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第4讲 一元一次方程与二元一次方程组(含答案解析)2023年江苏省中考数学一轮复习专题训练

1、 第第 4 4 讲讲 一元一次方程与二元一次方程组一元一次方程与二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1 (2022 苏州)九章算术是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是其最高的代数成就.九章算术中有这样一个问题: “今有善行者行一百步, 不善行者行六十步.今不善行者先行一百步, 善行者追之, 问几何步及之?”译文:“相同时间内,走路快的人走 100 步,走路慢的人只走 60 步.若走路慢的人先走 100 步,走路快的人要走多少步才能追上?(注:步为长度单位)”设走路快的人要走 x 步才能追上,根据题意可列出的方程是(

2、 ) A = 100 60100 B = 100 +60100 C10060 = 100 + D10060 = 100 2 (2021 海安模拟)若关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3,那么 k 的值是( ) A12 B72 C6 D10 3 (2022 宿迁)我国古代算法统宗里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果一间客房住 7 人,那么有 7 人无房可住;如果一间客房住 9 人,那么就空出一间客房,若设该店有客房 x 间,房客 y 人,则列出关于 x、y 的二元一次方程组正确的是( ) A7 7 = 9(

3、1) = B7 + 7 = 9( 1) = C7 + 7 = 9 1 = D7 7 = 9 1 = 4 (2022 扬州)孙子算经是我国古代经典数学名著,其中有一道“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足.问鸡兔各几何?”学了方程 (组) 后, 我们可以非常顺捷地解决这个问题,如果设鸡有只,兔有只,那么可列方程组为( ) A + = 354 + 4 = 94 B + = 354 + 2 = 94 C + = 944 + 4 = 35 D + = 352 + 4 = 94 5 (2021 七上 高港月考)甲、乙两名同学从学校出发到国色天香游乐园,甲每小时走 4km,乙每小时

4、走 6km,甲出发一个小时后乙才出发,结果乙比甲早到 20 分钟,若设学校到游乐园的距离为 xkm,则下列方程正确的是( ) A4+1620 B4+16+2060 C416+2060 D4162060 6 (2021 七上 浦口月考)某中学组织初一部分学生参加社会实践活动,需要租用若干辆客车.若每辆客车乘 40 人,则还有 10 人不能上车;若每辆客车乘 43 人,则有一辆空车.设租了 x 辆客车,则可列方程为( ) A40 + 10 = 43 + 1 B40 10 = 43 1 C40 + 10 = 43( 1) D40 + 10 = 43 1 7 (2021 七上 如皋月考)下列运用等式的

5、性质对等式进行的变形中,错误的是( ) A若(2+ 1) = (2+ 1),则 = B若 = ,则 = C若 = ,则2=2 D若 = ,则 3 = 3 8 (2021 七上 江阴期中)如果|a+2|+(b1)2=0 那么代数式(a+b)2022的值是( ) A1 B1 C 1 D2021 9 (2021 七上 相城月考)如果|a3|(b2)20,那么代数式(ab)2021的值是( ) A2021 B2021 C1 D1 10(2021七下 江都期末)对有理数a, b定义运算: = + , 其中m, n是常数.如果 3 4 = 2 , 5 8 2 ,那么 n 的取值范围是( ) A 1 B 2

6、 D 0,则 c 的取值范围是 16 (2022 七下 张家港期末)如果 = 2 = 1是方程3 + = 5的解,则 a 的值为 17 (2022 七下 广陵期末)二元一次方程 x3y8 写成用含 y 的代数式表示 x 的形式为 18 (2022 七下 盱眙期末)写出二元一次方程 + 2 = 5的一组正整数解为 19 (2022 七下 苏州期末)把方程 4x+y=15 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式, 得 y= . 20 (2022 七下 清江浦期末)已知 = 2 = 1是二元一次方程 3x+my=1 的一个解,则 m 的值为 . 三、计算题三、计算题 21 (2022 南通模拟)解下

