1、 第第 4 4 讲讲 一元一次方程与二元一次方程组一元一次方程与二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1 （2022 苏州）九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就.九章算术中有这样一个问题： “今有善行者行一百步， 不善行者行六十步.今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走 100 步，走路慢的人只走 60 步.若走路慢的人先走 100 步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走 x 步才能追上，根据题意可列出的方程是（
2、 ） A = 100 60100 B = 100 +60100 C10060 = 100 + D10060 = 100 2 （2021 海安模拟）若关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3，那么 k 的值是（ ） A12 B72 C6 D10 3 （2022 宿迁）我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果一间客房住 9 人，那么就空出一间客房，若设该店有客房 x 间，房客 y 人，则列出关于 x、y 的二元一次方程组正确的是（ ） A7 7 = 9(
3、1) = B7 + 7 = 9( 1) = C7 + 7 = 9 1 = D7 7 = 9 1 = 4 （2022 扬州）孙子算经是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足.问鸡兔各几何？”学了方程 （组） 后， 我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为（ ） A + = 354 + 4 = 94 B + = 354 + 2 = 94 C + = 944 + 4 = 35 D + = 352 + 4 = 94 5 （2021 七上 高港月考）甲、乙两名同学从学校出发到国色天香游乐园，甲每小时走 4km，乙每小时
4、走 6km，甲出发一个小时后乙才出发，结果乙比甲早到 20 分钟，若设学校到游乐园的距离为 xkm，则下列方程正确的是（ ） A4+1620 B4+16+2060 C416+2060 D4162060 6 （2021 七上 浦口月考）某中学组织初一部分学生参加社会实践活动，需要租用若干辆客车.若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车；若每辆客车乘 43 人，则有一辆空车.设租了 x 辆客车，则可列方程为（ ） A40 + 10 = 43 + 1 B40 10 = 43 1 C40 + 10 = 43( 1) D40 + 10 = 43 1 7 （2021 七上 如皋月考）下列运用等式的
5、性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A若(2+ 1) = (2+ 1)，则 = B若 = ，则 = C若 = ，则2=2 D若 = ，则 3 = 3 8 （2021 七上 江阴期中）如果|a+2|+（b1）2=0 那么代数式（a+b）2022的值是（ ） A1 B1 C 1 D2021 9 （2021 七上 相城月考）如果|a3|（b2）20，那么代数式（ab）2021的值是（ ） A2021 B2021 C1 D1 10（2021七下 江都期末）对有理数a， b定义运算： = + ， 其中m， n是常数.如果 3 4 = 2 ， 5 8 2 ，那么 n 的取值范围是（ ） A 1 B 2
6、 D 0，则 c 的取值范围是 16 （2022 七下 张家港期末）如果 = 2 = 1是方程3 + = 5的解，则 a 的值为 17 （2022 七下 广陵期末）二元一次方程 x3y8 写成用含 y 的代数式表示 x 的形式为 18 （2022 七下 盱眙期末）写出二元一次方程 + 2 = 5的一组正整数解为 19 （2022 七下 苏州期末）把方程 4x+y=15 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式， 得 y= . 20 （2022 七下 清江浦期末）已知 = 2 = 1是二元一次方程 3x+my=1 的一个解，则 m 的值为 . 三、计算题三、计算题 21 （2022 南通模拟）解下
7、列方程组： （1） = 3 2 + 2 = 9 ； （2）2 7 = 83 8 10 = 0 22 （2022 七上 锡山月考）解方程 （1）5 8.3 = 10.7 （2）2( + 1.5) = 12.6 （3）19： =23：4 23 （2022 七下 南京期末）解方程组 + 4 = 35 2 = 4 24 （2022 七下 泗洪期末）解方程组： + = 43 + 2 = 11 25 （2022 七上 句容期末）解方程 （1）3( 2) + 5 = 0 （2）321 =2+13 四、综合题四、综合题 26 （2022 七上 崇川月考）已知数轴上三点 M，O，N 对应的数分别为1，0，3，点
