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2023年九年级数学中考专题训练:二次函数的特殊三角形问题(含答案)

1、2023年中考数学专题训练二次函数的特殊三角形问题1抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且A(1,0),B(4,0),与y轴交于点C连接BC,以BC为边,点O为中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,交BD于点M(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)x轴上是否存在一点P,使PBC为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当点P在线段OB上运动时,试探究:当m为何值时,四边形CQMD是平行四边形?请说明理由2如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于、两点,与轴交于,点在原点的左侧,

2、点的坐标为点是抛物线上一个动点,且在直线的上方(1)求这个二次函数及直线的表达式(2)过点做轴交直线于点,求的最大值(3)点为抛物线对称轴上的点,问在抛物线上是否存在点,使为等腰直角三角形,且为直角,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由3如图,抛物线yax2+bx+c经过点A(2,5),与x轴相交于B(1,0),C(3,0)两点(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若点C恰好落在抛物线的对称轴上,求点C和点D的坐标;(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直线

3、BP的函数表达式4如图,抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点(0,3)(1)求抛物线的解析式;(2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点,过点P的直线yx+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,当PE+EF有最大值时,求P点的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点D使BCD是以BC为斜边的直角三角形,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由5抛物线 yax24ax3a 交x轴于点B、C两点,交y轴于点A,点D为抛物线的顶点,连接AB、AC,已知ABC的面积为3(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线对称轴右侧一点,点P的横坐标为m,过点P作P

4、Q/AC交y轴于点Q,AQ的长度为d,求d与m的函数关系式;(3)在(2)的条件下,当d4时,作DNy轴于点N,点G为抛物线上一点,AG交线段PD于点M,连接MN,若AMN是以MN为底的等腰三角形,求点G的坐标6已知一次函数yx4的图象与二次函数yax(x2)的图象相交于点A(1,b)和点B,点P是线段AB上的动点(不与A、B重合),过点P作PCx轴,与二次函数yax(x2)的图象交于点C(1)a ,b ,B点的坐标为 ;(2)求线段PC长的最大值(3)连接AC,当PAC是以AP为腰的等腰三角形时,直接写出点P的坐标 7如图,在坐标系中ABC是等腰直角三角形,BAC =90,A(1, 0),B

5、(0, 2),抛物线的图象过点(2,-1)及点C. (1)求该抛物线的解析式;(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使以P,A,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.8如图,二次函数的图像与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且的面积为6(1)求A,B两点的坐标;(2)求该二次函数的表达式;(3)如果点p在坐标轴上,且是等腰三角形,直接写出p点坐标9如图,已知二次函数的图象经过点、和原点OP为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为,并与直线OA交于点C(1)求出二次函数的解析式;(2)当点P在直线OA的上方时,求线段P

6、C的最大值;(3)当时,探索是否存在点P,使得为等腰三角形,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由10如图,抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A(4,0),B(,0),与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点P是x轴上的一个动点,连接CP,并把线段CP绕着点C按逆时针方向旋转60,得到CQ,连接PQ,OQ(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到点D时,求Q点坐标,并判断点Q是否在抛物线上;(3)当OPQ的面积等于时,请直接写出符合条件的点P的坐标11如图1,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于C点,D是抛物线上的动点,已知A的坐标为(-3,0),C的

7、坐标为(0,3)(1)求该抛物线的函数表达式以及B点的坐标;(2)在第二象限内是否存在点D使得ACD是直角三角形且ADC=90,若存在请求出D点的坐标,若不存在请说明理由;(3)如图2,连接AC,BC,当ACD=BCO,求D点的坐标12如图:已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3)(1)求二次函数的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PBC为等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标;(3)有一个点M在线段CB上运动,作MNx轴交抛物线于点N,问当M、N点位于何处时,BCN的面积最大,求最大面积.13如图,抛物线与x轴交于A,

8、B两点,与y轴交于点C,点B,C的坐标分别为(2,0),(0,3),点D与点C关于x轴对称,P是直线AC上方抛物线上一动点,连接PD、交AC于点Q(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标;(2)在点P运动的过程中,求PQ:DQ的最大值;(3)在y轴上是否存在点M,使AMB45?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由14如图,抛物线与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点,直线是抛物线的对称轴,且点C的坐标为(1)求抛物线的解析式;(2)已知P为线段上一个动点,过点P作轴于点D若的面积为S求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;当S取

