1、 专题专题 18 18 平行线与相交线平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点 P其中一把直尺边缘恰好和射线 OA 重合， 而另一把直尺的下边缘与射线 OB 重合， 上边缘与射线 OA 于点 M， 联结 OP 若BOP28 ，则AMP 的大小为（） A62 B56 C52 D46 2两直线被第三条直线所截，1 与2 是同旁内角，且1=30 ，则2 的度数为（ ） A150 B30 C30 或 150 D无法确定 3 （2022 七下 静安期中）下列条件能判断 ABCD 的是（ ） AB =D BB +DA B=180 CDAC=
2、BCA DB +D C B=180 4 （2022 九下 普陀期中）如图，直线 l1/l2，如果1=25 ，2=20 ，那么3 的度数是（ ） A55 B45 C40 D35 5 （2022 九下 普陀期中）如图，已知直线 l1/l2/l3，它们依次交直线 l4、l5， 于点 A、C、E 和点 B、D、F，下列比例式中正确的是（ ） A= B= C= D= 6 （2021 九上 上海月考）在ABC 中，点 D 与点 E 分别在边 AB、AC 上，下列比例式能判断 DEBC的是（ ） ADE：BC=AD：BD BDE：BC=AB：AD CAD：AE=AC：AB DDB：EC=AB：AC 7 （2
3、021 七下 普陀期末）如图，已知2 = 4，下列条件中不能判断直线/的是（ ） A1 = 3 B4 = 5 C1 + 5 = 180 D1 + 2 = 180 8 （2021 七下 杨浦期末）如图，一定能推出 的条件是（ ） A = B = C = D = 9 （2021 七下 松江期末）如图，下列判断正确的是（ ） A1与3是同位角 B3与4是内错角 C1与4是内错角 D2与3是同位角 10 （2021 七下 嘉定期末）下列四个图形中，1和2不符合同位角定义的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11 （2022 宝山模拟）如图，点 B、C、D 在同一直线上，CEAB， = 90
4、，如果 = 35，那么 = 12 （2022 七下 静安期中）如图，1=2=105 ，3=115 ，则4= 度 13 （2022 七下 静安期中）已知直线 AB、CD 交于点 O，且AOC=120 ，则直线 AB 和 CD 的夹角为 度 14 （2022 七下 静安期中）如图，直线 ABCD 于点 O，直线 EF 过点 O， 若1=50 ，2= 度 15 （2022 七下 静安期中）如图，ADBC，AC 平分DAB，B=70 ，则A C B = 度 16 （2022 七下 静安期中）如图，已知 AB/CE，A=120 ，F=100 ，则FDC= 度 17 （2021 九上 普陀月考）如图，在A
5、BC 中，AD 平分BAC，EF 是 AD 的中垂线，分别交 AD、AC于点 E、F，如果 AB7，AC5，那么 CF 18（2021九上 上海月考）如图， DAAC， EBAC， FCAC， AB=2， AC=6， EF=5， 那么 DF= 。 19 （2021 七下 金山期末）如图，在直线 l1l2，把三角板的直角顶点放在直线 l2上，三角板中 60 的角在直线 l1与 l2之间，如果1=35 ，那么2= 度 20（2021 七下 金山期末）如图， 已知ACB=90 ， AC=BC， BECE 于点 E， ADCE 于点 D， AD=3cm，BE=1cm，那么 DE= cm 三、综合题三、
6、综合题 21 （2022 七下 静安期中）按下列要求画图并填空 已知直线 AB、CD 相交于点 O，点 P 为这两条直线外一点 （1）过点 P 画直线 PEAB，垂足为 E （2）过点 P 画直线 PFCD，垂足为 F （3）过点 P 画直线 PMAB，交 CD 于点 M （4）点 P 到直线 CD 的距离是线段 的长 （5）直线 PM 与 AB 间的距离是线段 的长 22 （2022 九下 普陀期中）已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 E，点 M 是 CD 中点，联结 EM 并延长，交DCB 的外角DCN 的平分线于点 F （1）求证： ME = MF； （2）联结
7、 DF，如果 AB2 = EB BD，求证：四边形 DECF 是正方形 23（2021 九上 青浦期末）如图， 在ABC 中， 点 D 是 BC 的中点， 联结 AD， AB=AD， BD=4， tan =14 （1）求 AB 的长； （2）求点 C 到直线 AB 的距离 24 （2021 八上 浦东期末）如图，已知. （1）根据要求作图：在边上求作一点，使得点到、的距离相等，在边上求作一点，使得点到点、的距离相等； （不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论） （2）在第（1）小题所作出的图中，求证：/. 25 （2021 七下 奉贤期末）如图， 在ABC 中， 已知 D 是 BC 边的中点，
