1、2022年辽宁省沈阳市浑南区中考一模数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1. -3的相反数是（ ）A B. -3C. 3D. 2. 右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 3. 2021年5月11日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数据增加了7206万人将数据7206万用科学记数法表示（ ）A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确是( )A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向
2、左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）A. -5B. 5C. -6D. 67. 下列说法正确的是（ ）A. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，则甲的射击成绩较稳定C. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨D. 了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式8. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差9. 如图，在平
3、面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，点在上，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分）11. 因式分解=_12. 不等式组的解集是_13. 化简结果是_14. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为_15. 某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游
4、泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人当每日销售收入最大时，票价下调_元16. 在平面直角坐标系中，A点坐标为，直线交x轴于点B，交y轴于点C，第一象限内有一动点P，且满足，则周长的最小值为_三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17. 计算：18. 在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个现从中任意摸出一个小球是白球的概率是（1）袋子中黄色小球有_个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率
5、19. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长四、（每小题8分，共16分）20. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；（2）将图补充完整；（3）求出图中C级所占的圆心
6、角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？21 甲乙两人制作某种机械零件已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？五、（本题10分）22. 如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点E（1）求证：BDC=A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的长六、（本题10分）23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，直线经过点A和点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线相交于点P（1）求直
7、线的表达式和点P的坐标；（2）正方形EFGH的边EF与线段AO重合，点G在x轴的正半轴上，将正方形EFGH沿射线AB的方向平移，边EH始终与x轴平行已知正方形EFGH以每秒5个单位的速度匀速移动（点E移动到点B时停止移动），设移动时间为t秒；正方形EFGH在移动过程中，当点F落在直线上时，请求出此时t的值；正方形EFGH在移动过程中，设正方形EFGH与重合部分的面积为S，当时，请直接写出此时t的值七、（本题12分）24. 如图1，在中，于点O，在的外部以AB为边作等边，点E是线段AO所在直线上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕点B顺时针方向旋转60得到线段BF，连接EF（1）求AO的长；
8、（2）如图2，当点E在线段AO上，且点F，E，C三点在同一条直线上时，求BF的长；（3）连接DF，若的面积为3，请直接写出BF的长八、（本题12分）25. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点E是x轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CE的垂线，垂足分别为M，N，连接MD，ND（1）求抛物线的解析式；（2）延长MD交于BN点F，求证：；求证：；（3）当为等边三角形时，请直接写出直线CE与抛物线对称轴交点坐标2022年辽宁省沈阳市浑南区中考一模数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题
9、2分，共20分）1. -3的相反数是（ ）A. B. -3C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】根据相的定义求解即可【详解】解：-3的相反数是3，故选：C【点睛】本题考查相反数，只有符号不同的两个数叫互为相反相成数，特别地，零售的相反数是零2. 右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B3. 2021年5月11日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数据增加了7206万人将数据7206万用科学记数法表示（ ）A. B. C. D. 【答案
10、】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法进行改写即可【详解】解：7206万，故选：C【点睛】本题考查了科学记数法表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a的值是解题的关键4. 下列计算中，正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同类项定义可判断A，根据幂的乘方法则可判断B，根据同底数幂乘法法则可判断C，根据同底数幂的除法法则可判断D【详解】A. 故选项A不正确； B. ，故选项B不正确 C. ，故选项C不正确 D，故选项D正确故选D【点睛】本题考查同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法是
