初一数学暑假班第2讲:绝对值(含答案)

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1、第2讲:绝对值模块一 绝对值的定义定 义示例剖析1绝对值的几何意义:在数轴上,一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作2绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0注意:取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号绝对值具有非负性,即取绝对值的结果总是正数或0任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:符号是负号,绝对值是,3绝对值的性质: 绝对值的非负性,可以用下式表示:,这是绝对值非常重要的性质; ; 若,则;若,则; ;若,则或非负数性质:如果若干个非负数之和为0,那么其中的每一个非负

2、数都为0例如:若,则,4 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小总结:有理数大小的比较夯实基础【例1】 ; 绝对值不大于3的整数有 绝对值大于2而小于5的负整数是 下列说法正确的是 ( )A. 符号相反的数互为相反数B. 任何有理数都有倒数C. 最小的自然数是1D. 一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远 的绝对值为 ,的相反数为 ,的倒数为 ,的负倒数为 若,和互为倒数,的绝对值为,求代数式的值.【解析】 ;,; ,; D; ,; 3能力提升【例2】 已知、为有理数,且,则、的大小关系是( ) A BC D ,则_;,则_ 若与互为相反数,则的值为( )A8

3、B C D7方程 的解的个数是( )A1 B2 C3 D无穷多(5) 求出所有满足条件的非负整数对.(6) 设、同时满足;那么 (北京一零一中学期中)【解析】 它本身,它的相反数,0; 经分析则、在数轴上表示如图所示:数轴上右边的数总比左边的数打,所以,选C; ,要使,当且仅当且,有,则;变形,根据绝对值的非负性,有, B D(5) 根据题意和两个代数式的值只能在与中取,用逐一列举的方法,求得满足条件的非负整数对有三对.(6) 因为,而完全平方式非负,所以,且非负又因为,所以,观察可知,所以【例3】 已知数、在数轴上的位置如图所示,化简的结果是 如图,根据数轴上给出的、的条件,试说明的值与无关

4、.【解析】 ;.【例4】 已知,试求的值; 已知与互为相反数,求【解析】 易得,;则原式 因为与互为相反数,所以,从而得到所以原式等于【例5】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?【解析】 设甲数为x,乙数为y由题意得:, (1) 数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若x在原点左侧,y在原点右侧,即 x0,则4y=8,所以y=2,若x在原点右侧,y在原点左侧,即 x0,y0,则=8,所以,x=6(2) 数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若x、y在原点左侧,即 x0,y0,y0,则2y=8

5、,所以y=4,x=12模块二 绝对值代数意义的应用【例6】 若,则 【解析】因为,所以,原式【例7】 化简: ; ; 【解析】 零点分段讨论法一般步骤:求零点;分区间;定性质;去符号 当时,则;当时,则, 当时,则;当时,则 先找零点,令,则,零点可以将数轴分成三段:若,则,; 若,则,;若,则,【拓展】【解析】 当时,则当时,则当时,则当时,则以上各题先求零点【例8】 已知是非零有理数,且,求的值【解析】因为是非零有理数,且,所以中必有一正二负或者一负二正,分两种情况讨论:如果是一正二负,不妨设,则原式;如果是一负二正,不妨设,则原式;可知原式的值为0【拓展】已知,且都不等于,求的所有可能值

6、【答案】或或探索创新【例9】 如果为互不相等的有理数,且,那么等于( )A1 B2 C3 D4【解析】 已知,可设,由于,所以与必互为相反数(否则,不合题意),即.又因为,所以.由于,所以与必相等(否则,不合题意),即,从而得.因为,所以.因此有.所以.若设,同理可得.答案为C.【例10】 将1,2,3100,这100个自然数任意分成50组,每组两个数,将其中一个数记为a,另一个数记为b,代入代数式中计算,求出其结果,50组都代入后可得50个值,求这50个值的和的最小值【解析】 先分类讨论去绝对值符号:所以,当50组中的较小的数恰好是1到50时,这50个值的和最小,最小值为 实战演练知识模块一

7、 绝对值的定义 课后演练【演练1】 a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,d是绝对值等于2的数,则 (人大附中期中) 若,则= (东城区期末) 已知,则的值为( ) A; B;+7 C7D(人大附中期中) 已知,且,则 【解析】 4或0; 0或6; A ; 3或13【演练2】 若,则;【解析】 ,知识模块二 绝对值代数意义的应用 课后演练【演练3】 化简:化简代数式【解析】 原式当时,原式;当时,原式;当时,原式所以综上讨论,原式【演练4】 若,求的值【解析】法1:,则原式法2:由,可得,则原式点评:解法二的这种思维方法叫做构造法这种方法对于显示题目中的关系,简化解题步骤有着重要作用 【演练5】 设为非零实数,且,化简【解析】 ,;,;,所以可以得到,; 【演练6】 有理数,满足,求的值【解析】 2或

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