1、第2讲：绝对值模块一 绝对值的定义定 义示例剖析1绝对值的几何意义：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作2绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号绝对值具有非负性，即取绝对值的结果总是正数或0任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是，3绝对值的性质： 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质； ； 若，则；若，则； ；若，则或非负数性质：如果若干个非负数之和为0，那么其中的每一个非负
2、数都为0例如：若，则，4 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小总结：有理数大小的比较夯实基础【例1】 ； 绝对值不大于3的整数有 绝对值大于2而小于5的负整数是 下列说法正确的是 （ ）A. 符号相反的数互为相反数B. 任何有理数都有倒数C. 最小的自然数是1D. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 的绝对值为 ，的相反数为 ，的倒数为 ，的负倒数为 若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值.【解析】 ；，； ，； D； ，； 3能力提升【例2】 已知、为有理数，且，则、的大小关系是（ ） A BC D ，则_；，则_ 若与互为相反数，则的值为（ ）A8
3、B C D7方程 的解的个数是（ ）A1 B2 C3 D无穷多(5) 求出所有满足条件的非负整数对.(6) 设、同时满足；那么 （北京一零一中学期中）【解析】 它本身，它的相反数，0； 经分析则、在数轴上表示如图所示：数轴上右边的数总比左边的数打，所以，选C； ，要使，当且仅当且，有，则；变形，根据绝对值的非负性，有， B D(5) 根据题意和两个代数式的值只能在与中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对.(6) 因为，而完全平方式非负，所以，且非负又因为，所以，观察可知，所以【例3】 已知数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 如图，根据数轴上给出的、的条件，试说明的值与无关
4、.【解析】 ；.【例4】 已知，试求的值； 已知与互为相反数，求【解析】 易得，；则原式 因为与互为相反数，所以，从而得到所以原式等于【例5】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【解析】 设甲数为x，乙数为y由题意得：， (1) 数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，则4y=8，所以y=2，若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则=8，所以，x=6(2) 数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x0，y0，y0，则2y=8
5、，所以y=4，x=12模块二 绝对值代数意义的应用【例6】 若，则 【解析】因为，所以，原式【例7】 化简： ； ； 【解析】 零点分段讨论法一般步骤：求零点；分区间；定性质；去符号 当时，则；当时，则， 当时，则；当时，则 先找零点，令，则，零点可以将数轴分成三段：若，则，； 若，则，；若，则，【拓展】【解析】 当时，则当时，则当时，则当时，则以上各题先求零点【例8】 已知是非零有理数，且，求的值【解析】因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负或者一负二正，分两种情况讨论：如果是一正二负，不妨设，则原式；如果是一负二正，不妨设，则原式；可知原式的值为0【拓展】已知，且都不等于，求的所有可能值
6、【答案】或或探索创新【例9】 如果为互不相等的有理数，且，那么等于（ ）A1 B2 C3 D4【解析】 已知，可设，由于，所以与必互为相反数(否则，不合题意)，即.又因为，所以.由于，所以与必相等(否则，不合题意)，即，从而得.因为，所以.因此有.所以.若设，同理可得.答案为C.【例10】 将1，2，3100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a，另一个数记为b，代入代数式中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值【解析】 先分类讨论去绝对值符号：所以，当50组中的较小的数恰好是1到50时，这50个值的和最小，最小值为 实战演练知识模块一
7、 绝对值的定义 课后演练【演练1】 a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数，则 （人大附中期中） 若，则= （东城区期末） 已知，则的值为（ ） A； B；+7 C7D（人大附中期中） 已知，且，则 【解析】 4或0； 0或6； A ； 3或13【演练2】 若，则；【解析】 ，知识模块二 绝对值代数意义的应用 课后演练【演练3】 化简：化简代数式【解析】 原式当时，原式；当时，原式；当时，原式所以综上讨论，原式【演练4】 若，求的值【解析】法1：，则原式法2：由，可得，则原式点评：解法二的这种思维方法叫做构造法这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用 【演练5】 设为非零实数，且，化简【解析】 ，；，；，所以可以得到，； 【演练6】 有理数，满足，求的值【解析】 2或