8、 过点 D 的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DEGF，交 AC 的延长线于点 E，联结 EG （1）说明 BG 与 CF 相等的理由 （2）说明BGD 与DGE 相等的理由 26 （2021 七下 普陀期末）解答下列各题 （1）小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图 1 所示，小明的作图依据是： （2）小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线如图 2，已知直线a， 点 P 为直线 a 外一点， 小丽利用直尺和圆规过点 P 作直线平行于直线 a 以下是小丽的作图方法： 在直线 a 上取一点
9、 A，作直线（与直线 a 不垂直） ； 在的延长线上取一点 B，以 B 为圆心长为半径作弧，交直线 a 于点 C； 联结，以 B 为圆心长为半径作弧，交于点 D，作直线 这样，就得到直线/你能说明/的理由吗？ 27 （2021 七下 普陀期末）如图，已知 中， = 90，根据下列要求画图并回答问题 （1）画边上的高，过点 A 画直线/ （不要求写画法和结论） （2）在（1）的图形中，如果 = ，点 B 到直线的距离是 3，点 C 到直线的距离是 4，那么直线与间的距离等于 （用含 a 的代数式表示） 28 （2021 七下 松江期末）如图，已知直线 ，的平分线交于点 F，的平分线交延长线于点
10、G （1）说明 = 的理由 （2）若 = 32，求的大小 29 （2021 七下 普陀期中）如图，ABC 中，DEAC，EFAB，BEDCEF， （1）试说明ABC 是等腰三角形， （2）探索 AB+AC 与四边形 ADEF 的周长关系 30 （2021 七下 杨浦期中）已知：ABCD，截线 MN 分别交 AB、CD 于点 M、N （1）如图，点 B 在线段 MN 上，设EBM，DNM，且满足 30+（60）20，求BEM 的度数； （2）如图，在（1）的条件下，射线 DF 平分CDE，且交线段 BE 的延长线于点 F；请写出DEF 与CDF 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，当点 P
11、 在射线 NT 上运动时，DCP 与BMT 的平分线交于点 Q，则Q 与CPM的比值为 （直接写出答案） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：两把完全相同的长方形直尺的宽度一致， 点 P 到射线 OA， OB 的距离相等， OP 是AOB 的角平分线， BOP= 28 ， AOP=BOP=28 ， MPOB MPO=POB =28 AMP=AOP+MPO= 56 故答案为：B 【分析】 根据角平分线的定义可得AOP=BOP=28 ， 再利用平行线的性质可得MPO=POB =28 ，最后利用三角形外角的性质可得AMP=AOP+MPO= 56 。 2 【答案】D 【解析】
12、【解答】解：因为两条直线的位置关系不明确， 所以无法判断1 和2 大小关系， 即2 为不能确定 故答案为：D 【分析】因为题目没有告诉两条直线的位置关系，因此无法得到2 的度数 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A. B =D 不能得出 ABCD，此选项不符合题意； B. B +DA B=180，可得出 ADBC，此选项不符合题意； C. DAC=BCA，可得出 ADBC，此选项不符合题意； D.B+DCB=180 ，同旁内角互补，两直线平行，可以判定 ABCD；此选项符合题意； 故答案为：D 【分析】根据平行线的判定规则进行判断，注意判断出的直线平行是否是题目中要求的 4 【答案】B 【解
13、析】【解答】解：如图，过3 的顶点作3/1 1 = ， l1/l2， 3/2， 2 = ， 1=25 ，2=20 ， 1 + 2 = + = 3 = 25 + 20 = 45， 故答案为：B 【分析】作一条平行线，根据内错角可以求出3=1+2 5 【答案】C 【解析】【解答】解：l1/l2/l3， =，=，=，故 C 选项符合题意，A，B，D 选项不符合题意 故答案为：C 【分析】根据平行线段分段成比例的性质可得到答案 A.根据平行无法得出该答案 B.因为 l1/l2/l3 ，所以无法得出答案 D.正确的写法应该是= 6 【答案】D 【解析】【解答】A、由 DE：BC=AD：BD，无法判定AD