7、列方程组: (1) = 3 2 + 2 = 9 ; (2)2 7 = 83 8 10 = 0 22 (2022 七上 锡山月考)解方程 (1)5 8.3 = 10.7 (2)2( + 1.5) = 12.6 (3)19: =23:4 23 (2022 七下 南京期末)解方程组 + 4 = 35 2 = 4 24 (2022 七下 泗洪期末)解方程组: + = 43 + 2 = 11 25 (2022 七上 句容期末)解方程 (1)3( 2) + 5 = 0 (2)321 =2+13 四、综合题四、综合题 26 (2022 七上 崇川月考)已知数轴上三点 M,O,N 对应的数分别为1,0,3,点

8、 P 为数轴上任意一点,其对应的数为 x (1)MN 的长为 ,如果点 P 到点 M、点 N 的距离相等,那么 x 的值是 ; (2)数轴上是否存在点 P,使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 8?若存在,直接写出 x 的值;若不存在,请说明理由 (3)如果点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从点 O 向左运动,同时点 M 和点 N 分别以每分钟 2个单位长度和每分钟 3 个单位长度的速度也向左运动设 t 分钟时点 P 到点 M、点 N 的距离相等,请直接写出 t 的值 27 (2022 徐州)孙子算经是中国古代重要的数学著作,该书第三卷记载:“今有兽六首四足,禽四首二足,上有七十六首,

9、下有四十六足,问禽、兽各几何?”译文:今有一种 6 头 4 脚的兽与一种 4 头2 脚的鸟,若兽与鸟共有 76 个头与 46 只脚问兽、鸟各有多少? 根据译文,解决下列问题: (1)设兽有 x 个,鸟有 y 只,可列方程组为 ; (2)求兽、鸟各有多少 28 (2022 七下 仪征期末)古运河是扬州的母亲河,为打造古运河风光带,现有一段长为 180 米的河道 整治任务由 A、B 两个工程队先后接力完成A 工程队每天整治 12 米,B 工程队每天整治 8 米,共用时 20 天 根据题意,甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下: 甲: + = 12 + 8 = 乙: + = 12+8= (1

10、)根据甲同学所列的方程组,请你指出未知数 x、y 表示的意义 甲:x 表示 ,y 表示 ; 请你补全乙同学所列的方程组: 乙: , ; (2)求 A、B 两工程队分别整治河道多少米?(写出完整的解答过程) 29 (2022 七下 海州期末)某地区为绿化环境,计划购买甲、乙两种树苗共计棵有关甲、乙两种树苗的信息如图所示 信 息 1甲种树苗每棵 60 元; 2乙种树苗每棵 90 元; 3甲种树苗的成活率为90%; 4乙种树苗的成活率为95% (1)当 n=400 时,如果购买甲、乙两种树苗共用 27000 元,那么甲、乙两种树苗各买了多少棵? (2)实际购买这两种树苗的总费用恰好为 27000 元

11、,其中甲种树苗买了棵 写出与满足的关系式; 要使这批树苗的成活率不低于92%,求的最大值 30 (2022 七下 通州期末)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为 A,B 两种不同款型,其中 A 型单车每辆 400 元,B 型单车每辆 320元 (1)今年年初,共享单车试点投放在该市中心城区正式启动,投放 A,B 两种款型的单车共 100辆,总价值 36800 元求本次试点投放的 A,B 款单车各多少辆? (2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区 全面铺开按照(1)中试点投放 A,B 两车型的数量比例进行

12、投放,且投资总价值不低于 184 万元求 A 型单车至少投放多少辆? (3)若规划区 10 万人口中平均每 1000 人至少享有 A 型单车 25 辆,B 型单车 18 辆请判断(2)中的投放方案是否符合要求?说明理由 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解:令在相同时间 t 内走路快的人走 100 步,走路慢的人只走 60 步,从而得到走路快的人的速度 100步 ,走路慢的人的速度 60 步, 设走路快的人要走 x 步才能追上,根据题意可得 = 100 +60100 , 根据题意可列出的方程是 = 100 +60100 . 故答案为:B. 【分析】 令在相同时间 t 内