11、解题关键5. 如图，在中，平分，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质得到ABC=BCD，再根据角平分线的定义得到ABC=BCD，再利用三角形外角的性质计算即可【详解】解：ABCD，ABC=BCD，CB平分DCE，BCE=BCD，BCE=ABC，AEC=BCE+ABC=40，ABC=20，故选B【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）A. -5B. 5C. -6D. 6【答案
12、】A【解析】【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值【详解】解：将一次函数图象向左平移3个单位后得到的解析式为：，化简得：，平移后得到的是正比例函数的图像，解得：，故选：A【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键7. 下列说法正确的是（ ）A. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，则甲的射击成绩较稳定C. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨D. 了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式【答案】B【解析】【
13、分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断【详解】解： A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确；C、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，此选项错误；D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；故选B【点睛】本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键8. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知
14、道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B【解析】【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数所以需知道这19位同学成绩的中位数【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以故选B【点睛】本题考查中位数的意义理解题意，掌握中位数的意义是解题关键9. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两
15、弧在第二象限交于点P若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标互为相反数，则P点横纵坐标的和为0，即2a+ b+1 = 0，整理得：2a+b =-1，故选：A【点睛】本题主要考查了每个象限内点坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点：横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值1
16、0. 如图，点在上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案【详解】解： 点在上， 故选：【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键二、填空题（每小题3分，共18分）11. 因式分解=_【答案】【解析】【详解】解：=，故答案为12. 不等式组的解集是_【答案】【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案【详解】解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集是，故答案为：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解
17、集是解题关键13. 化简的结果是_【答案】【解析】【分析】根据运算顺序，先对括号里进行通分，给1的分子分母都乘以a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只把分子相减，进而根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把a2-1分解因式，约分即可得到化简结果【详解】解：原式=故答案为【点睛】此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题注意运算的结果必须是最简分式14. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为_【答案】1【解析】【详解】PAx轴于点A，交C2于点B，SPOA=4=2，SB
18、OA=2=1，SPOB=SPOASBOA =21=115. 某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人当每日销售收入最大时，票价下调_元【答案】6【解析】【分析】设总利润为y元，根据“总利润=每件商品的利润销售量”列出函数关系式，转化为顶点式就可以求出结论【详解】解：总利润为y元，票价下调x元，根据题意得 = ，抛物线开口向下，当x=6时，函数胡最大值 当每日销售收入最大时，票价下调6元故答案为6【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际
19、应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题16. 在平面直角坐标系中，A点坐标为，直线交x轴于点B，交y轴于点C，第一象限内有一动点P，且满足，则周长的最小值为_【答案】#【解析】【分析】根据题意作出图形，利用PA=PC+2，将求PAB的周长最小值的问题转化为求PB+PC+7的最小值，当P、B、C三点共线时，PB+PC+7即有最小值，问题即可得解【详解】如图，交x轴于点B，交y轴于点C，令y=0得x=4，即B点坐标为(4，0)，则有OB=4，令x=0得y=8，即C点坐标为(0，8)，则有OC=8，A点坐标为(0，3)，OA=3在RtAOB中，利用勾股定理可得：AB=5，在RtCOB中，利用
