ImageVerifierCode 换一换
格式:DOCX , 页数:31 ,大小:1.30MB ,
资源ID:209331      下载积分:30 金币
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝    微信支付   
验证码:   换一换

加入VIP,更优惠
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.77wenku.com/d-209331.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录   QQ登录   微博登录 

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(2022年中考数学复习专题2:数列求通项问题(含答案解析))为本站会员(狼****)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2022年中考数学复习专题2:数列求通项问题(含答案解析)

1、2022年中考数学复习专题2:数列求通项问题【一】归纳法求通项通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式,关键是依托基本数列如等差数列、等比数列,寻找an与n,an与an1的联系.1.例题【例1】由数列的前n项,写出通项公式:(1)3,5,3,5,3,5,(2),(3)2,(4),【解析】(1)这个数列前6项构成一个摆动数列,奇数项为3,偶数项为5.所以它的一个通项公式为an4(1)n.(2)数列中的项以分数形式出现,分子为项数,分母比分子大1,所以它的一个通项公式为an.(3)数列可化为11,2,3,4,5,所以它的一个通项公式为ann.(4)数列可化为,所以它的一个通项公式为an.【例2】已

2、知数列:,按照从小到大的顺序排列在一起,构成一个新的数列:首次出现时为数列的( )A第44项B第76项C第128项D第144项【解析】观察分子分母的和出现的规律:,把数列重新分组:,可看出第一次出现在第16组,因为,所以前15组一共有120项;第16组的项为,所以是这一组中的第8项,故第一次出现在数列的第128项,故选C.2. 巩固提升综合练习【练习1】由数列的前几项,写出通项公式:(1)1,7,13,19,25,(2),(3)1,【解析】(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项,6为公差的等差数列,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5).(2)数列化为,分

3、子,分母分别构成等差数列,所以它的一个通项公式为an.(3)数列化为,所以数列的一个通项公式为an(1)n1.【练习2】如图是一个三角形数阵,满足第行首尾两数均为,表示第行第个数,则的值为_【答案】4951【解析】设第n行的第2个数为an,由图可知,a2=2=1+1,a3=4=1+2+1,a4=7=1+2+3+1,a5=11=1+2+3+4+1归纳可得an=1+2+3+4+(n-1)+1=+1,故第100行第2个数为:,故答案为4951【二】公式法求通项等差数列:等比数列:1.例题【例1】 数列满足,则( )A B C D【解析】,数列是等差数列,首项为,公差为1,故选:C【例2】已知数列an

4、满足a14,an4(n1),记bn求证:数列bn是等差数列,并求【解析】bn1bn.又b1,数列bn是首项为,公差为的等差数列,故,即2.巩固提升综合练习【练习1】已知各项都为正数的数列an满足a11,a(2an11)an2an10(1)求a2,a3;(2)证明数列an为等比数列,并求【解析】(1)由题意可得a2,a3.(2)由a(2an11)an2an10,得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数,所以.故an是首项为1,公比为的等比数列。所以【练习2】已知数列和满足求证:是等比数列,是等差数列;求数列和的通项公式【解析】证明:是首项为,公比为的等比数列,是首项为,公差为的

5、等差数列.由知, 【三】累加法求通项型如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用累加法,步骤如下:第一步将递推公式写成an1anf(n);第二步依次写出anan1,a2a1,并将它们累加起来;第三步得到ana1的值,解出an;第四步检验a1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.累乘法类似.1.例题 【例1】在数列中,则( )ABCD【解析】在数列an中,a12,an+1anana1+(a2a1)+(a3a2)+(anan1)2+ln2+ 2+lnn,故2+ln10故选:A【例2】对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙

6、积术”,就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第层货物的个数为,则数列的通项公式_,数列的前项和_. 【解析】由题意可知,累加可得,.故答案为:;.2.巩固提升综合练习【练习1】在数列中,则数列的通项 _.【解析】当时,当也适用,所以.【练习2】已知数列是首项为,公差为1的等差数列,数列满足(),且,则数列的最大值为_【解析】根据题意,数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,则 , ,对于数列 满足 ,则有,数列的通项为: ,分析可得:当 时,数列取得最大值,此时 ;故答案为:【练习3】两千多年前,古希

