1、 专题专题 19 19 圆圆 一、单选题一、单选题 1如图，ABC 内接于O，ABC90 ，D 是的中点，连接 CD，BD 交 AC 于点 E，若ACD55 ，则AED 的度数是（ ） A80 B75 C67.5 D60 2如图， 在正五边形中， 连接， 以点 A 为圆心， 为半径画弧交于点 F， 连接， 则的度数是( ) A18 B30 C36 D40 3 （2021 九上 鼓楼月考）如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55 ，则APB 等于( ) A55 B70 C110 D125 4 （2021 九上 福州月考）在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，1
2、为半径作 ，则此坐标系中点 (12，12) 与 的位置关系是（ ） A在圆内 B在圆外 C在圆上 D无法确定 5 （2021 九上 福州月考）下列命题中：相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；垂直于半径的直线是圆的切线；E，F 是AOB 的两边 OA，OB 上的两点，则不同的 E，O，F 三点确定一个圆：其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 6 （2021 九上 福州月考） O 的半径为 5 厘米 ， A 为线段 OP 中点， 当 OP6 厘米时， 点 A 与 O 的位置关系是（ ） A点 A 在 O 内 B点 A 在 O 上 C点 A 在 O 外 D不能确定
3、7 （2021 福建）如图， 为 的直径，点 P 在 的延长线上， ， 与 相切，切点分别为 C，D.若 = 6， = 4 ，则 sin 等于（ ） A35 B25 C34 D45 8 （2021 福建模拟）如图，点 ， ， 在 上， = 2 ， = 38 ，连接 交 于点 ，则 的度数是（ ） A108 B109 C110 D112 9（2021 厦门模拟）如图， 点 O 是半径为 6 的正六边形 ABCDEF 的中心， 则扇形 AOE 的面积是 （ ） A2 B4 C12 D24 10 （2021 福建模拟）如图所示，在 中，线段 是直径，点 D 是弧 上一点.延长 至点 C，使得 = 2
4、 ，连接 ， ， .若 = 30 ，则 的余弦值是（ ） A12 B22 C32 D33 二、填空题二、填空题 11 （2022 九下 福州期中）若O 的半径为 2，则90的圆心角所对的弧长是 . 12 （2022 九上 福建竞赛）如图，ABCD 为圆 O 的内接四边形，且 ACBD，若 AB=10，CD=8，则圆O 的面积为 . 13 （2022 九下 厦门月考）我们发现：若 AD 是ABC 的中线，则有 AB2+AC22（AD2+BD2） ，请利用结论解决问题：如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB20，AD12，E 是 DC 中点，点 P 在以 AB 为直径的半圆上运动，则 CP2+EP
5、2的最小值是 . 14 （2022 福州模拟）底面半径为 3，母线长为 5 的圆锥的高是 . 15 （2022 福州模拟）如图，A，B，C，D，E 两两不相交，且半径都是 1，则图中阴影部分的面积是 . 16 （2021 九上 福州月考）圆锥底面圆半径为 3，母线长为 4，则圆锥侧面积等于 . 17 （2021 九上 思明期中）如图， 是 的直径，点 、 是圆上两点，且 = 126 ，则 = . 18 （2021 九上 福州月考）如图，内接正八边形 ABCDEFGH，若 ADE 的面积为 10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为 . 19 （2021 集美模拟）如图，在 中， = ， = 2
6、3 .以点 B 为圆心， 为半径作弧，交 的延长线于点 E，线段 沿 方向平移至 .若四边形 的面积为 43 ，则阴影部分面积为 . 20 （2021 福建模拟）如图所示，在矩形 中，扇形 的弧 与扇形 的弧 相切于点 O，且点在矩形的中心上.若 = 2 ，则图中阴影部分的面积是 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 九上 鼓楼月考）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线 交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C. （1）求证：CBPADB； （2）若 OA4，AB2，求线段 BP 的长. 22 （2021 九上 福州月考）如图， 是 的直径