20、勾股定理可得：，PAB的周长为：M=PA+PB+AB=PA+PB+5，又PA=PC+2，M=PA+PB+5=PC+2+PB+5=PB+PC+7，显然当P、B、C三点共线时，M有最小值，即此时P点在直线上，此时有PB+PC=BC，PAB的周长M的最小值为M=PB+PC+7=BC+7=7+，故答案为：7+【点睛】本题考查了求一次函数与x、y轴的交点、勾股定理等知识，将求PAB的周长的最小值转化为求PB+PC+7的最小值是解答本题的关键三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17. 计算：【答案】0【解析】【分析】根据零指数幂,绝对值的化简,负整数指数幂,特殊角的函数值计算即可
21、【详解】=1+3=0.【点睛】本题考查了零指数幂 ,负整数指数幂,特殊角的函数值,二次根式的化简,绝对值的化简,熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键18. 在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个现从中任意摸出一个小球是白球的概率是（1）袋子中黄色小球有_个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率【答案】（1）1（2）【解析】【详解】(1) 1(2)解法一：用树状图分析如下解法二：用列表法分析如下：白1白2黄蓝白1白2、白1黄、白1蓝、白1白2白1、白2
22、黄、白2蓝、白2黄白1、黄白2、黄蓝、黄蓝白1、蓝白2、蓝黄、蓝P(两次都摸到白球)=.19. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长【答案】（1）证明见试题解析；（2）25【解析】【详解】试题分析：（1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长试
23、题解析：（1）四边形ABCD为矩形，AB=CD，ABCD，DE=BF，AF=CE，AFCE，四边形AFCE是平行四边形；（2）四边形AFCE是菱形，AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8-x，则=8-x，解得：x=，则菱形的边长为：8-=，周长为：4=25，故菱形AFCE的周长为25考点：1.矩形的性质;2.菱形的性质.四、（每小题8分，共16分）20. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图和
24、图的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；（2）将图补充完整；（3）求出图中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？【答案】（1）200；（2）详见解析；（3）；（4）大约有17000名【解析】【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：学习态度层级为A级的有50人，占部分八年级学生的25%，即可求得总人数；（2）由（1）可知：C级人数为：200-120-50=30人，将图1补充完整即可；（3）各个扇形的圆心角的度数=360该部分占总体的百分
25、比，所以可以先求出：360（1-25%-60%）=54；（4）从扇形统计图可知，达标人数占得百分比为：25%+60%=85%，再估计该市近20000名初中生中达标的学习态度就很容易了【详解】（1）5025%=200； （2）（人）如图， （3）C所占圆心角度数 （4） 估计该市初中生中大约有17000名学生学习态度达标【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21. 甲乙两人制作某种机械零件已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个
26、所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】24和21个【解析】【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3）个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；【详解】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3）个零件，由题意得：解得x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24答：甲乙两人每小时各做24和21个零件五、（本题10分）22. 如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点E（1）求证：BDC=A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的长【答案】（1）证明过程见解析；（2）6.【解
27、析】【详解】试题分析：（1）连接OD，由CD是O切线，得到ODC=90，根据AB为O的直径，得到ADB=90，等量代换得到BDC=ADO，根据等腰直角三角形的性质得到ADO=A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到E=ADB=90，根据平行线的性质得到DCE=BDC，根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论试题解析：（1）连接OD， CD是O切线， ODC=90， 即ODB+BDC=90，AB为O的直径， ADB=90， 即ODB+ADO=90， BDC=ADO，OA=OD， ADO=A， BDC=A；（2）CEAE， E=ADB=90， DBEC， DCE=BDC， BDC=A， A=
28、DCE，E=E， AECCED， ， EC2=DEAE， 16=2（2+AD）， AD=6考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质六、（本题10分）23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，直线经过点A和点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线相交于点P（1）求直线的表达式和点P的坐标；（2）正方形EFGH的边EF与线段AO重合，点G在x轴的正半轴上，将正方形EFGH沿射线AB的方向平移，边EH始终与x轴平行已知正方形EFGH以每秒5个单位的速度匀速移动（点E移动到点B时停止移动），设移动时间为t秒；正方形EFGH在移动过程中，当点F落在直线上时，请