8、 P 为数轴上任意一点，其对应的数为 x （1）MN 的长为 ，如果点 P 到点 M、点 N 的距离相等，那么 x 的值是 ； （2）数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 8？若存在，直接写出 x 的值；若不存在，请说明理由 （3）如果点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从点 O 向左运动，同时点 M 和点 N 分别以每分钟 2个单位长度和每分钟 3 个单位长度的速度也向左运动设 t 分钟时点 P 到点 M、点 N 的距离相等，请直接写出 t 的值 27 （2022 徐州）孙子算经是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，
9、下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种 6 头 4 脚的兽与一种 4 头2 脚的鸟，若兽与鸟共有 76 个头与 46 只脚问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： （1）设兽有 x 个，鸟有 y 只，可列方程组为 ； （2）求兽、鸟各有多少 28 （2022 七下 仪征期末）古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为 180 米的河道 整治任务由 A、B 两个工程队先后接力完成A 工程队每天整治 12 米，B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天 根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： + = 12 + 8 = 乙： + = 12+8= （1
10、）根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数 x、y 表示的意义 甲：x 表示 ，y 表示 ； 请你补全乙同学所列的方程组： 乙： ， ； （2）求 A、B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程） 29 （2022 七下 海州期末）某地区为绿化环境，计划购买甲、乙两种树苗共计棵有关甲、乙两种树苗的信息如图所示 信 息 1甲种树苗每棵 60 元； 2乙种树苗每棵 90 元； 3甲种树苗的成活率为90%； 4乙种树苗的成活率为95% （1）当 n=400 时，如果购买甲、乙两种树苗共用 27000 元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？ （2）实际购买这两种树苗的总费用恰好为 27000 元
11、，其中甲种树苗买了棵 写出与满足的关系式； 要使这批树苗的成活率不低于92%，求的最大值 30 （2022 七下 通州期末）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为 A，B 两种不同款型，其中 A 型单车每辆 400 元，B 型单车每辆 320元 （1）今年年初，共享单车试点投放在该市中心城区正式启动，投放 A，B 两种款型的单车共 100辆，总价值 36800 元求本次试点投放的 A，B 款单车各多少辆？ （2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区 全面铺开按照（1）中试点投放 A，B 两车型的数量比例进行
12、投放，且投资总价值不低于 184 万元求 A 型单车至少投放多少辆？ （3）若规划区 10 万人口中平均每 1000 人至少享有 A 型单车 25 辆，B 型单车 18 辆请判断（2）中的投放方案是否符合要求？说明理由 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：令在相同时间 t 内走路快的人走 100 步，走路慢的人只走 60 步，从而得到走路快的人的速度 100步 ，走路慢的人的速度 60 步， 设走路快的人要走 x 步才能追上，根据题意可得 = 100 +60100 ， 根据题意可列出的方程是 = 100 +60100 . 故答案为：B. 【分析】 令在相同时间 t 内
13、走路快的人走 100 步， 走路慢的人只走 60 步， 则走路快的人的速度为100步，走路慢的人的速度60步，设走路快的人要走 x 步才能追上，根据走路慢的人的速度 时间+100=走路快的人走的步数就可列出方程. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3， 2k+340， 解得：k 12 ， 故答案为：A. 【分析】将 x3 代入 2kx40 中，即可求出 k 值. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：设该店有客房 x 间，房客 y 人； 根据题意得：7 + 7 = 9( 1) = ， 故答案为：B. 【分析】设该店有客房 x 间，房客 y 人，