7、腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作,第2个五角形数记作,第3个五角形数记作,第4个五角形数记作,若按此规律继续下去,得数列,则;对,【解析】因为,所以以上n个式子相加,得。【四】累积法求通项型如的递推公式求通项可以使用累积法1.例题 【例1】已知数列an满足a1,an1an,求an.【解析】由条件知,分别令n1,2,3,n1,代入上式得(n1)个等式累乘之,即,又a1,an.2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列an中,a11

8、,an12nan(nN*),则数列an的通项公式为() A.an2n1 B.an2n C. D.【解析】由an12nan,得2n,即2122232n1,即2123(n1),故ana1.故选C.【五】Sn法(项与和互化求通项)已知Snf(an)或Snf(n)解题步骤:第一步利用Sn满足条件p,写出当n2时,Sn1的表达式;第二步利用anSnSn1(n2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步若求出n2时的an的通项公式,则根据a1S1求出a1,并代入an的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.如果求出的是an的递推公式,则问题化归为类型二.1.例题 【例1】已知数

9、列的前n项和,且,则 .【解析】因为,所以,所以,当时,不符合上式,所以【例2】设数列的前项和,若,则的通项公式为_【解析】时,化为:时,解得不满足上式数列在时成等比数列时,故答案为: 【例3】设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则Sn_.【答案】.【解析】试题分析:因为,所以,所以,即,又,即,所以数列是首项和公差都为的等差数列,所以,所以2.巩固提升综合练习【练习1】在数列an中,a11,a12a23a3nanan1(nN*),求数列an的通项an.【解析】由a12a23a3nanan1,得当n2时,a12a23a3(n1)an1an,两式作差得nanan1an,得(n

10、1)an13nan(n2),即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列,且a11,a21,于是2a22,故当n2时,nan23n2.于是an【练习2】记数列的前项和为,若,则数列的通项公式为_.【解析】当时,解得;当时,两式相减可得,故,设,故,即,故.故数列是以为首项,为公比的等比数列,故,故.故答案为:【练习3】已知数列an是递增的等比数列,且a1a49,a2a38.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由题设可知a1a4a2a38,又a1a49,可解得或(舍去).由a4a1q3得公比q2,故ana1qn12n1.(2)

11、Sn2n1,又bn,所以Tnb1b2bn1.【练习4】设数列满足(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和【解析】(1)由n1得,因为,当n2时,由两式作商得:(n1且nN*),又因为符合上式,所以(nN*)(2)设,则bnnn2n,所以Snb1b2bn(12n)设Tn2222323+(n1)2n1n2n,所以2Tn22223(n2)2n1(n1)2nn2n1,得:Tn222232nn2n1,所以Tn(n1)2n12所以,即【练习5】已知数列的前项和为,(1)求证:数列是等差数列;(2)若,设数列的前项和为,求.【解析】(1)证明:因为当时,所以 所以,因为,所以,所以, 所以 所以是以为首项,

12、以1为公差的等差数列 (2)由(1)可得,所以. 【六】构造法求通项1.型如an1panq(其中p,q为常数,且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步假设将递推公式改写为an1tp(ant);第二步由待定系数法,解得t;第三步写出数列的通项公式;第四步写出数列an通项公式.2.an1panf(n)型【参考思考思路】确定设数列列关系式比较系数求,解得数列的通项公式解得数列的通项公式1.例题【例1】已知数列an中,a11,an12an3,求an.【解析】递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant),即an12ant,则t3.故递推公式为an132(an3).令bnan

13、3,则b1a134,且2.所以bn是以4为首项,2为公比的等比数列.所以bn42n12n1,即an2n13.【例2】已知数列an满足an12ann,a12,求数列an的通项公式.【解析】令,即解得,所以数列以为首项,公比为2的等比数列。,即【例3】已知数列an满足an12an35n,a16,求数列an的通项公式.【解析】法一:设an1x5n12(anx5n),将an12an35n代入式,得2an35nx5n12an2x5n,等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n,得35x2x,则x1,代入式得an15n12(an5n).由a1516510及式得an5n0,则2,则数列an5

