = 2 , = 38 ,连接 交 于点 ,则 的度数是( ) A108 B109 C110 D112 9(2021 厦门模拟)如图, 点 O 是半径为 6 的正六边形 ABCDEF 的中心, 则扇形 AOE 的面积是 ( ) A2 B4 C12 D24 10 (2021 福建模拟)如图所示,在 中,线段 是直径,点 D 是弧 上一点.延长 至点 C,使得 = 2

4、 ,连接 , , .若 = 30 ,则 的余弦值是( ) A12 B22 C32 D33 二、填空题二、填空题 11 (2022 九下 福州期中)若O 的半径为 2,则90的圆心角所对的弧长是 . 12 (2022 九上 福建竞赛)如图,ABCD 为圆 O 的内接四边形,且 ACBD,若 AB=10,CD=8,则圆O 的面积为 . 13 (2022 九下 厦门月考)我们发现:若 AD 是ABC 的中线,则有 AB2+AC22(AD2+BD2) ,请利用结论解决问题:如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB20,AD12,E 是 DC 中点,点 P 在以 AB 为直径的半圆上运动,则 CP2+EP

5、2的最小值是 . 14 (2022 福州模拟)底面半径为 3,母线长为 5 的圆锥的高是 . 15 (2022 福州模拟)如图,A,B,C,D,E 两两不相交,且半径都是 1,则图中阴影部分的面积是 . 16 (2021 九上 福州月考)圆锥底面圆半径为 3,母线长为 4,则圆锥侧面积等于 . 17 (2021 九上 思明期中)如图, 是 的直径,点 、 是圆上两点,且 = 126 ,则 = . 18 (2021 九上 福州月考)如图,内接正八边形 ABCDEFGH,若 ADE 的面积为 10,则正八边形ABCDEFGH 的面积为 . 19 (2021 集美模拟)如图,在 中, = , = 2

6、3 .以点 B 为圆心, 为半径作弧,交 的延长线于点 E,线段 沿 方向平移至 .若四边形 的面积为 43 ,则阴影部分面积为 . 20 (2021 福建模拟)如图所示,在矩形 中,扇形 的弧 与扇形 的弧 相切于点 O,且点在矩形的中心上.若 = 2 ,则图中阴影部分的面积是 . 三、综合题三、综合题 21 (2021 九上 鼓楼月考)如图,AD 是O 的直径,AB 为O 的弦,OPAD,OP 与 AB 的延长线 交于点 P,过 B 点的切线交 OP 于点 C. (1)求证:CBPADB; (2)若 OA4,AB2,求线段 BP 的长. 22 (2021 九上 福州月考)如图, 是 的直径

7、, 是 的弦, 交 于点 E,连接 , ,过点 E 作 ,垂足为 F, = . (1)求证: ; (2)点 G 在 的延长线上,连接 , = 2 . 求证: 与 相切: 当 =37, = 3 时,求 的长. 23 (2021 湖里模拟)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 = 2 4 + 3( 0)与轴交于A,B 两点(在的左侧) ,与轴交于点.D 为抛物线的顶点,对称轴与轴的交点为 E.已知 D 的纵坐标为-1. (1)直接写出抛物线的解析式; (2)若 P 是上的一点,满足 = 2,求 P 的坐标; (3)如图 2,点是抛物线上的一点,以为圆心,作与相切的圆交轴于 M,两点(M 在的左侧)

8、.若 = 4,求 Q 的坐标. 24 (2021 湖里模拟)如图,O 是四边形 ABCD 的外接圆,AC 是O 的直径,BEDC,交 DC 的延长线于点 E,CB 平分ACE. (1)求证:BE 是O 的切线. (2)若 AC4,CE1,求 tanBAD. 25 (2021 九上 福州月考)如图,在 RtABC 中,ACB=90 ,D 为 AB 边上的一点,以 AD 为直径的O 交 BC 于点 E,过点 C 作 CGAB,垂足为 G,交 AE 于点 F,过点 E 作 EPAB,垂足为 P,EAD=DEB. (1)求证:BC 是O 的切线; (2)求证:CE=EP; (3)若 CG=12,AC=