7、， 是 的弦， 交 于点 E，连接 ， ，过点 E 作 ，垂足为 F， = . （1）求证： ； （2）点 G 在 的延长线上，连接 ， = 2 . 求证： 与 相切： 当 =37， = 3 时，求 的长. 23 （2021 湖里模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 4 + 3( 0)与轴交于A，B 两点（在的左侧） ，与轴交于点.D 为抛物线的顶点，对称轴与轴的交点为 E.已知 D 的纵坐标为-1. （1）直接写出抛物线的解析式； （2）若 P 是上的一点，满足 = 2，求 P 的坐标； （3）如图 2，点是抛物线上的一点，以为圆心，作与相切的圆交轴于 M，两点（M 在的左侧）
8、.若 = 4，求 Q 的坐标. 24 （2021 湖里模拟）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 是O 的直径，BEDC，交 DC 的延长线于点 E，CB 平分ACE. （1）求证：BE 是O 的切线. （2）若 AC4，CE1，求 tanBAD. 25 （2021 九上 福州月考）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，D 为 AB 边上的一点，以 AD 为直径的O 交 BC 于点 E，过点 C 作 CGAB，垂足为 G，交 AE 于点 F，过点 E 作 EPAB，垂足为 P，EAD=DEB. （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：CE=EP； （3）若 CG=12，AC=
9、15，求四边形 CFPE 的面积. 26 （2021 福建模拟）如图，在 中， = 90 ，以 为直径的 交 边于点 ， 为 中点，连接 . （1）求证： 与 相切； （2） 为 的中点，连接 ， ，若 = 1 + 3 ， = 3 ，求劣弧 的长. 27 （2021 南平模拟）如图 1，在直角ABC 中，ACB=90 ，AO 是ABC 的角平分线，以 O 为圆心，OC 为半径作圆 O （1）求证：AB 是O 的切线； （2）已知 AO 交圆 O 于点 E，延长 AO 交圆 O 于点 D，tanD= 12 ，求 的值； （3）如图 2，在（2）条件下，若 AB 与O 的切点为点 F，连接 CF
10、交 AD 于点 G，设O 的半径为 3，求 CF 的长. 28 （2021 集美模拟）如图， 为 的外接圆，直径 于点 E，连接 . （1）求证： = ； （2）过点 D 作 / 交 于点 F. 请补全图形，并证明： =12 ； 若 的半径为 3， = ，连接 .求 的长度. 29 （2021 泉州模拟）如图 1，在 中，点 A 是优弧 上的一点，点 I 为 的内心，连接 并延长交 于点 D，连接 交 于点 E，连接 . （1）求证： ； （2）连接 ，求证： = ； （3）如图 2，若 = 24 ， tan =512 ，当 B、O、I 三点共线时，过点 D 作 / ，交 于点 G，求 的长.
11、 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：由同弧所对的圆周角相等可知：ABD=ACD=55 ， D 是 的中点， ABC+CAB=2ABD=110 ，又ABC=90 ， CAB=20 ， 由三角形的外角定理可知，AED=CAB+ABD=20 +55 =75 ， 故答案为：B. 【分析】由同弧所对的圆周角相等可知ABD=ACD=55 ，由 D 是 的中点，可得ABC+CAB=110 ，继而求出CAB=20 ，根据三角形外角的性质可得AED=CAB+ABD=20 +55 =75 . 2 【答案】C 【解析】【解答】解：在正五边形中， AB=BC=CD=DE=EA， = = =
12、 = =(52)1805= 108， 所以 = =1801082= 36， 所以 = 108 36 = 72， 因为 + = 108 + 72 = 180， 所以/， 又因为以点 A 为圆心，为半径画弧交于点 F， 所以 AF= AB =DE， 所以四边形 AEDF 是平行四边形， 所以 = = 72， 所以 = 108 = 108 72 = 36. 故答案为：C. 【分析】 根据正五边形的性质可得 AB=BC=CD=DE=EA， ABC=BCD=CDE=DEA=EAB=108 ，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得BAC=ACB=36 ，则EAC=72 ，推出 AFED，由题意可得 AF=