13、走路快的人走 100 步, 走路慢的人只走 60 步, 则走路快的人的速度为100步,走路慢的人的速度60步,设走路快的人要走 x 步才能追上,根据走路慢的人的速度 时间+100=走路快的人走的步数就可列出方程. 2 【答案】A 【解析】【解答】解:关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3, 2k+340, 解得:k 12 , 故答案为:A. 【分析】将 x3 代入 2kx40 中,即可求出 k 值. 3 【答案】B 【解析】【解答】解:设该店有客房 x 间,房客 y 人; 根据题意得:7 + 7 = 9( 1) = , 故答案为:B. 【分析】设该店有客房 x 间,房客 y 人,

14、根据一间客房住 7 人,那么有 7 人无房可住可得 7x+7=y;根据一间客房住 9 人,那么就空出一间客房可得 9(x-1)=y,联立可得方程组. 4 【答案】D 【解析】【解答】解:一只鸡 1 个头 2 个足,一只兔 1 个头 4 个足 设鸡有 x 只,兔有 y 只 由 35 头,94 足,得: + = 352 +4 = 94 故答案为:D. 【分析】设鸡有 x 只,兔有 y 只,根据有 35 头可得 x+y=35;根据有 94 足可得 2x+4y=94,联立可得方 程组. 5 【答案】C 【解析】【解答】解:由题意可得, 416+2060, 故答案为:C. 【分析】利用路程、速度、时间三

15、者的关系分别表示出甲与乙各自所用的时间,进而根据走完全程,乙比甲少用 1 小时 20 分钟,列出方程即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】解:由题意,可列方程为40 + 10 = 43( 1), 故答案为:C. 【分析】根据参加社会实践活动的总人数进行列方程即可. 7 【答案】C 【解析】【解答】解:A、根据等式性质 2,a(x2+1)=b(x2+1)两边同时除以(x2+1)得 a=b,原变形正确,故这个选项不符合题意; B、根据等式性质 2,a=b 两边都乘 c,即可得到 ac=bc,原变形正确,故这个选项不符合题意; C、根据等式性质 2,c 可能为 0,等式两边同时除以 c2,原变形错

16、误,故这个选项符合题意; D、根据等式性质 1,x=y 两边同时减去 3 应得 x-3=y-3,原变形正确,故这个选项不符合题意. 故答案为:C. 【分析】等式的性质:等式的两边同时加上或减去同一个整式,等式仍成立;等式性质:等式的两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式,等式仍成立;据此逐一分析判断即可. 8 【答案】A 【解析】【解答】解:| + 2| + ( 1)2= 0 , + 2 = 0, 1 = 0 , 解得: = 2, = 1 , ( + )2022= (2 + 1)2022= 1 . 故答案为:A. 【分析】由非负数之和为 0,则每一个数都为 0 可得 a+2=0,b-1=0,求

17、出 a、b 的值,然后根据有理数的加法、乘方法则进行计算. 9 【答案】C 【解析】【解答】解:|a+3|+(b2)20, a+30,b20, 解得 a3,b2, (a+b)2021(3+2)2021-1. 故答案为:C. 【分析】 根据绝对值及偶次幂的非负性, 由两个非负数的和为 0, 则这两个数都为 0 可求出 a、 b 的值,再代入计算即可. 10 【答案】A 【解析】【解答】解:根据题意得, 3 + 4 = 25 + 8 2 由得, =243 代入得, 5 243+ 8 2 解得, 1 故答案为:A. 【分析】利用新定义运算,先列出方程和不等式,然后求出不等式的解集. 11 【答案】2

18、(1 + )2= 4.5 【解析】【解答】解:设该店销售额平均每月的增长率是 x,根据题意得, 2(1 + )2= 4.5 故答案为:2(1 + )2= 4.5 【分析】由题意可得:2 月份的销售额是 2(1+x)万元,3 月份的销售额是 2(1+x)2万元,然后根据 3 月份的销售额是 4.5 万元就可列出方程. 12 【答案】490 【解析】【解答】解:设一个足球 a 元,一个篮球 b 元, 则 6a+3b=294, 2a+b=98, 买 10 个足球和 5 个篮球要付的钱数:10a+5b=(2a+b) 5=98 5490 故答案为:490. 【分析】设一个足球 a 元,一个篮球 b 元,

