1、专题专题 0606：平面向量平面向量 一、单选题一、单选题 1 （2022 广东 一模）若向量a，b满足| 2a ，| 2b ，2a b ，则|abrr（ ） A2 B2 C23 D4 二、多选题二、多选题 2（2022 广东茂名 一模） 已知点 A 是圆 C:2211xy上的动点， O为坐标原点，OAAB， 且|O AA B,O，A，B三点顺时针排列，下列选项正确的是（ ） A点B的轨迹方程为22112xy B|CB的最大距离为12 CCA CB的最大值为21 DCA CB的最大值为2 3 （2022 广东惠州 一模）如图，点 O是正八边形 ABCDEFGH 的中心，且1AB uu u r，
2、则（ ） AAH与CF能构成一组基底 B0OA OC C2OA OCOB D22AC CD 4 （2022 广东深圳 一模）四边形 ABCD为边长为 1 的正方形，M 为边 CD 的中点，则（ ） A2ABMD BDMCBAM CADMCMA D1AM BC 5 （2022 广东韶关 一模）已知向量1,2, 3akbk，则下列说法正确的是（ ） A若3k ，则向量, a b可以表示平面内任一向量 B若abab，则12k C若22( )( )ab，则3k D若12k ，则a与b的夹角是锐角 三、填空题三、填空题 6 （2021 广东佛山 一模）已知向量1,1a ，2,3b ，2aakb，则实数
3、k的值为_ 7 （2022 广东湛江 一模）已知向量( 1, 2)a ，(,3)bx ，若ab，则x_ 8（2022 广东广州 一模） 已知菱形 ABCD的边长为 2，60ABC， 点 P 在 BC 边上 （包括端点） ， 则AD AP的取值范围是_. 9 （2022 广东汕头 一模）已知四边形ABCD中，ABCD，33ABCD，2ADBC，点 E 是CD的中点，则AE BD_. 10 （2022 广东深圳 一模）在平面直角坐标系中，已知直线240 xy分别与 x轴，y 轴交于 A，B两点，若点cos ,sinP，则PAPB的最大值为_ 11（2022 广东广东 一模） 已知向量, a b满足
4、(0,1),2ab，a与b的夹角为135， 则|2 |ab_ 参考答案参考答案 1B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得abrr的值. 【详解】由题意可得22222222 222ababaa bb . 故选：B. 2BD 【分析】如图，过 O点作/,ODABODAB且，设点,B x y，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为22112xy，可判断 A；根据点到圆上距离的最值求解，可判断 B；设0 ,90CAO, ，将向量的数量积表示成关于的函数，可判断 C，D； 【详解】如图，过 O点作/,ODABODAB且 则点1,0C ，设点00,A x y，设xOA，则2xOD，设|OAa， 所以，
5、0cosxa，0sinya， 所以，0cossin2Dxaay，0sincos2Dyaax ， 即点00,D yx， 因为0000,OBOAODxyyx， 设点,B x y，可得0000 xxyyyx，解得0022xyxxyy， 因为点A在圆2211xy上，所以220011xy， 将0022xyxxyy代入方程220011xy可得221122xyxy， 整理可得22112xy，所以 A 是错的， 所以CB的最大距离为12，B是对的， 设,090CAO， 2o()1 | |cos(90)CA CBCA CAABCACA ABCAAB 1 |OA|sin12cossin1 sin22 所以CA C
6、B的最大值为 2，D 是对的. 故选：BD 3BC 【分析】对 A，由正八边形性质可证AH与CF平行，即可由基底定义判断； 对 B，由正八边形性质可证OAOC，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断； 对 C，由OAOC，利用平行四边形法则即可计算； 对 D，由AC CDAB CDBC CD，即可根据向量数量积定义计算 【详解】 连接 BG，CF，由正八边形的性质可知，AHBG，CFBG，所以AHCF，所以AH与CF是共线向量，所以AH与CF不能构成一组基底，A 项错误； 1242AOC，所以OAOC，所以0OA OC，B 项正确； 因为OAOC，由平行四边形法则可知，2OA OCOB，C 项正
7、确； 正八边形的每一个内角为138284，ABCD， 所以232cos42AC CDABBCCDAB CDBC CDBC，D 项错误（或者从正八边形的性质可知AC与CD的夹角为锐角，则有0AC CD可判断 D 错误）. 故选：BC 4BD 【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可. 【详解】如图， A：22ABDMMD ，故 A 错误； B：AMADDMBCDMDMCB，故 B 正确； C：MAMDDADMADCMAD，故 C 错误； D：()AM BCADDMBCAD BCDM BC， 由BCDM，得DM BC0， 所以201AM BCAD BCBC，故 D 正确
8、. 故选：BD 5BC 【分析】A 选项，根据平行得到 k的范围；B 选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出 k 的值；C 选项，列出不等式，求出 k 的范围；D 选项，举出反例. 【详解】当a与b不共线，, a b可以表示平面内任一向量，所以3 120kk ， 解得:3k 且1,k A 错误； 若abab，则ab，所以 1 230kk ，得：12k，B 正确； 若22( )( )ab，有221(2)9kk，解得：3k ，C 正确； 当1k 时，a与b平行，夹角不是锐角，D错误. 故选：BC. 64 【分析】根据两个向量垂直其数量积为0，列出等式求解即可. 【详解】因为2aakb，所以20aa
9、kb，即220aka b， 又因为1,1a ，2,3b ，所以22222112aa，1a b ， 所以40k，解得4k 故答案为：4 732#-1.5 【分析】由向量平行的坐标表示进行计算 【详解】由题意3 20 x ，32x 故答案为：32 82 2 , 【分析】以 C为原点，BC为 x 轴正方向，过 C垂直向上方向为 y 轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解. 【详解】 如图示，以 C 为原点，BC为 x 轴正方向，过 C 垂直向上方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 因为菱形 ABCD的边长为 2，60ABC，则2,0B ,0,0C,1, 3D,1, 3A . 因为点 P 在
10、BC 边上（包括端点） ，所以,0P t,其中2,0t . 所以2,0AD ,1,3APt, 所以22AD APt. 因为2,0t ，所以222,2AD APt . 故答案为：2 2 , 92 【分析】如图，分别过点,C D作,CGAB DFAB,垂足分别为,G F,求出45DAF，再利用平面向量的线性运算和数量积运算求解. 【详解】解：如图，分别过点,C D作,CGAB DFAB,垂足分别为,G F. 由题得四边形ABCD为等腰梯形，21,211AFBGDF ,所以45DAF. 由题得151() ()() ()29666AE BDAD DEADABADABADABAB AD 52123262
11、2 . 故答案为：2 102 52 【分析】根据题意求出点 A、B 的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出PAPB的表达式，利用三角函数的值域即可求出PAPB的最大值. 【详解】由题意知， 直线240 xy分别与 x轴、y 轴交于点 A、B， 则(4,0)(0,2)AB，又(cos ,sin )P， 所以(4cos , sin )( cos ,2sin )PAPB ， 有(42cos ,22sin )PAPB， 则22(42cos )(22sin )248(sin2cos )PAPB 24 8 5sin()，其中tan2， 当sin()1 时，PAPB取得最大值， 且最大值为224 8 52 62 52 ( 5 1)2 52. 故答案为：2 52 1113 【分析】结合模长、数量积公式、2aa化简即可求解. 【详解】 由2222244abababa b， 因为(0,1),2ab，a与b的夹角为135， 所以1a ，32cos12142a bab ， 故222441 8413ababa b . 故答案为：13