14、EABC， 无法确定ADE=B，则无法判定 DEBC，故本选项错误； B、由 DE：BC=AB：AD ，无法判定ADEABC， 无法确定ADE=B，则无法判定 DEBC，故本选项错误； C、 AD：AE=AC：AB ，ADEACB， ADE=C，DE 与 BC 不平行，故本选项错误； D、 DB：EC=AB：AC ，DEBC，故本选项正确. 故答案为：D. 【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定定理，逐项进行判断，即可得出答案. 7 【答案】D 【解析】【解答】2 = 4， /（内错角相等，两直线平行） 1 = 6（两直线平行，同位角相等） ， 1 = 3， 6 = 3 /（同位角相
15、等，两直线平行） 则 A 可以判断直线/，故 A 不符合题意； / 4 = 2（两直线平行，内错角相等） ， 4 = 5， 2 = 5 /（同位角相等，两直线平行） 则 B 可以判断直线/，故 B 不符合题意； 1 = 6，1 + 5 = 180， 6 + 5 = 180 3 + 5 = 180， 6 = 3 /（同位角相等，两直线平行） 则 C 可以判断直线/，故 C 不符合题意； 1 = 6，6 + 2 = 180， 1 + 2 = 180恒成立 则 D 不可以判断直线/，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：A
16、和是直线和被直线所截所成的内错角， = 不能推出 ，故本选项不符合题意； B 和是直线和被直线所截所成的内错角， = 不能推出 ，故本选项不符合题意； C 和是直线和被直线所截所成的内错角，但不能判定 = ， 不能判定 = ， 和是直线和被直线所截所成的同位角，但不能判定 = ， 不能判定 = ， = 不能推出 ，故本选项不符合题意； D 和是直线和被直线所截所成的同位角， = 能推出 ，故本选项符合题意； 故答案为：D 【分析】根据同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行逐项进行判断即可. 9 【答案】A 【解析】【解答】A、1和3是同位角，故 A 符合题意 B、3和4是同旁内角，故 B
17、不符合题意 C、1和4不是内错角，故 C 不符合题意 D、2和3不是同位角，故 D 不符合题意 故答案为：A 【分析】根据同位角及内错角的定义逐项判断即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：A.是同位角，不符合题意； B.是同位角，不符合题意； C.是同位角，不符合题意； D.不是同位角，符合题意 故答案为 D 【分析】两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在被截线的同一方，并且在截线的同侧，那么这两个角就叫做同位角，据此判断即可. 11 【答案】55 【解析】【解答】解： = 90， ACD180 ACB90 ， ECD35 ， = = 90 35 = 55， CEAB， = = 5
18、5 故答案为：55 【分析】先利用角的运算求出 = = 90 35 = 55，再利用平行线的性质可得 = = 55。 12 【答案】115 【解析】【解答】解：如下图所示， 12， a/b， 45， 3=5，3=115 ， 4115 ； 故答案为：115 【分析】12 可得两直线平行，再根据同位角与对顶角的定义即可得到4=3=115 13 【答案】60 【解析】【解答】解：AOC=120 ，AOC+BOC=180 ， BOC=180AOC=180120=60， 直线 AB 与 CD 的夹角是 60 ， 故答案为：60 【分析】画出两直线相交的图，根据补角的定义即可得到夹角 14 【答案】40
19、【解析】【解答】解： = 90 = 180 1 + 2 = 90 2 = 90 50 = 40 故答案为：40 【分析】根据对顶角和余角求答案 15 【答案】55 【解析】【解答】ADBC， B+BAD=180 ，ACB=DAC， 又B=70 ， BAD=110 ， 又AC 是BAD 的角平分线， BAC=DAC=55 ， ACB=55 故答案为：55 【分析】根据平行可知DAC=ACB，再根据同旁内角和角平分线求出答案 16 【答案】40 【解析】【解答】解：如图，过 F 作 FG/AB， FG/AB，A120 ， AFG+A180 AFG60 ， AFD100 ， DFG1006040 ，