14、n是以1为首项,2为公比的等比数列,则an5n2n1,故an2n15n.法二:an12an35n,即,令,所以所以数列是以为首项,公比为的等比数列,故an2n15n.【例4】 已知数列满足:,则 ( )A B C D【解析】数列满足:, 是以为首项为公差的等差数列, 故答案为:B.2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列an满足an13an2,且a11,则an_.【解析】设an1A3(anA),化简得an13an2A.又an13an2,2A2,即A1.an113(an1),即3.数列an1是等比数列,首项为a112,公比为3.则an123n1,即an23n11.【练习2】已知数列an的首项为a1

15、1,且满足an1an,则此数列的通项公式an等于()A.2n B.n(n1) C. D.【解析】an1an,2n1an12nan2,即2n1an12nan2.又21a12,数列2nan是以2为首项,2为公差的等差数列,2nan2(n1)22n,an.【练习3】已知非零数列的递推公式为,.(1)求证数列是等比数列;(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值;(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列?若存在,请指出所满足的条件;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由,得,法一:即,法二:由上,所以是首项为2,公比为2的等比数列(2)由(1)可得:,所以已知的不等式等价于

16、令,则,所以单调递增,则,于是,即,故整数的最小值为4.(3)由上面得,则要使成等差数列,只需,即因为,则上式左端;又因为上式右端于是当且仅当,且为不小于4的偶数时,成等差数列【七】其他求通项方法1.例题【例1】 已知数列满足,则( )ABCD【解析】依题意,所以,所以数列是周期为的数列,且每项的积为,故,故选B.【例2】若数列an中,a13且an1a(n是正整数),则它的通项公式an为_.【解析】由题意知an0,将an1a两边取对数得lg an12lg an,即2,所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项,2为公比的等比数列,lg an(lg a1)2n1.即an.【例3】已知数列满足

17、递推关系:,则()ABCD【解析】由得:,即又,则,数列是以为首项,为公差的等差数列, ,本题正确选项:2.巩固提升综合练习【练习1】 已知数列an的前n项和是Sn,且满足an1(nN*),则S2 017( )【解析】an1(nN*),.数列an是周期为3的周期数列.a1a2a3.S2 017672.【练习2】 在数列中,已知,则_,归纳可知_【解析】,由,取倒数得 ,得,即数列是以公差的等差数列,首项为,则,即故答案为: (1). (2). 【八】特征根和不动点法求通项(自我提升)一、形如是常数)的数列 形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为 若有二异根,则可令是待定

18、常数) 若有二重根,则可令是待定常数) 再利用可求得,进而求得1.例题【例1】已知数列满足,求数列的通项【解析】其特征方程为,解得,令,由,得, 【例2】已知数列满足,求数列的通项【解析】其特征方程为,解得,令,由,得, 2.巩固提升综合练习【练习1】设为实数,是方程的两个实根,数列满足,()(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;(3)若,求的前项和【解析】(1)由求根公式,不妨设,得,(2)设,则,由得,消去,得,是方程的根,由题意可知,当时,此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列,由等比数列性质可得,两式相减,得,即,当时,即方程有重根,即,得,不妨设,由可知,即,等式两边同时除

19、以,得,即数列是以1为公差的等差数列,综上所述,(3)把,代入,得,解得二、形如的数列 对于数列,是常数且) 其特征方程为,变形为 若有二异根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值 这样数列是首项为,公比为的等比数列,于是这样可求得 若有二重根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值 这样数列是首项为,公差为的等差数列,于是这样可求得此方法又称不动点法1.例题【例3】已知数列满足,求数列的通项【解析】其特征方程为,化简得,解得,令 由得,可得,数列是以为首项,以为公比的等比数列,【例4】已知数列满足,求数列的通项【解析】其特征方程为,即,解得,令 由得,求得,数列是以为首项,以为公差