9、15,求四边形 CFPE 的面积. 26 (2021 福建模拟)如图,在 中, = 90 ,以 为直径的 交 边于点 , 为 中点,连接 . (1)求证: 与 相切; (2) 为 的中点,连接 , ,若 = 1 + 3 , = 3 ,求劣弧 的长. 27 (2021 南平模拟)如图 1,在直角ABC 中,ACB=90 ,AO 是ABC 的角平分线,以 O 为圆心,OC 为半径作圆 O (1)求证:AB 是O 的切线; (2)已知 AO 交圆 O 于点 E,延长 AO 交圆 O 于点 D,tanD= 12 ,求 的值; (3)如图 2,在(2)条件下,若 AB 与O 的切点为点 F,连接 CF

10、交 AD 于点 G,设O 的半径为 3,求 CF 的长. 28 (2021 集美模拟)如图, 为 的外接圆,直径 于点 E,连接 . (1)求证: = ; (2)过点 D 作 / 交 于点 F. 请补全图形,并证明: =12 ; 若 的半径为 3, = ,连接 .求 的长度. 29 (2021 泉州模拟)如图 1,在 中,点 A 是优弧 上的一点,点 I 为 的内心,连接 并延长交 于点 D,连接 交 于点 E,连接 . (1)求证: ; (2)连接 ,求证: = ; (3)如图 2,若 = 24 , tan =512 ,当 B、O、I 三点共线时,过点 D 作 / ,交 于点 G,求 的长.

11、 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解:由同弧所对的圆周角相等可知:ABD=ACD=55 , D 是 的中点, ABC+CAB=2ABD=110 ,又ABC=90 , CAB=20 , 由三角形的外角定理可知,AED=CAB+ABD=20 +55 =75 , 故答案为:B. 【分析】由同弧所对的圆周角相等可知ABD=ACD=55 ,由 D 是 的中点,可得ABC+CAB=110 ,继而求出CAB=20 ,根据三角形外角的性质可得AED=CAB+ABD=20 +55 =75 . 2 【答案】C 【解析】【解答】解:在正五边形中, AB=BC=CD=DE=EA, = = =

12、 = =(52)1805= 108, 所以 = =1801082= 36, 所以 = 108 36 = 72, 因为 + = 108 + 72 = 180, 所以/, 又因为以点 A 为圆心,为半径画弧交于点 F, 所以 AF= AB =DE, 所以四边形 AEDF 是平行四边形, 所以 = = 72, 所以 = 108 = 108 72 = 36. 故答案为:C. 【分析】 根据正五边形的性质可得 AB=BC=CD=DE=EA, ABC=BCD=CDE=DEA=EAB=108 ,结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得BAC=ACB=36 ,则EAC=72 ,推出 AFED,由题意可得 AF=

13、 AB =DE,推出四边形 AEDF 是平行四边形,则EAC=EDF=72 ,然后根据FDC=EDC-EDF 进行计算. 3 【答案】B 【解析】【解答】解:连接 OA,OB, PA,PB 是O 的切线, PAOA,PBOB, OAP=OBP=90 , ACB55 , AOB110 , APB360909011070 . 故答案为:B. 【分析】连接 OA,OB,根据切线的性质得出OAP=OBP=90 ,根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出AOB 的度数,再根据四边形的内角和为 360 列式计算即可. 4 【答案】A 【解析】【解答】解:因为点 (12,12) 与圆心 O 的距离为 (12

14、0)2+ (12 0)2=22r 时点在圆外,当 d=r 时点在圆上,当 dr 时点在圆内,判断即可. 5 【答案】D 【解析】【解答】解:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故错误; 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误; 垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线,故错误; E、F 是AOB(AOB180)的两边 OA、OB 上的两点,则 E、O、F 三点确定一个圆,故错误. 故答案为:D. 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系,垂径定理、切线的判定定理、不在同一直线上的三个点确定一个圆逐一进行判断即可. 6 【答案】A 【解析】【解答】解:A 为线段 OP 中点, 当 OP6 厘米