14、根据一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住可得 7x+7=y；根据一间客房住 9 人，那么就空出一间客房可得 9(x-1)=y，联立可得方程组. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：一只鸡 1 个头 2 个足，一只兔 1 个头 4 个足 设鸡有 x 只，兔有 y 只 由 35 头，94 足，得： + = 352 +4 = 94 故答案为：D. 【分析】设鸡有 x 只，兔有 y 只，根据有 35 头可得 x+y=35；根据有 94 足可得 2x+4y=94，联立可得方 程组. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得， 416+2060， 故答案为：C. 【分析】利用路程、速度、时间三
15、者的关系分别表示出甲与乙各自所用的时间，进而根据走完全程，乙比甲少用 1 小时 20 分钟，列出方程即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意，可列方程为40 + 10 = 43( 1)， 故答案为：C. 【分析】根据参加社会实践活动的总人数进行列方程即可. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：A、根据等式性质 2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得 a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意； B、根据等式性质 2，a=b 两边都乘 c，即可得到 ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意； C、根据等式性质 2，c 可能为 0，等式两边同时除以 c2，原变形错
16、误，故这个选项符合题意； D、根据等式性质 1，x=y 两边同时减去 3 应得 x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质：等式的两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：| + 2| + ( 1)2= 0 ， + 2 = 0， 1 = 0 ， 解得： = 2， = 1 ， ( + )2022= (2 + 1)2022= 1 . 故答案为：A. 【分析】由非负数之和为 0，则每一个数都为 0 可得 a+2=0，b-1=0，求
17、出 a、b 的值，然后根据有理数的加法、乘方法则进行计算. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：|a+3|+（b2）20， a+30，b20， 解得 a3，b2， （a+b）2021（3+2）2021-1. 故答案为：C. 【分析】 根据绝对值及偶次幂的非负性， 由两个非负数的和为 0， 则这两个数都为 0 可求出 a、 b 的值，再代入计算即可. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得， 3 + 4 = 25 + 8 2 由得， =243 代入得， 5 243+ 8 2 解得， 1 故答案为：A. 【分析】利用新定义运算，先列出方程和不等式，然后求出不等式的解集. 11 【答案】2
18、(1 + )2= 4.5 【解析】【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率是 x，根据题意得， 2(1 + )2= 4.5 故答案为：2(1 + )2= 4.5 【分析】由题意可得：2 月份的销售额是 2(1+x)万元，3 月份的销售额是 2(1+x)2万元，然后根据 3 月份的销售额是 4.5 万元就可列出方程. 12 【答案】490 【解析】【解答】解：设一个足球 a 元，一个篮球 b 元， 则 6a+3b=294， 2a+b=98， 买 10 个足球和 5 个篮球要付的钱数：10a+5b=（2a+b） 5=98 5490 故答案为：490. 【分析】设一个足球 a 元，一个篮球 b 元，
19、根据题意可得到关于 a，b 的方程，将方程两边同时乘以 5，可求出买 10 个足球和 5 个篮球要付的钱数. 13 【答案】297 【解析】【解答】解：设原长方形的宽为 x 米，根据题意， 得：18x=22 （x-3） 18x=22x-66 4x=66 x=16.5， 18 16.5=297（平方米） ， 答：这块长方形地的面积是 297 平方米 故答案为：297 【分析】此题的等量关系为：原来长方形的长 宽=增加后的长 （原来长方形的宽-3） ，设未知数，列方程，然后求出方程的解；再求出原来长方形的面积. 14 【答案】1 【解析】【解答】解： 2 = 7 + = 6+得：2 = 1， (2
20、 )2022= (1)2022= 1， 故答案为：1. 【分析】将方程组中的两个方程相加可得 2x-y=-1，然后结合有理数的乘方法则进行计算. 15 【答案】2 0， 32 0，解得： 3， 1 3， 1 2+37 3， 解得：2 9； 故答案为：2 0 求出 a 的范围，则可总结出1 3，结合 =2+37，列出关于 c 的不等式求解即可. 16 【答案】1 【解析】【解答】解： = 2 = 1是方程3 + = 5的解， 3 2 + = 5， = 1； 故答案为：1 【分析】把 = 2 = 1代入原方程得出一个关于 a 的一元一次方程求解，即可解答. 17 【答案】3y+8 【解析】【解答】
