1、专题专题 0202：复数与不等式复数与不等式 一、单选题一、单选题 1 （2022 广东 一模）已知复数(2i)(1 2i)z ，其中i是虚数单位，则z （ ） A2 B3 C4 D5 2 （2022 广东湛江 一模）已知(1 3i)5iz，则z的虚部是（ ） A32 B12 C32 D12 3 （2022 广东广州 一模）若复数21 iz ，则|i|z （ ） A2 B5 C4 D5 4 （2022 广东广州 一模）若正实数 a，b 满足ab，且lnln0ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Alog0ab B11abba C122aba b D11baab 5 （2022 广东汕头 一模）
2、已知21i32iz，则z （ ） A134 B3 C132 D133 6 （2022 广东深圳 一模）已知复数 z满足1 i1 iz ，其中i为虚数单位，则 z的虚部为（ ） A0 B1 C1 Di 7 （2022 广东广东 一模）若3i i2iab，其中 a，bR，i是虚数单位，则ba（ ） A32 B32 C23 D23 8 （2022 广东广东 一模）设xR，则“1x ”是“11x”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （2022 广东韶关 一模）复数1zii(i为虚数单位)的共轭复数z （ ） A1 i B1i C1i D1i 10 （2
3、022 广东茂名 一模）已知, a b为实数，且2ii1 iba(i为虚数单位)，则iab（ ） A34i B12i C3 2i D32i 11 （2021 广东佛山 一模）已知为i虚数单位，复数1 i12iz，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 12 （2021 广东佛山 一模）已知正实数 a，b满足：121ab，则23aba b的最小值为（ ） A2 2 B32 2 C6 D无最小值 二、多选题二、多选题 13 （2022 广东惠州 一模）对于实数, ,a b c，下列结论正确的是（ ） A若ab，则acbc B若22acbc，则a
4、b C若0ab，则| |ab D若0cab，则11cacb 14 （2022 广东湛江 一模）若ab，则下列不等式中正确的有（ ） A0ab B22ab Cacbc D22ab 15 （2022 广东汕头 一模）已知正实数 a，b满足2abab，则以下不等式正确的是（ ） A212ab B28ab C22loglog3ab D29ab 16 （2021 广东佛山 一模）下列说法正确的是（ ） A命题：1,1x ，2230 xx的否定是：1,1x ，2230 xx； B26k，Zk是1sin2的充要条件； C1a 是11a的充分非必要条件； D2,2a 是命题：x R，210 xax 恒成立的充
5、分非必要条件 三、填空题三、填空题 17 （2022 广东惠州 一模）已知 i 是虚数单位，则复数41 i2的模等于_. 参考答案参考答案 1D 【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】解：(2i)(1 2i)43iz ， 所以1695z . 故选：D. 2B 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z，即可判断； 【详解】解：因为(1 3i)5iz，所以5i5i(1 3i)5(3i)31i1 3i(1 3i)(1 3i)1022z，所以z的虚部是12， 故选：B. 3B 【分析】先化简复数 z，再利用复数的模求解. 【详解】因为复数21 iz ，
6、所以2ii12i1 iz ， 所以22i125z ， 故选：B 4D 【分析】 根据函数单调性及lnln0ab得到1ab或01ba， 分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解. 【详解】因为0ab，lnyx为单调递增函数，故lnlnab，由于lnln0ab，故lnln0ab，或lnln0ba， 当lnln0ab时，1ab，此时log0ab ； 11110ababbaab，故11abba； 1110ababab ，122aba b； 当lnln0ba时，01ba，此时log0
7、ab ，11110ababbaab，故11baab； 1110ababab ，122aba b； 故 ABC 均错误； D 选项，11baab，两边取自然对数，1 ln1 lnbaab，因为不管1ab，还是01ba，均有110ab，所以lnln11abab，故只需证lnln11abab即可， 设( )ln1xfxx=-（0 x且1x ） ，则 211ln1xxfxx，令 11lng xxx （0 x且1x ） ，则 22111xgxxxx，当0,1x时， 0g x，当1,x时， 0g x，所以 10g xg，所以 0fx在0 x且1x 上恒成立， 故( )ln1xfxx=-（0 x且1x ）