15、 OA=3 厘米 3 厘米5 厘米 即 OAr 点 A 在O 内 故答案为:A. 【分析】根据线段的中点可得 OA=12OP=3 厘米,由于 OAr,根据点与圆的位置关系进行判断即可. 7 【答案】D 【解析】【解答】解:连接 OC, CP,DP 是O 的切线,则OCP90 ,CAPPAD, CAD=2CAP, OA=OC OACACO, COP2CAO COPCAD = 6 OC=3 在 RtCOP 中,OC=3,PC=4 OP=5. sin = sin = 45 故答案为:D. 【分析】连接 OC,利用切线的性质及切线长定理得出OCP90 ,CAPPAD,根据圆周角定理COP2CAO, 从

16、而得出COPCAD, 在 RtCOP 中, 利用勾股定理求出 OP, 利用sin = sin = 即得结论. 8 【答案】B 【解析】【解答】解:如解图,连接 , , = 38 , = 2 = 76 . = 2 , =12 = 38 . = , = =12 (180 76 38) = 33 , = 180 = 180 38 33 = 109 , = = 109 . 故答案为:B. 【分析】连接 OB,OC,由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得AOC=76 ,根据弧、圆周角的关系可得AOB=12AOC=38 ,然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得OCB=OBC=33 ,求出OMB

17、的度数,进而得到AMC 的度数. 9 【答案】C 【解析】【解答】解:连接 OF , O 是半径为 6 的正六边形 ABCDEF 的中心, = =3606= 60 , = 120 , 扇形 AOE 的面积为: 12062360= 12 , 故答案为:C. 【分析】连接 OF,易得AOF=FOE=60 ,则AOE=120 ,然后结合扇形的面积公式进行计算. 10 【答案】C 【解析】【解答】解:过点 O 作 ODCD 于 D 。 ODC=90 ,C= 30 , OC= 2OD, AB=2BC,OA=OB, OC= 2OA=2OD, D 与 D重合, DOC =90 - 30 = 60 , OA=

18、 OD, OAD=ODA=30 , cosADO=32, 故答案为:C. 【分析】过点 O 作 ODCD 于 D, 证明 OD=OD,得出 D 与 D重合,再证明ADO= 30 即可得出结论。 11 【答案】 【解析】【解答】解:弧长=902180= . 故答案为:. 【分析】利用弧长公式R180,代入计算可求出结果. 12 【答案】41 【解析】【解答】解:如图,连接 ,并延长交圆 于点 ,连接 , . 则 , . , / , = BE=CD, = 8 = = 8 . 在 Rt 中,AB=10, = 8 所以,由勾股定理得, = 2+ 2= 102+ 82= 241 =12 = 41 . 所

19、以圆 的面积为 2= 41 . 故答案为:41. 【分析】连接 AO,并延长交圆 O 于点 E,连接 EB、EC,根据圆周角定理可得 ABBE,ACCE,推出 BDEC,得到 BE=CD=8,利用勾股定理可得 AE,然后求出 OA,接下来根据圆的面积公式进行计算. 13 【答案】68 【解析】【解答】解:设点 O 为 AB 的中点,H 为 CE 的中点, 连接 HO 交半圆于点 P,此时 PH 取最小值, AB20,四边形 ABCD 为矩形, CDAB,BCAD, OPCE12AB10, CP2+EP2=2(PH2+CH2). 过 H 作 HGAB 于 G, HG=12,OG=5, OH=13

20、, PH=3, CP2+EP2的最小值=2(9+25)=68, 故答案为:68. 【分析】设点 O 为 AB 的中点,H 为 CE 的中点,连接 HO 交半圆于点 P,此时 PH 取得最小值,由矩形的性质可得 CDAB,BCAD,则 OPCE12AB10,则 CP2+EP2=2(PH2+CH2),过 H 作 HGAB 于 G,求出 HG、OG、OH、PH 的值,据此解答. 14 【答案】4 【解析】【解答】解:由勾股定理得,圆锥的高为 52 32= 4. 故答案为:4. 【分析】根据圆锥的特点可知:母线长、底面圆的半径,圆锥的高所在的直线组成一个直角三角形,然后根据勾股定理计算即可. 15 【