13、 AB =DE，推出四边形 AEDF 是平行四边形，则EAC=EDF=72 ，然后根据FDC=EDC-EDF 进行计算. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 OA，OB， PA，PB 是O 的切线， PAOA，PBOB， OAP=OBP=90 ， ACB55 ， AOB110 ， APB360909011070 . 故答案为：B. 【分析】连接 OA，OB，根据切线的性质得出OAP=OBP=90 ，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出AOB 的度数，再根据四边形的内角和为 360 列式计算即可. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：因为点 (12，12) 与圆心 O 的距离为 (12
14、0)2+ (12 0)2=22r 时点在圆外，当 d=r 时点在圆上，当 dr 时点在圆内，判断即可. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误； 垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，故错误； E、F 是AOB（AOB180）的两边 OA、OB 上的两点，则 E、O、F 三点确定一个圆，故错误. 故答案为：D. 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，垂径定理、切线的判定定理、不在同一直线上的三个点确定一个圆逐一进行判断即可. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：A 为线段 OP 中点， 当 OP6 厘米
15、 OA=3 厘米 3 厘米5 厘米 即 OAr 点 A 在O 内 故答案为：A. 【分析】根据线段的中点可得 OA=12OP=3 厘米，由于 OAr，根据点与圆的位置关系进行判断即可. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：连接 OC， CP，DP 是O 的切线，则OCP90 ，CAPPAD， CAD=2CAP， OA=OC OACACO， COP2CAO COPCAD = 6 OC=3 在 RtCOP 中，OC=3，PC=4 OP=5. sin = sin = 45 故答案为：D. 【分析】连接 OC，利用切线的性质及切线长定理得出OCP90 ，CAPPAD，根据圆周角定理COP2CAO， 从
16、而得出COPCAD， 在 RtCOP 中， 利用勾股定理求出 OP， 利用sin = sin = 即得结论. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：如解图，连接 ， ， = 38 ， = 2 = 76 . = 2 ， =12 = 38 . = ， = =12 (180 76 38) = 33 ， = 180 = 180 38 33 = 109 ， = = 109 . 故答案为：B. 【分析】连接 OB，OC，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得AOC=76 ，根据弧、圆周角的关系可得AOB=12AOC=38 ，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得OCB=OBC=33 ，求出OMB
17、的度数，进而得到AMC 的度数. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：连接 OF ， O 是半径为 6 的正六边形 ABCDEF 的中心， = =3606= 60 ， = 120 ， 扇形 AOE 的面积为： 12062360= 12 ， 故答案为：C. 【分析】连接 OF，易得AOF=FOE=60 ，则AOE=120 ，然后结合扇形的面积公式进行计算. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：过点 O 作 ODCD 于 D 。 ODC=90 ，C= 30 ， OC= 2OD， AB=2BC，OA=OB， OC= 2OA=2OD， D 与 D重合， DOC =90 - 30 = 60 , OA=