20、 FG/AB， AB/CE FG/CE FDCDFG=40 故答案为：40 【分析】作一条过点 F 与 AB、DE 平行的线，根据平行的性质就可以求到FDC 17 【答案】2512 【解析】【解答】解：过点 C 作 AB 的平行线，交 AD 的延长线于点 M，则M=BAD， AD 平分BAC， BAD=CAD， M=CAD， AC=CM=5， ABCM， ， =57 ， EF 是 AD 的中垂线， AF=DF， CAD=ADF， ADF=BAD， DFAB， =57 ， CF= 512 =512 5 =2512 【分析】过点 C 作 AB 的平行线，交 AD 的延长线于点 M，利用平行线的性质
21、及角平分线的定义可得M=CAD，从而得 AC=CM=5，由平行线可证 ，可得=57，再证明 DFAB，可得=57，从而求出 CF. 18 【答案】152 【解析】【解答】解： AB=2，AC=6， BC=6-2=4， DAAC，EBAC， FCAC， DABEFC， =， 5=64， DF=152. 【分析】先求出 BC 的长，再根据平行线分线段成比例定理得出=，代入数值进行计算，即可求出 DF 的长. 19 【答案】65 【解析】【解答】解：3 是ABC 的外角，1=ABC=35 ， 3=C+ABC=30 +35 =65 ， 直线 l1l2， 2=3=65 ， 故答案为：65 【分析】由对顶
22、角相等可得1=ABC=35 ，根据三角形外角的性质可得3=C+ABC=65 ，利用平行线的性质可得2=3=65 . 20 【答案】2 【解析】【解答】解：ACB=90 ，BECE 于点 E，ADCE 于点 D， ACD+BCE=90 ，ACD+CAD=90 ， CAD=BCE， 在CDA 与BEC 中， = = = ， CDABEC（AAS） ， CD=BE，CE=AD， DE=CE-CD， DE=AD-BE， AD=3cm，BE=1cm， DE=3-1=2（cm） ， 故答案为：2 【分析】根据 AAS 证明CDABEC，可得 CD=BE，CE=AD，从而得出 DE=CE-CD=AD-BE，
23、据此即可得解. 21 【答案】（1）解：如图所示 PE 即为所求； （2）解：如图所示 PF 即为所求 （3）解：如图所示 PM 即为所求 （4）PF （5）PE 【解析】【解答】 （4）解：由题意可知 点 P 到直线 CD 距离是线段 PF 的长 （5）解：由题意可知 点 PM 与 AB 的距离是线段 PE 的长 【分析】掌握垂线、平行线的定义和画法 22 【答案】（1）解：四边形是菱形 = = 对角线 AC、BD 交于点 E，点 M 是 CD 中点， = ， = = = ， = = 是 的外角， = = 2 是DCN 的角平分线， = =12 = = 又 = = = = = = = = （
24、2）解： AB2 = EB BD， = 又 = = 四边形是菱形 = = 90 四边形是正方形 = 由（1）可知 = = = = 四边形是矩形 = 四边形是正方形 【解析】【分析】 （1）根据菱形的性质，可得 CB=CD，根据已知条件以及中位线的性质可得 EM=MD，根据三角形的外角以及角平分线的性质可得MCF=MFC，进而可得 ME=MC，即可证明 ME=MF （2） 根据已知恒等式可证明三角形相似， 进而可得DAB=AEB=90 ， 则四边形 ABCD 是正方形，根据正方形的性质可得 ED=EC，由（1）可得四边形 DECF 是矩形，根据邻边相等，即可证明为正方形 23 【答案】（1）解：
25、过点 A 作 AHBD，垂足为点 H AB=AD， BH=HD=12BD=2 点 D 是 BC 的中点， BD=CD BD=4， CD=4 HC=HD+CD=6 tan =14，=14， =32 = 2+ 2， =22+ (32)2=52 （2）解：过点 C 作 CGBA，交 BA 的延长线于点 G sin =， 3252=8 =245 点 C 到直线 AB 的距离为245 【解析】【分析】 （1）先求出 BD=CD，再求出 HC=HD+CD=6，最后利用勾股定理计算求解即可； （2）根据锐角三角函数求出3252=8，再求出 CG 的值，最后作答即可。 24 【答案】（1）解：如图所示： （2
26、）证明：AD 是BAC 的角平分线， CAD=BAD， EF 是 AD 的中垂线， ED=EA， ADE=BAD， CAD=ADE， DEAC 【解析】【分析】 （1）由题意可知，D 是BAC 的角平分线与 BC 的交点，点 E 是 AD 的中垂线与 AB的交点； （2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得CAD=ADE，再根据平行线的判定即可求解。 25 【答案】（1）解：D 为 BC 中点， BDDC（中点的定义） ， BGFC（已知） ， GBDDCF（两直线平行，内错角相等） ， 在BDG 和CDF 中， = ， BDGCDF（ASA） ， BGCF（全等三角形对应边相等） ；