21、答案】32 【解析】【解答】解:五边形的内角和等于(5-2) 180 =540 , S阴影= 2360=54012360 = 32 (cm2). 故答案为: 32 . 【分析】 根据多边形内角和公式可得五边形的内角和, 由图形可知: 阴影部分的面积为圆心角为 540 ,半径为 1 的扇形的面积,然后结合扇形的面积公式进行计算. 16 【答案】12 【解析】【解答】解:由题意得:圆锥的侧面积 4232= 12 故答案为:12. 【分析】直接根据圆锥的侧面积公式 C=12cl(c 是底面周长,l 是母线长)计算即可. 17 【答案】27 【解析】【解答】解:AOC=126 , BOC=180 -A

22、OC=54 , CDB= 12 BOC=27 . 故答案为:27 . 【分析】首先根据邻补角的性质求出BOC 的度数,然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解. 18 【答案】40 【解析】【解答】解:取 AE 中点 O,则点 O 为正八边形 ABCDEFGH 外接圆的圆心,连接 OD, ODE 的面积= 12 ADE 的面积= 12 10=5, 圆内接正八边形 ABCDEFGH 是由 8 个与ODE 全等的三角形构成. 则圆内接正八边形 ABCDEFGH 为 8 5=40, 故答案为:40. 【分析】取 AE 中点 O,则点 O 为正八边形 ABCDEFGH 外接圆的圆心,连接 OD

23、,可得ODE 的面积= 12 ADE 的面积=5,由于圆内接正八边形 ABCDEFGH 是由 8 个与ODE 全等的三角形构成,据此即可求出结论. 19 【答案】3 3 - 23 【解析】【解答】解:连接 AE,过点 B 作 BFAC, = = , C,A,E 三点共圆,点 B 为圆心, CAE=90 , ,线段 沿 方向平移至 , 四边形 是平行四边形, = 23 ,四边形 的面积为 43 , 23 = 43 ,即:AE=2, = 2+ 2=(23)2+ 22= 4 , BC=AB=BE=AE=2, ABE=60 ,C= 12 ABE=30 , BF= 12 BC=1, 阴影= 扇形= 43

24、 12 23 1 6022360 =3 3 - 23 . 【分析】连接 AE,过点 B 作 BFAC,由题意得 C,A,E 三点共圆,点 B 为圆心,四边形 是平行四边形,根据四边形 的面积为 43 ,可得 AE=2,然后根据割补法,即可求解. 20 【答案】23 【解析】【解答】解:如图,连接 BD, 点 O 在矩形的中心上,且四边形 ABCD 为矩形, 线段 BD 经过点 O,且 O 点为其中点. = = = 2 , = 22 . 在 中, = 2 2= 6 . 阴影= 矩形 扇形扇形= 902360902360=26 14 (2)214 (2)2= 23 故答案为 23 . 【分析】 连

25、接BD, 根据题意可知线段BD经过点O, 且O点为其中点, 由此即得出 = = = 2 ,从而求出 = 22 .在 中, 利用勾股定理即可求出AD的长, 最后根据 阴影= 矩形扇形扇形 即可求出答案. 21 【答案】(1)证明:连接 OB,如图, AD 是O 的直径, ABD90 , A+ADB90 , BC 为切线, OBBC, OBC90 , OBA+CBP90 , 而 OAOB, AOBA, CBPADB; (2)解:OPAD, POA90 , P+A90 , PD, AOPABD, ,即 2+8 42 , BP14. 【解析】【分析】 (1)连接 OB,根据圆周角定理得出ABD=90

26、,再根据切线的性质得到OBC=90 ,然后利用等腰三角形的性质和角的和差关系证明即可; (2)根据同角的余角相等得P=D,故可证明AOPABD,然后根据相似三角形的性质列比例式求 BP 的长即可. 22 【答案】(1)证明:由圆周角定理得: = , = , = , , + = 90 , + = 90 ,即 = 90 , ; (2)解:如图,连接 , 由圆周角定理得: = 2 , = 2 , = , 由(1)已证: , + = 90 , + = 90 ,即 = 90 , , 又 是 的半径, 与 相切; 如图,连接 , 是 的直径, = 90 ,即 , , , = ,即 3=73 , 解得 =