18、 OD, OAD=ODA=30 , cosADO=32, 故答案为：C. 【分析】过点 O 作 ODCD 于 D， 证明 OD=OD，得出 D 与 D重合，再证明ADO= 30 即可得出结论。 11 【答案】 【解析】【解答】解：弧长=902180= . 故答案为：. 【分析】利用弧长公式R180，代入计算可求出结果. 12 【答案】41 【解析】【解答】解：如图，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， . 则 ， . ， / ， = BE=CD， = 8 = = 8 . 在 Rt 中，AB=10， = 8 所以，由勾股定理得， = 2+ 2= 102+ 82= 241 =12 = 41 . 所
19、以圆 的面积为 2= 41 . 故答案为：41. 【分析】连接 AO，并延长交圆 O 于点 E，连接 EB、EC，根据圆周角定理可得 ABBE，ACCE，推出 BDEC，得到 BE=CD=8，利用勾股定理可得 AE，然后求出 OA，接下来根据圆的面积公式进行计算. 13 【答案】68 【解析】【解答】解：设点 O 为 AB 的中点，H 为 CE 的中点， 连接 HO 交半圆于点 P，此时 PH 取最小值， AB20，四边形 ABCD 为矩形， CDAB，BCAD， OPCE12AB10， CP2+EP2=2（PH2+CH2）. 过 H 作 HGAB 于 G， HG=12，OG=5， OH=13
20、， PH=3， CP2+EP2的最小值=2（9+25）=68， 故答案为：68. 【分析】设点 O 为 AB 的中点，H 为 CE 的中点，连接 HO 交半圆于点 P，此时 PH 取得最小值，由矩形的性质可得 CDAB，BCAD，则 OPCE12AB10，则 CP2+EP2=2(PH2+CH2)，过 H 作 HGAB 于 G，求出 HG、OG、OH、PH 的值，据此解答. 14 【答案】4 【解析】【解答】解：由勾股定理得，圆锥的高为 52 32= 4. 故答案为：4. 【分析】根据圆锥的特点可知：母线长、底面圆的半径，圆锥的高所在的直线组成一个直角三角形，然后根据勾股定理计算即可. 15 【
21、答案】32 【解析】【解答】解：五边形的内角和等于（5-2） 180 =540 ， S阴影= 2360=54012360 = 32 (cm2). 故答案为： 32 . 【分析】 根据多边形内角和公式可得五边形的内角和， 由图形可知： 阴影部分的面积为圆心角为 540 ，半径为 1 的扇形的面积，然后结合扇形的面积公式进行计算. 16 【答案】12 【解析】【解答】解：由题意得：圆锥的侧面积 4232= 12 故答案为：12. 【分析】直接根据圆锥的侧面积公式 C=12cl（c 是底面周长，l 是母线长）计算即可. 17 【答案】27 【解析】【解答】解：AOC=126 ， BOC=180 -A
22、OC=54 ， CDB= 12 BOC=27 . 故答案为：27 . 【分析】首先根据邻补角的性质求出BOC 的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解. 18 【答案】40 【解析】【解答】解：取 AE 中点 O，则点 O 为正八边形 ABCDEFGH 外接圆的圆心，连接 OD， ODE 的面积= 12 ADE 的面积= 12 10=5， 圆内接正八边形 ABCDEFGH 是由 8 个与ODE 全等的三角形构成. 则圆内接正八边形 ABCDEFGH 为 8 5=40， 故答案为：40. 【分析】取 AE 中点 O，则点 O 为正八边形 ABCDEFGH 外接圆的圆心，连接 OD
23、，可得ODE 的面积= 12 ADE 的面积=5，由于圆内接正八边形 ABCDEFGH 是由 8 个与ODE 全等的三角形构成，据此即可求出结论. 19 【答案】3 3 - 23 【解析】【解答】解：连接 AE，过点 B 作 BFAC， = = ， C，A，E 三点共圆，点 B 为圆心， CAE=90 ， ，线段 沿 方向平移至 ， 四边形 是平行四边形， = 23 ，四边形 的面积为 43 ， 23 = 43 ，即：AE=2， = 2+ 2=(23)2+ 22= 4 ， BC=AB=BE=AE=2， ABE=60 ，C= 12 ABE=30 ， BF= 12 BC=1， 阴影= 扇形= 43
24、 12 23 1 6022360 =3 3 - 23 . 【分析】连接 AE，过点 B 作 BFAC，由题意得 C，A，E 三点共圆，点 B 为圆心，四边形 是平行四边形，根据四边形 的面积为 43 ，可得 AE=2，然后根据割补法，即可求解. 20 【答案】23 【解析】【解答】解：如图，连接 BD， 点 O 在矩形的中心上，且四边形 ABCD 为矩形， 线段 BD 经过点 O，且 O 点为其中点. = = = 2 ， = 22 . 在 中， = 2 2= 6 . 阴影= 矩形 扇形扇形= 902360902360=26 14 (2)214 (2)2= 23 故答案为 23 . 【分析】 连