8、单调递减， 因为ab， 所以lnln11abab，结论得证，D 正确 故选：D 5C 【分析】求出31i2z ，即得解. 【详解】解：由题得332i32i,11i2i2zz ， 所以22313131()242z . 故选：C 6B 【分析】根据题意，化简复数iz ，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由题意，复数 z满足1 i1 iz ，可得1 i1 i1 ii1 i1 i1 iz ， 所以 z的虚部为1. 故选：B. 7B 【分析】利用复数相等，列式求, a b，即可求解. 【详解】3i i3i2iaab ， 所以2,3ab ，得32ba. 故选：B 8A 【分析】111xx ，但11x不能
9、推出1x ，从而判断出结论. 【详解】1x 时，101x，故充分性成立， 11x，解得：0 x或1x ，故必要性不成立， 所以“1x ”是“11x”的充分不必要条件. 故选：A 9B 【分析】根据复数乘法及共轭复数的概念求解. 【详解】1=1ziii， 1zi ， 故选：B 10A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得, a b，进而得解. 【详解】2i 1 i2i22ii22i1 i2222bbbbbb 由题意知222=12bab，解得34ab，所以i3 4iab 故选：A 11A 【分析】利用复数的除法运算化简z，求出z即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. 【详解】
10、221 i12i1 i12ii3i31i12i12i12i14i555z， 31i55z ，所以z在复平面内对应的点坐标为3 1,5 5， 所以z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 12B 【分析】对121ab去分母得2a bab ，代换23aba b中的ab，再结合“1”的妙用即可求解 【详解】由1212ababab ，则23423aba baba ba b ， 122332 2ababababba，当且仅当222ba时取到等号，故23aba b的最小值为32 2. 故选：B 13BCD 【分析】根据不等关系对选项一一分析即可. 【详解】对于 A，当0c =时，acbc，故 A 错
11、误； 对于 B，若22acbc，则ab，故 B 正确； 对于 C，若0ab，则| |ab，故 C 正确； 对于 D，若0cab，则 0cac b ，从而有11cacb，故正确. 故选：BCD 14AB 【分析】根据作差法，判断 A;根据指数函数( )2xf x 的单调性，判断 B;举反例可说明 C 的正误；同样据反例，判断 D. 【详解】对于 A 选项，因为ab，所以0ab，故 A 正确； 对于 B 选项，因为函数( )2xf x 在 R 上单调递增，所以22ab，故 B 正确； 对于 C 选项，当0c时，acbc不成立，故 C 不正确； 对于 D 选项，当1a ，2b时，2214ab ，故
12、D 不正确, 故选:AB. 15BD 【分析】对于 A，对2abab两边同除以ab进行判断，对于 B，利用基本不等式分析判断，对于 C，由22loglog3ab可得28ab，产生矛盾，对于 D，由已知可得211ab，所以212(2)ababab，化简后利用基本不等式求解 【详解】对于 A，因为正实数 a，b 满足2abab，所以21abab，即211ab，所以 A 错误， 对于 B，因为0,0ab，2abab，所以22 22 2(2 )ababab，当且仅当2ab时取等号，所以2(2 )8(2 )abab，因为20ab，所以28ab，当且仅当2ab时取等号，所以 B 正确， 对于 C，若22l
13、oglog3ab，则2222logloglog3log 8abab，所以8ab，所以28ab，而由选项 B 可知28ab，所以22loglog3ab不成立，所以 C 错误， 对于 D，因为正实数 a，b满足2abab，所以21abab，即211ab，所以 2122222(2)5529abababababbaba，当且仅当22baab，即3ab时取等号，所以 D正确， 故选：BD 16AC 【分析】依次判断，根据命题的否定定义可知 A 的正误，计算1sin2，可知 B 的正误，计算11a可知 C正误，计算x R，210 xax 恒成立的条件可知 D 的正误，可得结果. 【详解】对 A，1,1x ，2230 xx的否定是1,1x ，2230 xx，A 正确； 对 B，2in61s2k或52,6kkZ， 故26k，Zk是1sin2的充分不必要条件，故 B 错； 对 C，110aa 或1a ，所以1a 是11a的充分非必要条件，故 C 正确； 对 D，x R，210 xax 恒成立的条件为24022aa 所以2,2a 是命题：x R，210 xax 恒成立的必要不充分条件 故选：AC 171 【分析】根据复数运算化简目标复数，再求其模长即可. 【详解】因为242221 i1 i2ii1222 ，所以模为 1. 故答案为：1.