27、7 , = + = 10, = =12 = 5, = = 2 , 在 和 中, = = 90 = , , = ,即 5=52 , 解得 =252 , = =252 5 =152 . 【解析】【分析】 (1) 根据圆周角定理得出B=D, 则可得出B=AEF, 再根据直角三角形的性质、等量代换即可证得结果; (2)先根据圆周角定理可得AOC=2D,则可得出AOC=DAG,再根据直角三角形的性质推出OAG= 90 ,则可证出 AG 与 相切 ; 根据圆周角定理得出BAC=90 ,则可得到 ACEF,再根据平行线分线段成比例定理求出 BE 的长,从而求出 OA、 OC 和 OE 的长,然后证明AOGE

28、OA,列比例式求出 OG 的长,最后根据线段的和差关系求 CG 长即可. 23 【答案】(1)解:抛物线的解析式为: = 2 4 + 3; (2)解:如图 1,作 的外接圆 ,连结,PB, 则点 P 在直线上,且满足 = 2,点就是所求的点, 抛物线的解析式为 = 2 4 + 3, 当 = 0时, = 3, 当 = 0时, = 1或 = 3, (1,0),(3,0),(0,3), 设直线与直线相交于, = = 3, = 45, = , , = = 2, = 12+ 32= 10, = = 32 2 = 22, 2+ 2= 2, = 90, =12, =12 = , =12, = 2, 点的坐标

29、为(2,2), 同理,点 P 关于轴的对称点(2, 2)也符合题意, 点 P 的坐标为(2,2),(2, 2); (3)解:设 与相切于点,则直径 , = 90, 如图2,连结, = 90 = = , = , , =, 2= = 4, 当 = 2时,2 4 + 3 = 2, 解得, = 2 3, 此时 的半径为 = 2 (2 3) = 3 2, 即 与轴没有交点,与已知矛盾的,故舍去, 点 Q 不存在. 【解析】【解答】 (1)解: = 2 4 + 3 = ( 2)2 ,顶点 D 的纵坐标为-1, = 1,即 = 1, 抛物线的解析式为: = 2 4 + 3; 【分析】 (1)将抛物线的解析式

30、配成顶点式,结合顶点 D 的纵坐标为-1,得出 a 值即可; (2) 作ABC 的外接圆 , 连结 PA, PB, CA, CB, 则点 P 在直线 l 上, 且满足APB=2ACB,点 P 就是所求的点;易得 A、B、C 三点的坐标, 利用勾股定理的逆定理得 = 90,由 =12 = 可得 =12,从而求出 PE 的长,即得点 P 坐标, 同理,点 P关于 x 轴的对称点也符合题意; (3)设 与 l 相切于点 R,则直径 KRRE,KNR=90 ,如图2,连结 KN、RN、RM,证明RENMER,可得 RE2=EM EN=4,即 RE=2,将 y=2 代入二次函数解析式中求出 x 值并检验

31、即可. 24 【答案】(1)证明:如图,连接 OB, CB 平分ACE. ACBECB, OBOC, BCOCBO, BCECBO, OBED. BEED, EBBO. BE 是O 的切线; (2)解:AC 是O 的直径, ABC90 , BEED, E90 , EABC, BCEACB, BCEACB, =, AC4,CE1, = = 2, = 2 2= 3, BCD+BADBCD+BCE180 , BCEBAD, tan = tan = 3. 【解析】【分析】 (1)连接 OB,由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得BCECBO,利用平 行线的判定可得 OBED,根据平行线的性质可得 EB

32、BO,根据切线的判定即证; (2)证明BCEACB 可得 =,据此求出 BC=2,利用勾股定理求出 BE= 3, 根据圆内接四边形的性质及补角的定义可得BCD+BADBCD+BCE180 , 从而得出BCEBAD, 根据 tan = tan =即可求解. 25 【答案】(1)证明:连接 OE, OE=OD, OED=ADE, AD 是直径, AED=90 , EAD+ADE=90 , 又DEB=EAD, DEB+OED=90 , BEO=90 , OEBC, BC 是O 的切线; (2)证明:BEO=ACB=90 , ACOE, CAE=OEA, OA=OE, EAO=AEO, CAE=EAO