25、接BD， 根据题意可知线段BD经过点O， 且O点为其中点， 由此即得出 = = = 2 ，从而求出 = 22 .在 中， 利用勾股定理即可求出AD的长， 最后根据 阴影= 矩形扇形扇形 即可求出答案. 21 【答案】（1）证明：连接 OB，如图， AD 是O 的直径， ABD90 ， A+ADB90 ， BC 为切线， OBBC， OBC90 ， OBA+CBP90 ， 而 OAOB， AOBA， CBPADB； （2）解：OPAD， POA90 ， P+A90 ， PD， AOPABD， ，即 2+8 42 ， BP14. 【解析】【分析】 （1）连接 OB，根据圆周角定理得出ABD=90
26、，再根据切线的性质得到OBC=90 ，然后利用等腰三角形的性质和角的和差关系证明即可； （2）根据同角的余角相等得P=D，故可证明AOPABD，然后根据相似三角形的性质列比例式求 BP 的长即可. 22 【答案】（1）证明：由圆周角定理得： = ， = ， = ， ， + = 90 ， + = 90 ，即 = 90 ， ； （2）解：如图，连接 ， 由圆周角定理得： = 2 ， = 2 ， = ， 由（1）已证： ， + = 90 ， + = 90 ，即 = 90 ， ， 又 是 的半径， 与 相切； 如图，连接 ， 是 的直径， = 90 ，即 ， ， ， = ，即 3=73 ， 解得 =
27、7 ， = + = 10， = =12 = 5， = = 2 ， 在 和 中， = = 90 = ， ， = ，即 5=52 ， 解得 =252 ， = =252 5 =152 . 【解析】【分析】 （1） 根据圆周角定理得出B=D， 则可得出B=AEF， 再根据直角三角形的性质、等量代换即可证得结果； （2）先根据圆周角定理可得AOC=2D，则可得出AOC=DAG，再根据直角三角形的性质推出OAG= 90 ，则可证出 AG 与 相切 ； 根据圆周角定理得出BAC=90 ，则可得到 ACEF，再根据平行线分线段成比例定理求出 BE 的长，从而求出 OA、 OC 和 OE 的长，然后证明AOGE
28、OA，列比例式求出 OG 的长，最后根据线段的和差关系求 CG 长即可. 23 【答案】（1）解：抛物线的解析式为： = 2 4 + 3； （2）解：如图 1，作 的外接圆 ，连结，PB， 则点 P 在直线上，且满足 = 2，点就是所求的点， 抛物线的解析式为 = 2 4 + 3， 当 = 0时， = 3， 当 = 0时， = 1或 = 3， (1，0)，(3，0)，(0，3)， 设直线与直线相交于， = = 3， = 45， = ， ， = = 2， = 12+ 32= 10， = = 32 2 = 22， 2+ 2= 2， = 90， =12， =12 = ， =12， = 2， 点的坐标
29、为(2，2)， 同理，点 P 关于轴的对称点(2， 2)也符合题意， 点 P 的坐标为(2，2)，(2， 2)； （3）解：设 与相切于点，则直径 ， = 90， 如图2，连结， = 90 = = ， = ， ， =， 2= = 4， 当 = 2时，2 4 + 3 = 2， 解得， = 2 3， 此时 的半径为 = 2 (2 3) = 3 2， 即 与轴没有交点，与已知矛盾的，故舍去， 点 Q 不存在. 【解析】【解答】 （1）解： = 2 4 + 3 = ( 2)2 ，顶点 D 的纵坐标为-1， = 1，即 = 1， 抛物线的解析式为： = 2 4 + 3； 【分析】 （1）将抛物线的解析式
30、配成顶点式，结合顶点 D 的纵坐标为-1，得出 a 值即可； （2） 作ABC 的外接圆 ， 连结 PA， PB， CA， CB， 则点 P 在直线 l 上， 且满足APB=2ACB，点 P 就是所求的点；易得 A、B、C 三点的坐标， 利用勾股定理的逆定理得 = 90，由 =12 = 可得 =12，从而求出 PE 的长，即得点 P 坐标， 同理，点 P关于 x 轴的对称点也符合题意； （3）设 与 l 相切于点 R，则直径 KRRE，KNR=90 ，如图2，连结 KN、RN、RM，证明RENMER，可得 RE2=EM EN=4，即 RE=2，将 y=2 代入二次函数解析式中求出 x 值并检验
31、即可. 24 【答案】（1）证明：如图，连接 OB， CB 平分ACE. ACBECB， OBOC， BCOCBO， BCECBO， OBED. BEED， EBBO. BE 是O 的切线； （2）解：AC 是O 的直径， ABC90 ， BEED， E90 ， EABC， BCEACB， BCEACB， =， AC4，CE1， = = 2， = 2 2= 3， BCD+BADBCD+BCE180 ， BCEBAD， tan = tan = 3. 【解析】【分析】 （1）连接 OB，由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得BCECBO，利用平 行线的判定可得 OBED，根据平行线的性质可得 EB