19、根据题意可得到关于 a,b 的方程,将方程两边同时乘以 5,可求出买 10 个足球和 5 个篮球要付的钱数. 13 【答案】297 【解析】【解答】解:设原长方形的宽为 x 米,根据题意, 得:18x=22 (x-3) 18x=22x-66 4x=66 x=16.5, 18 16.5=297(平方米) , 答:这块长方形地的面积是 297 平方米 故答案为:297 【分析】此题的等量关系为:原来长方形的长 宽=增加后的长 (原来长方形的宽-3) ,设未知数,列方程,然后求出方程的解;再求出原来长方形的面积. 14 【答案】1 【解析】【解答】解: 2 = 7 + = 6+得:2 = 1, (2

20、 )2022= (1)2022= 1, 故答案为:1. 【分析】将方程组中的两个方程相加可得 2x-y=-1,然后结合有理数的乘方法则进行计算. 15 【答案】2 0, 32 0,解得: 3, 1 3, 1 2+37 3, 解得:2 9; 故答案为:2 0 求出 a 的范围,则可总结出1 3,结合 =2+37,列出关于 c 的不等式求解即可. 16 【答案】1 【解析】【解答】解: = 2 = 1是方程3 + = 5的解, 3 2 + = 5, = 1; 故答案为:1 【分析】把 = 2 = 1代入原方程得出一个关于 a 的一元一次方程求解,即可解答. 17 【答案】3y+8 【解析】【解答】

21、解: x3y8 x=3y+8 故答案为:3y+8. 【分析】将不含 x 的项移至等号的右边即可. 18 【答案】 = 3 = 1(答案不唯一) 【解析】【解答】解:方程 x+2y=5,解得:x=5-2y, 当 y=1 时,x=5-2=3,则方程一组解为 = 3 = 1 故答案为: = 3 = 1(答案不唯一) 【分析】 先把 x 用含 y 的代数式表示, 然后 y 取任意正整数, 代入其中求出 x 的值 (x 的值也是正整数) ,即可解答. 19 【答案】4x+15 【解析】【解答】解:4x+y=15,移项 y=15-4x. 故答案为:-4x+15. 【分析】将不含 y 的项移至等号的右边即可

22、. 20 【答案】5 【解析】【解答】解: = 2 = 1是二元一次方程 3x+my=1 的一个解, 32+m(-1)=1, 解得 m=5. 故答案为:5. 【分析】根据方程解的概念,将 x=2、y=-1 代入方程中可得关于 m 的方程,求解即可. 21 【答案】(1)解: = 3 2 + 2 = 9 , 把 代入 ,得: + 2(3 2) = 9 , 解得: = 5 , 把 = 5 代入 ,得: = 3 2 5 = 7 , 方程组的解为 = 5 = 7 (2)解: 2 7 = 83 8 10 = 0 , 3 ,得: 6 21 = 24 , 2 ,得: 6 16 20 = 0 , ,得: 5

23、20 = 24 , 解得: = 45 , 把 = 45 代入 ,得: 2 7 (45) = 8 , 解得: =65 , 方程组的解为 =65 = 45 【解析】【分析】 (1)将第一个方程代入第二个方程中求出 x 的值,将 x 的值代入第一个方程中求出 y的值,据此可得方程组的解; (2)利用第二个方程的 2 倍减去第一个方程的 3 倍可得 y 的值,将 y 的值代入第一个方程中可求出 x的值,进而可得方程组的解. 22 【答案】(1)解:5 8.3 = 10.7 5 = 8.3 + 10.7 5 = 19 =195 (2)解:2( + 1.5) = 12.6 2 + 3 = 12.6 2 =