33、, AE 为CAB 的角平分线, 又EPAB,ACB=90 , CE=EP; (3)解:连接 PF, CG=12,AC=15, AG= 2 2=152 122 =9, CAE=EAP, AEC=AFG=CFE, CF=CE, CE=EP, CF=PE, CGAB,EPAB, CFEP, 四边形 CFPE 是平行四边形, 又CF=PF, 四边形 CFPE 是菱形, CF=EP=CE=PF, CAE=EAP,EPA=ACE=90 ,CE=EP, ACEAPE(AAS) , AP=AC=15, PG=AP-AG=15-9=6, PF2=FG2+GP2, CF2=(12-CF)2+36, CF= 15

34、2 , 四边形 CFPE 的面积=CF GP= 152 6=45. 【解析】【分析】(1) 连接 OE, 由等腰三角形的性质和圆周角定理的推论可得OED=ADE, AED=90 , 利用余角的性质可得DEB+OED=90 , 进而求出BEO=90 , 根据切线的判定定理即证; (2)根据平行线的判定与性质及等腰三角形的性质可得CAE=EAO,即得 AE 为CAB 的角平分 线,根据角平分线的性质可得 CE=EP; (3)连接 PF,先证四边形 CFPE 是菱形,可得 CF=EP=CE=PF,根据 AAS 可证ACEAPE,可得 AP=AC=15,再利用勾股定理求出 CF, 根据四边形 CFPE

35、 的面积=CF GP 进行计算即可. 26 【答案】(1)证明:如图,连接 , . 为 的直径, = 90 , = 90 . 在 中, 为 的中点, =12 = . = . = , = , + = + ,即 = . = 90 , = 90 ,即 . 是 的切线,即 DE 与 相切. (2)解:如解图,连接 ,过点 作 ,垂足为 . = 3 , 中, tan = 3 . = 60 . = , = = 60 ,BOD=2BAD=120 . 在 中, tan =, = tan = tan60 = 3 . 为 的中点, FOAB. = = 90 . = , =12 = 45 , = = 3 . = 1

36、 + 3 , + 3 = 1 + 3 . = 1 . =cos60= 2 . 在 中, = , = cos45 = 2 . =1202180=223 【解析】【分析】 (1)连接 OD、BD,由圆周角定理可得ADB=90 ,根据直角三角形斜边上中线的性质可得 ED=12BC=EB, 由等腰三角形的性质可得EDB=EBD, ODB=OBD, 推出ODE=OBE,ODE=90 ,据此证明; (2)连接 OF,过点 B 作 BGDF 于点 G,易得BAC=60 ,由圆周角定理可得BFD=BAD=60 ,BOD=2BAD=120 ,BDF=45 ,根据三角函数的概念表示出 BG,然后表示出 DG,根据

37、 DF 的值可求出 GF,进而得到 BF,由三角函数的概念求出 OB,然后结合弧长公式进行求解. 27 【答案】(1)证明:如图,过点 O 作 OFAB 于点 F AO 平分CAB, OCAC,OFAB, OC=OF, AB 是O 的切线; (2)解:如图,连接 CE, ED 是O 的直径, ECD=90 , ECO+OCD=90 , ACB=90 , ACE+ECO=90 , ACE=OCD, OC=OD, OCD=ODC, ACE=ODC, CAE=CAE, ACEADC, = , tan =12 , =12 ; (3)解:由(2)可知: =12 , 设 AE=x,AC=2x, ACEAD

38、C, = , AC2=AEAD, (2x)2=x(x+6) , 解得:x=2 或 x=0(不合题意,舍去) , AE=2,AC=4, AO=AE+OE=2+3=5, 如图,连接 CF 交 AD 于点 M AC,AF 是O 的切线, AC=AF,CAO=OAF, CFAO, ACO=CMO=90 , COM=AOC, CMOACO, = , OC2=OMOA, OM= 95 , CM= 22=32 (95)2 = 125 , = 2 =245 . 【解析】【分析】 (1)由题可过点 O 作 OFAB 于点 F,然后结合已知证 OCOF 即可求解; (2)连接 CE,先证ACEODC,然后可证AC