21、解： x3y8 x=3y+8 故答案为：3y+8. 【分析】将不含 x 的项移至等号的右边即可. 18 【答案】 = 3 = 1（答案不唯一） 【解析】【解答】解：方程 x+2y=5，解得：x=5-2y， 当 y=1 时，x=5-2=3，则方程一组解为 = 3 = 1 故答案为： = 3 = 1（答案不唯一） 【分析】 先把 x 用含 y 的代数式表示， 然后 y 取任意正整数， 代入其中求出 x 的值 （x 的值也是正整数） ，即可解答. 19 【答案】4x+15 【解析】【解答】解：4x+y=15，移项 y=15-4x. 故答案为：-4x+15. 【分析】将不含 y 的项移至等号的右边即可
22、. 20 【答案】5 【解析】【解答】解： = 2 = 1是二元一次方程 3x+my=1 的一个解， 32+m（-1）=1， 解得 m=5. 故答案为：5. 【分析】根据方程解的概念，将 x=2、y=-1 代入方程中可得关于 m 的方程，求解即可. 21 【答案】（1）解： = 3 2 + 2 = 9 ， 把 代入 ，得： + 2(3 2) = 9 ， 解得： = 5 ， 把 = 5 代入 ，得： = 3 2 5 = 7 ， 方程组的解为 = 5 = 7 （2）解： 2 7 = 83 8 10 = 0 ， 3 ，得： 6 21 = 24 ， 2 ，得： 6 16 20 = 0 ， ，得： 5
23、20 = 24 ， 解得： = 45 ， 把 = 45 代入 ，得： 2 7 (45) = 8 ， 解得： =65 ， 方程组的解为 =65 = 45 【解析】【分析】 （1）将第一个方程代入第二个方程中求出 x 的值，将 x 的值代入第一个方程中求出 y的值，据此可得方程组的解； （2）利用第二个方程的 2 倍减去第一个方程的 3 倍可得 y 的值，将 y 的值代入第一个方程中可求出 x的值，进而可得方程组的解. 22 【答案】（1）解：5 8.3 = 10.7 5 = 8.3 + 10.7 5 = 19 =195 （2）解：2( + 1.5) = 12.6 2 + 3 = 12.6 2 =
24、 12.6 3 2 = 9.6 = 4.8 （3）解：19： =23：4 23 = 4 19 23 =49 =4923 =23 【解析】【分析】 （1）先移项（常数项移到方程的右边，移项要变号） ，再合并同类项，然后将 x 的系数化为 1，可求出方程的解； （2） 先去括号， 再移项 （常数项移到方程的右边， 移项要变号） ， 合并同类项， 然后将 x 的系数化为 1； （3）利用两内项之积等于两外项之积化简，然后将 x 的系数化为 1. 23 【答案】解： + 4 = 35 2 = 4 + 2 得 + 10 = 3 + 8，解得 = 1， 把 = 1代入得1 + 4 = 3， 解得 =12，
25、 所以方程组的解为， = 1 =12； 【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，首先用第一个方程加上第二个方程的 2 倍求出 x的值，再将 x 的值代入求出 y 的值，最后写出结论即可. 24 【答案】解： + = 43 + 2 = 11 2 得：2x+2y= 8 -得： x=3， 将 x=3 代入式，得 y=1， 方程组的解为 = 3 = 1 【解析】【分析】利用加减消元法解此二元一次方程组，用第二个方程减去第一个方程的 2 倍求出 x 的值，将 x 的值代入第一个方程求出 y 的值，最后写出结论即可. 25 【答案】（1）解： 3( 2) + 5 = 0 ， 去括号得： 3 6 +
26、 5 = 0 ， 移项合并得： 3 = 1 ， 系数化为 1 得： =13 （2）解： 321 =2+13 ， 去分母得： 3( 3) 6 = 2(2 + 1) ， 去括号得： 3 9 6 = 4 + 2 ， 移项合并得： = 17 ， 系数化为 1 得： = 17 . 【解析】【分析】 （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤进行计算； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤进行计算. 26 【答案】（1）4；1 （2）解：假设存在 P，使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 8， | 1 | + | 3| = 8 ， | + 1| + | 3|
27、= 8 ， 当 3 时， + 1 + 3 = 8 ， 解得 = 5 ； 综上所述，存在 = 3 或 = 5 时使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 8； （3） 解： 由题意得， t分钟后点P表示的数为 ， 点M表示的数为 1 2 ， 点N表示的数为 3 3 ， t 分钟时点 P 到点 M、点 N 的距离相等， | (1 2)| = | (3 3)| | + 1| = |2 3| ， + 1 = 2 3 或 + 1 = 2 + 3 ， 解得 = 4 或 =23 【解析】【解答】解： （1）解：由题意得 = 3 (1) = 3 + 1 = 4 ， 点 P 到点 M、点 N 的距离相等， 点