29、求出此时t的值；正方形EFGH在移动过程中，设正方形EFGH与重合部分的面积为S，当时，请直接写出此时t的值【答案】（1）， （2），或者【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出l1的解析式，在将其与l2的解析式联立，即可求出P点坐标；（2）依据题意设F点的坐标为(m,m-13)，即可得到E点的坐标，将E点坐标代入l1：即可求出，则有F点的坐标和E点的坐标，过E点作EMx轴于M点，即可求出ME，AM，在RtAME中，利用勾股定理可求出，则t值可求；过P点作PNBC于N点，根据C点坐标，B点坐标，P点坐标即可求出，BC、PN、ON、CN、BN，则可求PNC的面积，根据正方形EFGH与PBC重
30、合部分的面积为S=4.5，便开始分类讨论，第一种情况：PN与正方形边长HG重合时，过E点作EMx轴于M点，依据HG与PN重合，便可求出ME，则有AM，在RtAME中，利用勾股定理得，即此时t可求；第二种情况：正方形边长OA越过PN，即点A在线段PB上时，EF、CB相交于点R，根据平移可知EFBC，结合PNBC，可求得，依据正方形EFGH与PBC重合部分的部分为ERB，且面积为4.5，则可求出BR，即有ER，在RtERB中，利用勾股定理得，在RtAOB中，利用勾股定理求出，则可求出AE，即此时t可求【小问1详解】设l1的解析式为：，A点坐标为：(0,15)、B点坐标为(20,0)，OA=15，O
31、B=20，将A、B两点的坐标代入l1的解析式为，得：，解得：，则l1的解析式为：，联立l1、l2的解析式，得：，解得：，则P点坐标为：(16,3)；【小问2详解】C、D是直线l2：分别与x、y轴的交点，令y=0，得x=13，则C点坐标为：(13,0)，令x=0，得y=-13，则D点坐标为：(0,-13)，根据题意可知正方形的边长为：EF=FG=GH=EH=OA=15，根据正方形EFGH的移动特点可知E点的移动轨迹为线段AB，则可知E点始终在直线l1上，当F点落在直线l2：上时，设F点的坐标为(m,m-13)，E点的横坐标与F点相同，且EF=OA=15，则E点的坐标为(m,m-13+15)，即为
32、：(m,m+2)，将E点坐标代入l1：，得：，解得，则F点的坐标为、E点的坐标为，如图，过E点作EMx轴于M点，则有ME=，AM=OA-MO=15-=，在RtAME中，利用勾股定理得，又AE=5t，即；过P点作PNBC于N点，如图，根据C点坐标(13,0)，B点坐标为(20,0)，P点坐标(16,3)，可知BC=20-13=7，PN=3，ON=16，CN=16-13=3，BN=20-16=4，则PNC的面积为，又正方形EFGH与PBC重合部分的面积为S=4.5，此时应分两种情况讨论，即第一种情况：PN与正方形边长HG重合时，第二种情况正方形边长OA越过PN，即点A在线段PB上时，第一种情况：P
33、N与正方形边长HG重合时，过E点作EMx轴于M点，如图，HG与PN重合，H点的横坐标与P点横坐标相等为16，根据正方形的性质，可知此时E点的横坐标为16-15=1，即ME=1，将x=1代入l1：，得y=，即OM=，AM=OA-MO=，在RtAME中，利用勾股定理得，又AE=5t，即此时；第二种情况：正方形边长OA越过PN，即点A在线段PB上时，EF、CB相交于点R，如图左图，细节图见右图，根据平移可知EFBC，PNBC， ， ，即，正方形EFGH与PBC重合部分的部分为ERB，又，解得BR=，（负值舍去），则ER=，在RtERB中，利用勾股定理得，在RtAOB中，利用勾股定理得，则AE=AB-
34、BE=，又AE=5t，即此时；综上所述t的值为：或者【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、二元一次方程的应用、勾股定理、正方形的性质、平移的性质、解二元一次方程等知识本题要注重数形结合、分类讨论的思想根据平移特征的描述确定正方形顶点E点的运动轨迹为线段AB是解答本题的关键七、（本题12分）24. 如图1，在中，于点O，在的外部以AB为边作等边，点E是线段AO所在直线上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕点B顺时针方向旋转60得到线段BF，连接EF（1）求AO的长；（2）如图2，当点E在线段AO上，且点F，E，C三点在同一条直线上时，求BF的长；（3）连接DF，若的
35、面积为3，请直接写出BF的长【答案】（1）4 （2） （3）或【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及勾股定理即可求解；（2）先证明是等边三角形，即可得到，再根据题意得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质定理可得，可得，再解直角三角形即可求解；（3）分类讨论当点E在线段AO上时，当点E在线段OA延长线上时，当点E在线段AO延长线上时，先由等边三角形的性质及全等三角形的判定证明，可得其面积相等，根据是三角形的面积公式求出，即可得出OE长，再由勾股定理求解即可【小问1详解】，【小问2详解】将线段BE绕点B顺时针方向旋转60得到线段BF是等边三角形，是线段的垂直平分线【小问3详解】当点E在线
36、段AO上时，将线段BE绕点B顺时针方向旋转60得到线段BF是等边三角形为等边三角形的面积为3在中，由勾股定理得当点E在线段OA延长线上时，同可得在中，由勾股定理得当点E在线段AO延长线上时，同可得，不合题意，舍去综上，BF的长为或【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的关键八、（本题12分）25. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点E是x轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CE的垂线，垂足分别为M，N，连接
37、MD，ND（1）求抛物线的解析式；（2）延长MD交于BN点F，求证：；求证：；（3）当为等边三角形时，请直接写出直线CE与抛物线对称轴交点坐标【答案】（1）； （2）见解析；见解析； （3）【解析】【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入到抛物线解析式即可；（2）通过可得，然后通过平行可以得到对应的角相等，再加上已知条件即可证得全等；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论；（3）通过可得四点共圆，进而可以得到，然后通过正弦函数即可求出交点的坐标【小问1详解】解：将，代入到中，得，记得，抛物线的解析式为：；【小问2详解】如图：D在抛物线的对称轴上，（垂直于同一条直线的两条直线平行），（两直线平行，内错角相等），又（对顶角相等），；由得，在RtMFN中，D为斜边MF的中点，；【小问3详解】过点D作x轴垂线交CE于点R，连接AR，如图所示：当DMN为等边三角形时，轴，A、M、D、R四点共圆（圆内接四边形对角互补），又RMD与RAD都是弦RD所对的圆周角，在RtRDA中，D在对称轴上，又点R在x轴的下方，即直线CE与抛物线对称轴的交点坐标【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定等，其中第（3）问中，得到A、M、D、R四点共圆是解题的关键