39、EADC,于是可得比例式=,由锐角三角函数 tanD即可求解; (3)由(2)可设 AE=x,AC=2x,由相似三角形的性质得 AC2AEAD,于是可求出 AE,AC 的长,则 AO=AE+OE 可求得 AO 的值;连接 CF 交 AD 于点 M,证CMOACO,可得 OC2OMOA,求出 OM、CM 的值,则 CF2CM 可求解 28 【答案】(1)证明:直径 于点 E, BE=CE, = , BAD=CAD= 12 BAC, BAD= 12 BOD, BOD=BAC; (2)解:如图 DF 即为所求,作 OMDF 于点 M, DM= 12 DF, OBDF, BOD=ODM, 在 和 中,

40、 = = = 90 = , , OE=DM= 12 DF; DF=DE,OE= 12 DF, DE=2OE, 的半径为 3,即:OD=3, OE=1,DE=DF=2, 在 中,BE= 2 2=32 12= 22 , CE=BE= 22 , AE=OA+OE=3+1=4, AC= 2+ 2=42+ (22)2= 26 , 作 ANFC 交 FC 的延长线于点 N,连接 AF, AD 是直径, 是直角三角形, AD=2OA=6,DF=2, AF= 2 2=62 22= 42 , 四边形 ADFC 是 的内接四边形, ACN=D, ANC=AFD=90 , , = ,即: 626=42=2 , CN

41、= 263 ,AN= 833 , = 2 2= 32 643=463 , CF=FN-CN= 263 . 【解析】【分析】 (1)根据垂径定理得 BE=CE, = ,再根据圆周角定理及其推论,即可得到结论; (2)先作图,然后作 OMDF 于点 M,由垂径定理得 DM= 12 DF,再证明 ,进而即可得到结论; 先求出AC= 26 , 作ANFC交FC的延长线于点N, 连接AF, 可得AF= 42 , 证明 ,可得 CN= 263 ,AN= 833 ,进而即可得到答案. 29 【答案】(1)证明:解法一:如图 1,连接 、 、 、 , 点 I 为 的内心, 平分 , = , = , = , 点

42、 D 在 的中垂线上, = , 点 O 在 的中垂线上, . 解法二:如图 1,连接 、 、 、 , 图 1 点 I 为 的内心, 平分 , = , = , 又 是半径, . (2)证明:如图 2,连接 , 图 2 设 = 2 , = 2 , 由(1)知 = = , 点 I 为 的内心, 平分 , = = , = , = = , = + = + , = + = + , = , = . (3)解:如图 3,连接 ,作 于 K, 图 3 , = 24 , =12 = 12 , 在 中, = 90 , = tan = 12 512= 5 , 又 , =12 , / , , , = 90 , , =

43、90 , = 90 , = 90 , = , 在 中, = 90 , = sin , 在 中, = 90 , = sin , = , = = 5 , = 2 = 10 . 【解析】【分析】 (1)解法一:连接 、 、 、 ,由内心的性质可知 为 的角平分线,根据相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等可知 = , = ,根据等腰三角形三线合一可知点 DD 在 的中垂线上, 根据 = 可知点 O 在 的中垂线上, 进而即可得到结论;解法二:连接 、 、 、 ,由内心的性质可知 为 的角平分线,根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等可知 = ,根据平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,且 是半径,即可得到结论; (2)如图 2,连接 ,设 = 2 , = 2 ,由内心的性质可知 = = , = = ,由同弧或等弧所对的圆周角相等可知 = = ,根据角的关系可以用 , 表示出 和 ,进而通过等腰三角形的性质得到 = ; (3) 如图3, 连接 , 作 于 , 根据垂直平分线的性质可得 的长度, 在 中,根据三角函数的性质可得 的长度,根据等腰三角形垂径定理可知 =12 ,根据平行线的性质可得 ,则 = 90 ,根据同角的余角相等可得 = ,在 和 中根据三角函数的关系可得 = ,进而即可得到 的长