9、得最大值时,求点P的坐标(3)在(2)的条件下,在线段上是否存在点P,使为等腰三角形?如果存在,直接写出满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由15如图,直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,经过A、C两点的抛物线yax2bxc与x轴的另一交点为(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P是该抛物线上的动点,过点P作PDx轴于点D,交AC于点E,设点P的横坐标为t(4t0)求出四边形PAOC面积S与t的函数表达式,并求S的最大值;当PEC为等腰三角形时,求所有满足条件的t的值16将抛物线C:向下平移6个单位长度得到抛物线,再将抛物线向左平移得到抛物线抛物线的顶点在y轴上(1)分别求抛物线的顶点坐

10、标及抛物线的解析式;(2)点A在抛物线对称轴右侧的图像上,点B在抛物线的对称轴上,OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;(3)如图,直线(,k为常数)与抛物线交于E,F两点,M为线段EF的中点直线与抛物线交于G,H两点,N为线段GH的中点,求证:直线MN经过一个定点17如图,抛物线交x轴于,两点,交y轴于点C,点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点(1)求抛物线的解析式;(2)连接AC,BD,若,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,将抛物线沿着射线AD平移m个单位,平移后A、D的对应点分别为M、N,在x轴上是否存在点P,使得是等腰直角三角形?若存在,请求出m的值:若不存在,请

11、说明理由18如图,四边形的顶点坐标分别为,抛物线经过,三点(1)求证:四边形是矩形;(2)求抛物线的解析式;(3)绕平面内一点顺时针旋转得到,即点,的对应点分别为,若恰好两个顶点落在抛物线上,请直接写出的坐标19如图1,以点M(1,4)为顶点的抛物线与直线ykx+b 交于A,B两点,且点A坐标为(4,),点B在y轴上(1)求直线和抛物线解析式;(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点(如图2),过点D作DEx轴于点E,交直线AB于点F,求线段DF长度的最大值;(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使以点A,M,P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由20

12、如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,抛物线的对称轴交轴于点(1)求的值;(2)在抛物线对称轴上找点,使是以为腰的等腰三角形,请求出点的坐标;(提醒满足条件的点可能不只一个)(3)点是线段上一个动点,过点作轴的垂线与抛物线相交于点,与轴相交于点,连接、,当四边形的面积最大时,请你说明四边形的形状参考答案1(1);(2)存在,点P的坐标为(,0)或(4+2,0)或(42,0)或(4,0);(3)当m2时,四边形CQMD是平行四边形,理由见解析2(1)二次函数的表达式为,直线的表达式为;(2)(3)存在,点的坐标为(,)或(,)或(,)或(,)3(1)yx22x3(2)点C的坐标为(1,2),点

13、D的坐标为(1,)(3)或4(1)yx24x+3(2)点P的坐标为(2,1)(3)存在,点D的坐标为:(2,)或(2,)5(1)(2)(3)或6(1)1;3;(4,8)(2)(3)或7(1)(2)(3,1)(3)满足条件的P点只有一个,为(-2,1)8(1),(2)(3),9(1)y=-x2+4x(2)(3)存在,点P的坐标为或或(5,-5)或(4,0)10(1)(2)Q点坐标为(,4),点Q在抛物线上(3)符合条件的点P的坐标为(,0),(,0),(,0),(,0)11(1)y-x2-2x3,B(1,0)(2)存在,D(2,3)(3)D(,)或(4,5)12(1)(2)存在,P(2,2) (2,3+)(2,3,-)(2,)(2,-)(3)当,时,BCN的面积最大,最大面积为13(1);(3,0)(2)(3)存在,M(0,6)或M(0,6)14(1)(2);S有最大值为,此时(3)存在,或15(1)(2),的最大值为;或或16(1)C1的顶点坐标是(2,-6),C2:yx26;(2)A(4,2)或(5,3);(3)见解析17(1)(2)(3)存在,或或时,是等腰直角三角形18(1)平行四边形是矩形(2)(3)点的坐标为或19(1),(2)2(3)或20(1)(2),(3)当四边形的面积最大时,四边形是平行四边形