28、P 为 M、N 的中点， =1+32= 1 ， 故答案为：4，1； 【分析】 （1）根据点 M、N 表示的数结合两点间距离公式可得 MN，由点 P 到点 M、点 N 的距离相等可得点 P 为 M、N 的中点，据此解答； （2）假设存在 P，使点 P 到点 M、N 的距离之和是 8，则|-1-x|+|x-3|=8，分 x3，结合绝对值的性质求解即可； （3）由题意得：t 分钟后点 P 表示的数为-t，点 M 表示的数为-1-2t，点 N 表示的数为 3-3t，根据两点间距离公式可得 PM=|-t-(-1-2t)|，PN=|-t-(3-3t)|，由 PM=PN 可得|t+1|=|2t-3|，求解即
29、可. 27 【答案】（1）6 + 4 = 764 + 2 = 46 （2）解：原方程组可化简为3 + 2 = 382 + = 23， 由可得 y=23-2x， 将代入得 3x+2（23-2x）=38， 解得 x=8， y=23-2x=23-2 8=7 答：兽有 8 只，鸟有 7 只 【解析】【解答】解： （1）兽与鸟共有 76 个头， 6x+4y=76； 兽与鸟共有 46 只脚， 4x+2y=46 可列方程组为6 +4 = 764 +2 = 46 故答案为：6 + 4 = 764 + 2 = 46； 【分析】 （1）根据共有 76 个头可得 6x+4y=76；根据共有 46 只脚可得 4x+2
30、y=46，联立可得方程组； （2）将 4x+2y=46 化为 2x+y=23，表示出 y，然后代入 6x+4y=76 中可得 x 的值，进而可得 y 的值. 28 【答案】（1）A 工程队工作的天数；B 工程队工作的天数；180；20 （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： 设 A 工程队用的时间为 x 天，B 工程队用的时间为 y 天， 则 + = 2012 + 8 = 180； - 8 得 4x=20， 解得 x=5， 把 x=5 代入得 y=15， 所以方程组的解为 = 5 = 15， A 工程队整治河道的米数为：12x=60， B 工程队整治河道的米数为：8y=120； 答：A 工程队
31、整治河道 60 米，B 工程队整治河道 120 米 【解析】【解答】解： （1）甲同学：设 A 工程队用的时间为 x 天，B 工程队用的时间为 y 天， 由此列出的方程组为 + = 2012 + 8 = 180； 乙同学：A 工程队整治河道的米数为 x 米，B 工程队整治河道的米数为 y 米， 由此列出的方程组为 + = 18012+8= 20 ； 故答案为： A 工程队工作的天数，B 工程队工作的天数，180，20； 【分析】 （1）甲同学：设 A 工程队用的时间为 x 天，B 工程队用的时间为 y 天，根据共用时 20 天可得x+y=20；根据总长为 180 米可得 12x+8y=180，
32、联立可得方程组； 乙同学： A工程队整治河道的米数为x， B工程队整治河道的米数为y， 根据总长为180米可得x+y=180，根据共用时 20 天可得12+8=20，联立可得方程组； （2）设 A 工程队用的时间为 x 天，B 工程队用的时间为 y 天，根据甲同学列出的方程组求出 x、y 的值，进而可得 A、B 工程队整治河道的米数. 29 【答案】（1）解：设甲种树苗购买了棵，乙种树苗购买了棵， 根据题意，得 + = 40060 + 90 = 27000， 解得 = 300 = 100， 所以甲种树苗购买了 300 棵，乙种树苗购买了 100 棵 （2）解：根据题意，得60 + 90( )
33、= 27000， 即 = 3 900 根据题意，得90% + 95%( ) 92%， 把 = 3 900代入，得 90%(3 900) + 95%(900 2) 92%， 解得 375， 所以的最大值为 375 【解析】【分析】 （1）解设甲种树苗购买了 x 棵，乙种树苗购买了 y 棵，根据“甲、乙两种树的数量为400 棵”得出 x+y=400，根据“ 购买甲、乙两种树苗共用 27000 元 ”得出 60 x+90y=27000，两式结合得出二元一次方程组求解即可； （2）根据实际购买这两种树苗的总费用恰好为 27000 元，列出 m 和 m 的关系式； 根据这批树苗的成活率不低于 92%，列
34、出一元一一次不等式，即可求解. 30 【答案】（1）解：设本次试点投放得 A 款单车 x 辆，B 款单车 y 辆 400+ 320 = 36800 + = 100， 解得： = 60 = 40， 答：本次试点 A 款单车投放 60 辆，B 款单车投放 40 辆 （2）解：设 A 型单车至少投放 1.5a 辆，B 型单车 a 辆 ， 4001.5a+320a1840000， 解得：a2000， 1.5a3000， 所以 A 型单车至少投放 3000 辆； （3）解：符合要求， 理由：A：30001000100000=30 辆 ，B：20001000100000=20 辆， 30 25，20 18， 故符合要求 【解析】【分析】 （1）设本次试点投放得 A 款单车 x 辆，B 款单车 y 辆 ，根据两种车的总数量为 100辆和总价值为 36800 元，列出二元一次方程组求解，即可解答； （2）设 A 型单车至少投放 1.5a 辆，B 型单车 a 辆，根据“投资总价值不低于 184 万元” 列出一元一次 不等式求解，即可解答； （3）根据 A、B 两型车的占比分别计算 A，B 型单车数量，再比较，即可作答