32、BO，根据切线的判定即证； （2）证明BCEACB 可得 =，据此求出 BC=2，利用勾股定理求出 BE= 3， 根据圆内接四边形的性质及补角的定义可得BCD+BADBCD+BCE180 ， 从而得出BCEBAD， 根据 tan = tan =即可求解. 25 【答案】（1）证明：连接 OE， OE=OD， OED=ADE， AD 是直径， AED=90 ， EAD+ADE=90 ， 又DEB=EAD， DEB+OED=90 ， BEO=90 ， OEBC， BC 是O 的切线； （2）证明：BEO=ACB=90 ， ACOE， CAE=OEA， OA=OE， EAO=AEO， CAE=EAO
33、， AE 为CAB 的角平分线， 又EPAB，ACB=90 ， CE=EP； （3）解：连接 PF， CG=12，AC=15， AG= 2 2=152 122 =9， CAE=EAP， AEC=AFG=CFE， CF=CE， CE=EP， CF=PE， CGAB，EPAB， CFEP， 四边形 CFPE 是平行四边形， 又CF=PF， 四边形 CFPE 是菱形， CF=EP=CE=PF， CAE=EAP，EPA=ACE=90 ，CE=EP， ACEAPE（AAS） ， AP=AC=15， PG=AP-AG=15-9=6， PF2=FG2+GP2， CF2=（12-CF）2+36， CF= 15
34、2 ， 四边形 CFPE 的面积=CF GP= 152 6=45. 【解析】【分析】（1） 连接 OE， 由等腰三角形的性质和圆周角定理的推论可得OED=ADE， AED=90 ， 利用余角的性质可得DEB+OED=90 ， 进而求出BEO=90 ， 根据切线的判定定理即证； （2）根据平行线的判定与性质及等腰三角形的性质可得CAE=EAO，即得 AE 为CAB 的角平分 线，根据角平分线的性质可得 CE=EP； （3）连接 PF，先证四边形 CFPE 是菱形，可得 CF=EP=CE=PF，根据 AAS 可证ACEAPE，可得 AP=AC=15，再利用勾股定理求出 CF， 根据四边形 CFPE
35、 的面积=CF GP 进行计算即可. 26 【答案】（1）证明：如图，连接 ， . 为 的直径， = 90 ， = 90 . 在 中， 为 的中点， =12 = . = . = ， = ， + = + ，即 = . = 90 ， = 90 ，即 . 是 的切线，即 DE 与 相切. （2）解：如解图，连接 ，过点 作 ，垂足为 . = 3 ， 中， tan = 3 . = 60 . = ， = = 60 ，BOD=2BAD=120 . 在 中， tan =， = tan = tan60 = 3 . 为 的中点， FOAB. = = 90 . = ， =12 = 45 ， = = 3 . = 1
36、 + 3 ， + 3 = 1 + 3 . = 1 . =cos60= 2 . 在 中， = ， = cos45 = 2 . =1202180=223 【解析】【分析】 （1）连接 OD、BD，由圆周角定理可得ADB=90 ，根据直角三角形斜边上中线的性质可得 ED=12BC=EB， 由等腰三角形的性质可得EDB=EBD， ODB=OBD， 推出ODE=OBE，ODE=90 ，据此证明； （2）连接 OF，过点 B 作 BGDF 于点 G，易得BAC=60 ，由圆周角定理可得BFD=BAD=60 ，BOD=2BAD=120 ，BDF=45 ，根据三角函数的概念表示出 BG，然后表示出 DG，根据
37、 DF 的值可求出 GF，进而得到 BF，由三角函数的概念求出 OB，然后结合弧长公式进行求解. 27 【答案】（1）证明：如图，过点 O 作 OFAB 于点 F AO 平分CAB， OCAC，OFAB， OC=OF， AB 是O 的切线； （2）解：如图，连接 CE， ED 是O 的直径， ECD=90 ， ECO+OCD=90 ， ACB=90 ， ACE+ECO=90 ， ACE=OCD， OC=OD， OCD=ODC， ACE=ODC， CAE=CAE， ACEADC， = ， tan =12 ， =12 ； （3）解：由（2）可知： =12 ， 设 AE=x，AC=2x， ACEAD