27、 （2）解：D 是 BC 边的中点，DEGF，即 DE 为线段 GF 的中垂线， EFEG， DFEDGE（等边对等角） ， ） DFEBGD（全等三角形对应角相等） ， BGDDGE（等量代换） 【解析】【分析】 （1） 由线段的中点可得 BDDC ，由平行线的性质可得GBDDCF，根据 ASA证明BDGCDF ，根据全等三角形对应边相等即得结论； （2）由中垂线的性质可得 EFEG，利用等边对等角可得DFEDGE，由BDGCDF 可得DFEBGD ，从而得出BGDDGE . 26 【答案】（1）同位角相等，两直线平行 （2）解：由小丽的作图方法可知： = ， = = ， = + + = 1
28、80， + + = 180， = /， 即/（同位角相等，两直线平行） 【解析】【解答】 （1） 由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行 故答案为：同位角相等，两直线平行 【分析】 （1）根据同位角相等，两直线平行进行解答即可； （2）由作图知 BP=BD，AB=BC，利用等边对等角可得 = ， = ，由三角形的内角和知 + + = 180， + + = 180，即得BPD=BAC，根据同位角相等，两直线平行即得结论. 27 【答案】（1）解：按照题意画图如下图所示： （2）12 【解析】【解答】解： （2）中 = 90，即 ， 又点 B 到直线的距离是 3，即 = 3
29、； 点 C 到直线的距离是 4，即 = 4 又的面积 2 = 2， = 所以 =12， 因为/， 所以直线与之间的距离等于12 故答案为：12 【分析】 （1）过点 A 作 ADBC，垂足为 D，即得高 AD，再过点 A 作 AEAD，即得 AEBC； （2）由点到直线的距离可得 AB=3，AC=4，根据ABC 的面积= 2 = 2，据此求出 AD 的长即得结论. 28 【答案】（1）解： 平分， = ， ， = ， = ， = （2）解： = 32， = = = 32， = 180 = 180 32 = 148， 平分， =12 =12 148 = 74， = + = 74 + 32 = 1
30、06， 在 中， + + = 180， = 180 = 180 32 106 = 42 【解析】【分析】 （1）由角平分线的定义可得GCE=DCE，由平行线的性质可得AFC=FCD，从而得出AFC=ACF，由等角对等边即得结论； （2）由（1）得 = = = 32， 由邻补角的定义求出AFE=180 -AFC=148 ，由角平分线的定义可得 =12 = 74， 从而求出GFC=106 ，利用三角形的内角和定理即可求出G 的度数. 29 【答案】（1）解：DEAC BEDC， EFAB， CEFB， BEDCEF， BC， ABC 是等腰三角形； （2）解：AB+AC四边形 ADEF 的周长，
31、理由：DEAC， BEDC， EFAB， CEFB， BEDCEF， CCEFBEDB， EFCF，DEDB， AC+ABCF+AF+AD+BDEF+AF+AD+DE四边形 EFAD 的周长 【解析】【分析】 （1）由平行线的性质可得EADF，BAFE，进而再通过角之间的转化得出结论； （2）由平行线的性质可得EADF，BAFE，由BEDCEF，得到CCEFBEDB，于是得到 EFCF，DEDB，即可得到结论。 30 【答案】（1）解： 30+（60）20， 30，60， ABCD， AMNMND60 ， AMNB+BEM60 ， BEM60 30 30 ； （2）解：DEF+2CDF150
32、理由如下：过点 E 作直线 EHAB， DF 平分CDE， 设CDFEDFx ； EHAB， DEHEDC2x ， DEF180 30 2x 150 2x ； DEF150 2CDF， 即DEF+2CDF150 ； （3）12 【解析】【解答】解： （3）如图 3，设 MQ 与 CD 交于点 E， MQ 平分BMT，QC 平分DCP， BMT2PMQ，DCP2DCQ， ABCD， BMEMEC，BMPPND， MECQ+DCQ， 2MEC2Q+2DCQ， PMB2Q+PCD， PNDPCD+CPMPMB， CPM2Q， Q 与CPM 的比值为 12， 故答案为： 12 【分析】 （1）由非负性可求 30，60，再由平行线的性质和外角性质可求解； （2） 过点 E 作直线 EHAB， 由角平分线的性质和平行线的性质可求DEF=180 -30 -2x =150 -2x ，由角的数量可求解； （3）由平行线的性质和外角性质可求PMB=2Q+PCD，CPM=2Q，即可求解