20、的等差数列,2.巩固提升综合练习【练习2】已知数列满足:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?【解析】作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)对于都有(2) 令,得.故数列从第5项开始都不存在, 当4,时,.(3) 令则对于(4)、显然当时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,时,数列是存在的,当时,则有令则得且2.当(其中且N2)时,数列从第项开始便不存在。于是知:当在集合或且2上取值时,无穷数列都不存在。【练习3】记(1)求b1、b2、b3、b4的值;(2)求数列的通项公式及数列的前n项和【解析】由已知,得,其特征方程为解

21、之得,或, 【练习4】各项均为正数的数列中,且对满足的正整数都有,当【解析】由得化间得,作特征方程,。所以 , , 课后自我检测1已知正项数列中,则数列的通项公式为( )ABCD【解析】由题意 ,又 ,所以 ,选B.2在数列1,0,中,0.08是它的第_项【答案】10【解析】令0.08,得2n225n500,即(2n5)(n10)0.解得n10或n (舍去)3在数列an中,a13,an1an,则通项公式an_.【解析】原递推公式可化为an1an,则a2a1,a3a2,a4a3,an1an2,anan1,逐项相加得ana11,故an4.4已知数列中,则该数列的通项_.【解析】,在等式两边同时除以

22、,得,,累加得:,故答案为:5已知数列中,则能使的的数值是( )A14 B15 C16 D17 【解析】由题意得,数列是周期为3的数列,所以6已知数列满足且(1)证明数列是等比数列;(2)设数列满足,求数列的通项公式【解析】(1),所以是首项为1公比为3的等比数列。(2)由(1)可知,所以因为,所以,所以7已知数列的前项和为,(1)求;(2)求证:【解析】(1),两式相减得, 又,满足上式(2)由(1)得 8已知f(x)logmx(m0且m1),设f(a1),f(a2),f(an),是首项为4,公差为2的等差数列,求证:数列an是等比数列,并求【解析】证明由题意知f(an)42(n1)2n2l

23、ogman,anm2n2,m2,m0且m1,m2为非零常数,数列an是等比数列.由,所以,所以9已知数列满足:,.(1)若存在常数,使得数列是等差数列,求的值;(2)设,证明:.【解析】(1),.由题意可得,则,解得.若,则由得,即得与矛盾,所以.所以,当时,数列是公差为的等差数列;(2)由(1)知,.设,两式相减得,.10已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和【解析】(1)令,当时,当时,当,满足.所以的通项公式为.(2)由(1)得,所以的前项和.11数列,各项均为正数,其前项和为,且满足.(1)求证数列为等差数列,并求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和

24、,并求使对所有的都成立的最大正整数的值.【解析】(1)证明:,当时,整理得,又,数列为首项和公差都是的等差数列.,又,时,又适合此式数列的通项公式为;(2)解: 依题意有,解得,故所求最大正整数的值为.12已知数列中,其前项的和为,且当时,满足(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:【解析】(1)当时,即 从而构成以1为首项,1为公差的等差数列(2)由(1)可知, 则当时 故当时 又当时,满足题意,故 法二:则当时,那么又当时,故成立。13已知数列满足:,(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,证明:是等差数列.(3)证明:.【解析】(1),是以为首项,为公比的等比数列.即.(2)证明:,

25、.,得,即,.,得,即,是等差数列.(3)证明:,.,综上,得:.14在平面直角坐标系中,点、和(为非零常数),满足,数列的首项为=1,其前项和用表示.(1)分别写出向量和的坐标;(2)求数列的通项公式;(3)请重新设计的、坐标(点的坐标不变),使得在的条件下得到数列,其中=【解析】(1)因为、和,所以,因此,;(2)因为,所以因此(3)设、,则因此,;因此15已知点是函数(且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足(1)求数列和的通项公式;(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少?【解析】(1),数列成等比数列,,所以公比,所以,又,,数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,, ,当,,(2) 由得,满足的最小正整数为67