24、 12.6 3 2 = 9.6 = 4.8 (3)解:19: =23:4 23 = 4 19 23 =49 =4923 =23 【解析】【分析】 (1)先移项(常数项移到方程的右边,移项要变号) ,再合并同类项,然后将 x 的系数化为 1,可求出方程的解; (2) 先去括号, 再移项 (常数项移到方程的右边, 移项要变号) , 合并同类项, 然后将 x 的系数化为 1; (3)利用两内项之积等于两外项之积化简,然后将 x 的系数化为 1. 23 【答案】解: + 4 = 35 2 = 4 + 2 得 + 10 = 3 + 8,解得 = 1, 把 = 1代入得1 + 4 = 3, 解得 =12,

25、 所以方程组的解为, = 1 =12; 【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组,首先用第一个方程加上第二个方程的 2 倍求出 x的值,再将 x 的值代入求出 y 的值,最后写出结论即可. 24 【答案】解: + = 43 + 2 = 11 2 得:2x+2y= 8 -得: x=3, 将 x=3 代入式,得 y=1, 方程组的解为 = 3 = 1 【解析】【分析】利用加减消元法解此二元一次方程组,用第二个方程减去第一个方程的 2 倍求出 x 的值,将 x 的值代入第一个方程求出 y 的值,最后写出结论即可. 25 【答案】(1)解: 3( 2) + 5 = 0 , 去括号得: 3 6 +

26、 5 = 0 , 移项合并得: 3 = 1 , 系数化为 1 得: =13 (2)解: 321 =2+13 , 去分母得: 3( 3) 6 = 2(2 + 1) , 去括号得: 3 9 6 = 4 + 2 , 移项合并得: = 17 , 系数化为 1 得: = 17 . 【解析】【分析】 (1)根据去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤进行计算; (2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤进行计算. 26 【答案】(1)4;1 (2)解:假设存在 P,使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 8, | 1 | + | 3| = 8 , | + 1| + | 3|

27、= 8 , 当 3 时, + 1 + 3 = 8 , 解得 = 5 ; 综上所述,存在 = 3 或 = 5 时使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 8; (3) 解: 由题意得, t分钟后点P表示的数为 , 点M表示的数为 1 2 , 点N表示的数为 3 3 , t 分钟时点 P 到点 M、点 N 的距离相等, | (1 2)| = | (3 3)| | + 1| = |2 3| , + 1 = 2 3 或 + 1 = 2 + 3 , 解得 = 4 或 =23 【解析】【解答】解: (1)解:由题意得 = 3 (1) = 3 + 1 = 4 , 点 P 到点 M、点 N 的距离相等, 点

28、P 为 M、N 的中点, =1+32= 1 , 故答案为:4,1; 【分析】 (1)根据点 M、N 表示的数结合两点间距离公式可得 MN,由点 P 到点 M、点 N 的距离相等可得点 P 为 M、N 的中点,据此解答; (2)假设存在 P,使点 P 到点 M、N 的距离之和是 8,则|-1-x|+|x-3|=8,分 x3,结合绝对值的性质求解即可; (3)由题意得:t 分钟后点 P 表示的数为-t,点 M 表示的数为-1-2t,点 N 表示的数为 3-3t,根据两点间距离公式可得 PM=|-t-(-1-2t)|,PN=|-t-(3-3t)|,由 PM=PN 可得|t+1|=|2t-3|,求解即

29、可. 27 【答案】(1)6 + 4 = 764 + 2 = 46 (2)解:原方程组可化简为3 + 2 = 382 + = 23, 由可得 y=23-2x, 将代入得 3x+2(23-2x)=38, 解得 x=8, y=23-2x=23-2 8=7 答:兽有 8 只,鸟有 7 只 【解析】【解答】解: (1)兽与鸟共有 76 个头, 6x+4y=76; 兽与鸟共有 46 只脚, 4x+2y=46 可列方程组为6 +4 = 764 +2 = 46 故答案为:6 + 4 = 764 + 2 = 46; 【分析】 (1)根据共有 76 个头可得 6x+4y=76;根据共有 46 只脚可得 4x+2