38、C， = ， AC2=AEAD， （2x）2=x（x+6） ， 解得：x=2 或 x=0（不合题意，舍去） ， AE=2，AC=4， AO=AE+OE=2+3=5， 如图，连接 CF 交 AD 于点 M AC，AF 是O 的切线， AC=AF，CAO=OAF， CFAO， ACO=CMO=90 ， COM=AOC， CMOACO， = ， OC2=OMOA， OM= 95 ， CM= 22=32 (95)2 = 125 ， = 2 =245 . 【解析】【分析】 （1）由题可过点 O 作 OFAB 于点 F，然后结合已知证 OCOF 即可求解； （2）连接 CE，先证ACEODC，然后可证AC
39、EADC，于是可得比例式=，由锐角三角函数 tanD即可求解； （3）由（2）可设 AE=x，AC=2x，由相似三角形的性质得 AC2AEAD，于是可求出 AE，AC 的长，则 AO=AE+OE 可求得 AO 的值；连接 CF 交 AD 于点 M，证CMOACO，可得 OC2OMOA，求出 OM、CM 的值，则 CF2CM 可求解 28 【答案】（1）证明：直径 于点 E， BE=CE， = ， BAD=CAD= 12 BAC， BAD= 12 BOD， BOD=BAC； （2）解：如图 DF 即为所求，作 OMDF 于点 M， DM= 12 DF， OBDF， BOD=ODM， 在 和 中，
40、 = = = 90 = ， ， OE=DM= 12 DF； DF=DE，OE= 12 DF， DE=2OE， 的半径为 3，即：OD=3， OE=1，DE=DF=2， 在 中，BE= 2 2=32 12= 22 ， CE=BE= 22 ， AE=OA+OE=3+1=4， AC= 2+ 2=42+ (22)2= 26 ， 作 ANFC 交 FC 的延长线于点 N，连接 AF， AD 是直径， 是直角三角形， AD=2OA=6，DF=2， AF= 2 2=62 22= 42 ， 四边形 ADFC 是 的内接四边形， ACN=D， ANC=AFD=90 ， ， = ，即： 626=42=2 ， CN
41、= 263 ，AN= 833 ， = 2 2= 32 643=463 ， CF=FN-CN= 263 . 【解析】【分析】 （1）根据垂径定理得 BE=CE， = ，再根据圆周角定理及其推论，即可得到结论； （2）先作图，然后作 OMDF 于点 M，由垂径定理得 DM= 12 DF，再证明 ，进而即可得到结论； 先求出AC= 26 ， 作ANFC交FC的延长线于点N， 连接AF， 可得AF= 42 ， 证明 ，可得 CN= 263 ，AN= 833 ，进而即可得到答案. 29 【答案】（1）证明：解法一：如图 1，连接 、 、 、 ， 点 I 为 的内心， 平分 ， = ， = ， = ， 点
42、 D 在 的中垂线上， = ， 点 O 在 的中垂线上， . 解法二：如图 1，连接 、 、 、 ， 图 1 点 I 为 的内心， 平分 ， = ， = ， 又 是半径， . （2）证明：如图 2，连接 ， 图 2 设 = 2 ， = 2 ， 由（1）知 = = ， 点 I 为 的内心， 平分 ， = = ， = ， = = ， = + = + ， = + = + ， = ， = . （3）解：如图 3，连接 ，作 于 K， 图 3 ， = 24 ， =12 = 12 ， 在 中， = 90 ， = tan = 12 512= 5 ， 又 ， =12 ， / ， ， ， = 90 ， ， =
43、90 ， = 90 ， = 90 ， = ， 在 中， = 90 ， = sin ， 在 中， = 90 ， = sin ， = ， = = 5 ， = 2 = 10 . 【解析】【分析】 （1）解法一：连接 、 、 、 ，由内心的性质可知 为 的角平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等可知 = ， = ，根据等腰三角形三线合一可知点 DD 在 的中垂线上， 根据 = 可知点 O 在 的中垂线上， 进而即可得到结论；解法二：连接 、 、 、 ，由内心的性质可知 为 的角平分线，根据相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可知 = ，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，且 是半径，即可得到结论； （2）如图 2，连接 ，设 = 2 ， = 2 ，由内心的性质可知 = = ， = = ，由同弧或等弧所对的圆周角相等可知 = = ，根据角的关系可以用 ， 表示出 和 ，进而通过等腰三角形的性质得到 = ； （3） 如图3， 连接 ， 作 于 ， 根据垂直平分线的性质可得 的长度， 在 中，根据三角函数的性质可得 的长度，根据等腰三角形垂径定理可知 =12 ，根据平行线的性质可得 ，则 = 90 ，根据同角的余角相等可得 = ，在 和 中根据三角函数的关系可得 = ，进而即可得到 的长