1、22.1.4 二次函数y= ax+bx+c的图象和性质 第1课时 回顾旧知 yax2 ya(xh)2 k 上正下负 左加右减 一般地，二次函数ya(xh)2 k不yax2的_相同， _丌同. 形状 位置 请说出抛物线y=ax+k， y=a（x-h），y=a（x-h）+k的开口方向、对称轴和顶点坐标. 你知道二次函数y= x -6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？ 问 题（一） 问 题（二） 121 知识点 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系 探究： 如何画出y x26x21的图象呢？ 12 我们知道，像ya(xh)2 k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶
2、点为(h，k)，二次函数y x26x21也能化成这样的形式吗？ 121212y x26x21 配 方 y (x6)23. 你知道是怎样配方的吗？ 3.“化”：化成顶 点式. y (x212x)21 y (x212x3636)21 y (x6) 22118 y (x6) 23 1. “提”：提出二次项系数； 2.“配”：括号内配成完全平方式； 12121212求二次函数y=ax2bxc的顶点式？ 配方： 2bcxaaa x 22222bbbcaxaaaax222424bbacaaax 提取二次项系数 222424bbacaaax 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形
3、式，后两项合并同类项 化简：去掉中括号 所以y=ax2bxc的对称轴是： 顶点坐标是： 224 24，bbacaa 2bax 例1 把下面的二次函数的一般式化成顶点式： y2x25x3. 导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法， 另一种是代入公式法 解法一：用配方法： y2(x2 x)3，(将含x项结合在一起，提取二次项系数) y (按完全平方式的特点， 常数项为一次项系数一半的平方) 522225515123,22222xx225255123,2.4848yxyx解法二：用公式法：设顶点式为ya(xh)2k. a2，b5，c3， 224 2 355541,.22 2444 28bac
4、bhkaa 2512.48yx252523,416yx(应用完全平方公式) 思考：抛物线y=2x25x3不抛物线y=2x2有怎样的关系？ 二次函数y=2x25x3化为顶点式后为 因此抛物线y=2x25x3可以由抛物线y=2x2向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到. 2512,48yx1854将抛物线yx22x3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( ) Ay(x1)24 By(x4)24 Cy(x2)26 Dy(x4)26 B 2 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 思考：1.你能画出 的图象吗？ 2.如何直接画出 的图象？ 3.观察图象，二
5、次函数 的性质是什么？ 216212yxx216212yxx216212yxx如果直接画二次函数y x26x21的图象，可按如下步骤进行 由配方的结果可知，抛物线y x26x21的顶点是(6，3)，对称轴是x6. 先利用图象的对称性列表： x 3 4 5 6 7 8 9 y 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 1212然后描点画图，得到y 的图象(如图) 21632x从图中二次函数y x26x21的图象可以看 出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升也就 是说，当x6时， y随x的增大而增大 12探究： 你能用上面的方法讨论二次函数y2x24x1的图
6、象和性质吗？ 3 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系 字母的符号 图象的特征 a a0 开口向上 a0 开口向下 b ab0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧 ab0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c0 不y轴正半轴相交 c0 不y轴负半轴相交 字母 项目 例2 二次函数yax2bxc的图象如图，那么abc，2ab， abc这3个代数式中，值为正数的有( ) A3个 B2个 C1个 D. 0个 导引：抛物线的开口向上，a0. 对称轴x 0，b0. 又抛物线不y轴的交点在y轴的负半轴上，c0， abc0.x 1，b2a，即2ab0. 当x1时
7、，抛物线上对应的点在x轴的下方，yabc0. 综上所述，abc，2ab，abc这3个代数式中，值为正数的只有abc. C 2ba 2ba 总 结 二次函数yax2bxc的各项系数的符号不图象位置间的关系： (1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”； (2)c决定抛物线不y轴的交点位置，简记为“上正下负原点0”； (3)a、b的符号共同决定对称轴x 的位置，简记为： “左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象的位置， 也可以由图象的位置来判断各项系数的符号 2ba 二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论正确的是( ) Aa0，b0，b24ac0 Ba0，b0，b24ac0
8、 Ca0，c0 Da0，c0，b24ac0 D 1.二次函数yax2bxc(a0)通过配方可化为ya(x )2 的形式，它的图象的对称轴是直线_，顶点坐标 是_ 2ba244acba 2bxa 244acba 2.如图，已知抛物线yax2bxc, 试确定下列各式的符号： a_0，b_0，c_0； abc_0，abc_0. 0，当x 时，y随x的增大而_； 当x 时，y取最_值_ 如果a0，当x 时，y随x的增大而_； 当x 时，y取最_值_ 2ba2ba2ba2ba2ba2ba增大 小 244acba 增大 减小 大 244acba 4.对于二次函数y14x2x4，下列说法正确的是( ) A当
9、x0时，y随x的增大而增大 B当x2时，y有最大值3 C图象的顶点坐标为(2，7) D图象不x轴有两个交点 B 5.一次函数yaxb不二次函数yax2bxc在同一平面直 角坐标系内的图象可能是( ) C 6.如图，抛物线yax2bxc经过点(1，0)，对称轴l如图所 示，则下列结论：abc0；abc0；2ac0； ab0.其中所有正确的结论是( ) A B C D D 7.已知二次函数yax24x2的图象经过点A(3，4) (1)求a的值； 解：由题意得49a122，解得a2. (2)求此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； 由(1)得二次函数为y2x24x2， 可化为y2(x1)24. 故抛
10、物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x1. (3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围 x1. 8.如图，已知抛物线yx2mx3不 x轴交于A，B两点，不y轴交于点C， 点B的坐标为(3，0) (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； 解：把点B(3，0)的坐标代入yx2mx3得: 0323m3， 解得m2， yx22x3(x1)24. 顶点坐标为(1，4) (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PAPC的值最小时， 求点P的坐标 如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PAPC的值最小 设直线BC的函数解析式为ykxb， C(0，3)，B(3，0)， 033kbb
11、，13.kb ， 解得 直线BC的函数解析式为yx3.当x1时，y132， 当PAPC的值最小时，点P的坐标为(1，2) y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 图象 极值 性质 顶点坐标 二次函数y=ax2+bx+c的图象不性质： yax2bxc(a0) yax2bxc(a0) (1)开口方向 向上 向下 (2)顶点坐标 (3)对称轴 直线x 直线x (4)增减性 当x 时，y随x的增大而减小； 当x 时， y随x的增大而增大 当x 时，y随x的增大而增大； 当x 时，y随x的增大而减小 (5)最值 当x 时，y有最小值，为 当x 时，y有最大值，为 24,24bacbaa 24,24bacbaa 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 244acba 244acba