30、y=46,联立可得方程组; (2)将 4x+2y=46 化为 2x+y=23,表示出 y,然后代入 6x+4y=76 中可得 x 的值,进而可得 y 的值. 28 【答案】(1)A 工程队工作的天数;B 工程队工作的天数;180;20 (2)解:选甲同学所列方程组解答如下: 设 A 工程队用的时间为 x 天,B 工程队用的时间为 y 天, 则 + = 2012 + 8 = 180; - 8 得 4x=20, 解得 x=5, 把 x=5 代入得 y=15, 所以方程组的解为 = 5 = 15, A 工程队整治河道的米数为:12x=60, B 工程队整治河道的米数为:8y=120; 答:A 工程队

31、整治河道 60 米,B 工程队整治河道 120 米 【解析】【解答】解: (1)甲同学:设 A 工程队用的时间为 x 天,B 工程队用的时间为 y 天, 由此列出的方程组为 + = 2012 + 8 = 180; 乙同学:A 工程队整治河道的米数为 x 米,B 工程队整治河道的米数为 y 米, 由此列出的方程组为 + = 18012+8= 20 ; 故答案为: A 工程队工作的天数,B 工程队工作的天数,180,20; 【分析】 (1)甲同学:设 A 工程队用的时间为 x 天,B 工程队用的时间为 y 天,根据共用时 20 天可得x+y=20;根据总长为 180 米可得 12x+8y=180,

32、联立可得方程组; 乙同学: A工程队整治河道的米数为x, B工程队整治河道的米数为y, 根据总长为180米可得x+y=180,根据共用时 20 天可得12+8=20,联立可得方程组; (2)设 A 工程队用的时间为 x 天,B 工程队用的时间为 y 天,根据甲同学列出的方程组求出 x、y 的值,进而可得 A、B 工程队整治河道的米数. 29 【答案】(1)解:设甲种树苗购买了棵,乙种树苗购买了棵, 根据题意,得 + = 40060 + 90 = 27000, 解得 = 300 = 100, 所以甲种树苗购买了 300 棵,乙种树苗购买了 100 棵 (2)解:根据题意,得60 + 90( )

33、= 27000, 即 = 3 900 根据题意,得90% + 95%( ) 92%, 把 = 3 900代入,得 90%(3 900) + 95%(900 2) 92%, 解得 375, 所以的最大值为 375 【解析】【分析】 (1)解设甲种树苗购买了 x 棵,乙种树苗购买了 y 棵,根据“甲、乙两种树的数量为400 棵”得出 x+y=400,根据“ 购买甲、乙两种树苗共用 27000 元 ”得出 60 x+90y=27000,两式结合得出二元一次方程组求解即可; (2)根据实际购买这两种树苗的总费用恰好为 27000 元,列出 m 和 m 的关系式; 根据这批树苗的成活率不低于 92%,列

34、出一元一一次不等式,即可求解. 30 【答案】(1)解:设本次试点投放得 A 款单车 x 辆,B 款单车 y 辆 400+ 320 = 36800 + = 100, 解得: = 60 = 40, 答:本次试点 A 款单车投放 60 辆,B 款单车投放 40 辆 (2)解:设 A 型单车至少投放 1.5a 辆,B 型单车 a 辆 , 4001.5a+320a1840000, 解得:a2000, 1.5a3000, 所以 A 型单车至少投放 3000 辆; (3)解:符合要求, 理由:A:30001000100000=30 辆 ,B:20001000100000=20 辆, 30 25,20 18, 故符合要求 【解析】【分析】 (1)设本次试点投放得 A 款单车 x 辆,B 款单车 y 辆 ,根据两种车的总数量为 100辆和总价值为 36800 元,列出二元一次方程组求解,即可解答; (2)设 A 型单车至少投放 1.5a 辆,B 型单车 a 辆,根据“投资总价值不低于 184 万元” 列出一元一次 不等式求解,即可解答; (3)根据 A、B 两型车的占比分别计算 A,B 型单车数量,再比较,即可作答