1、2022年中考数学复习专题8：轨迹方程问题【一】定义法定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 1.例题【例1】已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【例2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有 当与相
2、切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。【例3】已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P
3、的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。【解析】设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。.动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为【练习2】一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（ ）A. 抛物线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线一支【解析】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。【练习3】已知A
4、BC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且acb，a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=42,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2, 椭圆方程为, 又ab, 点C在y轴左侧，必有x0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x2, 因此点C的轨迹方程是：(2x)答案：【练习2】已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点P(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 .【解析】又弦中点在已知抛物线内P，即y22x，即x+22答案：y2=x+2(x2)阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿
5、基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图，点为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证明：设以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则又设，则由得:， 两边平方并化简整理得:， 当时，轨迹为线段的垂直平分线；当时，轨迹为以点为圆心，以长为半径的圆 1.例题【例1】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且（）圆的标准方程为 ；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列
6、三个结论：；其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【解析】（）易知半径，所以圆的方程为；（）方法一：因为圆心， 又因为，且为中点，所以因为 在圆 上，可设， 所以：所以：,同理：，所以：，正确；, 正确，正确所以：、正确方法一可以改进为：设为圆C上任意一点，则有：，正确；同理，正确；，正确.这里的第（）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（）问有难度.这是因为当圆的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. 方法二:如上图
7、所示, 在（）的基础上易得，于是，所以，所以，所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为的阿波罗尼斯圆,故：，正确, 正确，正确因此： ，3个结论都成立.方法三：先引进一个概念-圆的反演点：己知圆的半径为，从圆心出发任作一射线，在射线上任取两点，,且，则称，是关于圆的反演点。圆的反演点也可由以下几何方法获得，若在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是的反演点；若在圆内，则连接，过点作的垂线与圆交点处的两切线的交点即为的反演点.在（）的基础上易得：，则有，则点，是圆的一对反演点，取圆上一点，则有, 所以圆是以，为反演点，比例系数为的阿波罗尼斯圆.即对圆上任一点，均有，故有：，正确, 正确，
8、正确.2.巩固提升综合练习【练习1】若，则的最大值为 【解析】解法一： 利用余弦定理和函数的最值问题处理设，所以：， 则：，所以：当时，的最大值为.该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高.解法二： 建立平面直角坐标系处理最值问题以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，由得，整理得：，则，所以的最大值是解法三： 利用阿波罗尼斯圆显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图的直角坐标系，则，因为，得的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得方程：，设圆心为,，显然当轴时，面积最大，此时. 评注：既然存在，说明其轨迹不包括与轴的两个交点，现在问：，这两点究竟有什么性质？由于，为的内角平分
9、线；同理，为的外角平分线.这就是说，分别是线段的内分点和外分点，而正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”因此该题又有如下的简洁解法：因为动点 到定点距离之比为, 则有 ，解得：或，所以为内分点，为外分点，圆半径，即为三角形高的最大值，即高的最大值是，故的面积的最大值是.课后自我检测1在中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_.【解析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为2两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解析】直接消去参数即得(交轨法):3已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O
10、作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .【解析】令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 .【解析】把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得：故所求动点的轨迹方程为。5点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为 .【解析】点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距
11、离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。6求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_【分析】设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解析】设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。【分析】抛物线的焦点为。设ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。其中【解析】因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（8已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程
12、。【解析】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。（1）当x3时，方程变为，化简得。（2）当x3时，方程变为，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或9过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。10 已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.【解析】如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系 CByxOA由题意，构成等差数列，即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，故的轨迹方程为.11已知点到两定点、距离的比为，点到直线的距离为1，求直线的方程.【解析】设的坐标为，由题意有，即，整理得因为点到的距离为1，所以，直线的斜率为，直线的方程为将代入整理得解得，则点坐标为或或，直线的方程为或