1、2022年中考数学复习专题2：数列求通项问题【一】归纳法求通项通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an1的联系.1.例题【例1】由数列的前n项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，(2)，(3)2，(4)，【解析】(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an4(1)n.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an.(3)数列可化为11,2，3，4，5，所以它的一个通项公式为ann.(4)数列可化为，所以它的一个通项公式为an.【例2】已
2、知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的（ ）A第44项B第76项C第128项D第144项【解析】观察分子分母的和出现的规律：，把数列重新分组：，可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.2. 巩固提升综合练习【练习1】由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，7，13，19，25，(2)，(3)1，【解析】(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5).(2)数列化为，分
3、子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an.(3)数列化为，所以数列的一个通项公式为an(1)n1.【练习2】如图是一个三角形数阵，满足第行首尾两数均为，表示第行第个数，则的值为_【答案】4951【解析】设第n行的第2个数为an，由图可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1，a5=11=1+2+3+4+1归纳可得an=1+2+3+4+（n-1）+1=+1，故第100行第2个数为：，故答案为4951【二】公式法求通项等差数列：等比数列：1.例题【例1】 数列满足，则（ ）A B C D【解析】，数列是等差数列，首项为，公差为1，故选：C【例2】已知数列an
4、满足a14，an4(n1)，记bn求证：数列bn是等差数列，并求【解析】bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列，故，即2.巩固提升综合练习【练习1】已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10(1)求a2，a3；(2)证明数列an为等比数列,并求【解析】(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列。所以【练习2】已知数列和满足求证：是等比数列,是等差数列；求数列和的通项公式【解析】证明:是首项为,公比为的等比数列,是首项为,公差为的
5、等差数列.由知, 【三】累加法求通项型如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步将递推公式写成an1anf(n)；第二步依次写出anan1，a2a1，并将它们累加起来；第三步得到ana1的值，解出an；第四步检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.1.例题 【例1】在数列中，则（ ）ABCD【解析】在数列an中，a12，an+1anana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）2+ln2+ 2+lnn，故2+ln10故选：A【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙
6、积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式_，数列的前项和_. 【解析】由题意可知，累加可得，.故答案为：；.2.巩固提升综合练习【练习1】在数列中，则数列的通项 _.【解析】当时，当也适用，所以.【练习2】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为_【解析】根据题意，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ， ，对于数列 满足 ，则有，数列的通项为： ，分析可得：当 时，数列取得最大值，此时 ；故答案为：【练习3】两千多年前，古希
7、腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，得数列，则；对，【解析】因为，所以以上n个式子相加，得。【四】累积法求通项型如的递推公式求通项可以使用累积法1.例题 【例1】已知数列an满足a1，an1an，求an.【解析】由条件知，分别令n1,2,3，n1，代入上式得(n1)个等式累乘之，即，又a1，an.2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列an中，a11
8、，an12nan(nN*)，则数列an的通项公式为() A.an2n1 B.an2n C. D.【解析】由an12nan，得2n，即2122232n1，即2123(n1)，故ana1.故选C.【五】Sn法（项与和互化求通项）已知Snf(an)或Snf(n)解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式；第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为类型二.1.例题 【例1】已知数
9、列的前n项和，且，则 .【解析】因为，所以，所以，当时，不符合上式，所以【例2】设数列的前项和，若，则的通项公式为_【解析】时，化为：时，解得不满足上式数列在时成等比数列时，故答案为： 【例3】设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.【答案】.【解析】试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以2.巩固提升综合练习【练习1】在数列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN*)，求数列an的通项an.【解析】由a12a23a3nanan1，得当n2时，a12a23a3(n1)an1an，两式作差得nanan1an，得(n
10、1)an13nan(n2)，即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21，于是2a22，故当n2时，nan23n2.于是an【练习2】记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_.【解析】当时，解得；当时，两式相减可得，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.故答案为：【练习3】已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由题设可知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去).由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)
11、Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.【练习4】设数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【解析】（1）由n1得，因为，当n2时，由两式作商得：（n1且nN*），又因为符合上式，所以（nN*）（2）设，则bnnn2n，所以Snb1b2bn（12n）设Tn2222323+（n1）2n1n2n，所以2Tn22223（n2）2n1（n1）2nn2n1，得：Tn222232nn2n1，所以Tn（n1）2n12所以，即【练习5】已知数列的前项和为，（1）求证：数列是等差数列；（2）若，设数列的前项和为，求.【解析】（1）证明：因为当时，所以 所以，因为，所以，所以， 所以 所以是以为首项，
12、以1为公差的等差数列 （2）由（1）可得，所以. 【六】构造法求通项1.型如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设将递推公式改写为an1tp(ant)；第二步由待定系数法，解得t；第三步写出数列的通项公式；第四步写出数列an通项公式.2.an1panf(n)型【参考思考思路】确定设数列列关系式比较系数求，解得数列的通项公式解得数列的通项公式1.例题【例1】已知数列an中，a11，an12an3，求an.【解析】递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，则t3.故递推公式为an132(an3).令bnan
13、3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.所以bn42n12n1，即an2n13.【例2】已知数列an满足an12ann，a12，求数列an的通项公式.【解析】令，即解得，所以数列以为首项，公比为2的等比数列。，即【例3】已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式.【解析】法一：设an1x5n12(anx5n)，将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x，则x1，代入式得an15n12(an5n).由a1516510及式得an5n0，则2，则数列an5
14、n是以1为首项，2为公比的等比数列，则an5n2n1，故an2n15n.法二：an12an35n，即，令，所以所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故an2n15n.【例4】 已知数列满足：，则 （ ）A B C D【解析】数列满足：， 是以为首项为公差的等差数列， 故答案为：B.2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列an满足an13an2，且a11，则an_.【解析】设an1A3(anA)，化简得an13an2A.又an13an2，2A2，即A1.an113(an1)，即3.数列an1是等比数列，首项为a112，公比为3.则an123n1，即an23n11.【练习2】已知数列an的首项为a1
15、1，且满足an1an，则此数列的通项公式an等于()A.2n B.n(n1) C. D.【解析】an1an，2n1an12nan2，即2n1an12nan2.又21a12，数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，an.【练习3】已知非零数列的递推公式为,.(1)求证数列是等比数列；(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值；(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由.【解析】(1)由，得，法一：即，法二：由上，所以是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等价于
16、令，则，所以单调递增，则，于是，即，故整数的最小值为4.(3)由上面得，则要使成等差数列，只需，即因为，则上式左端；又因为上式右端于是当且仅当，且为不小于4的偶数时，成等差数列【七】其他求通项方法1.例题【例1】 已知数列满足,则（ ）ABCD【解析】依题意，所以，所以数列是周期为的数列，且每项的积为，故，故选B.【例2】若数列an中，a13且an1a(n是正整数)，则它的通项公式an为_.【解析】由题意知an0，将an1a两边取对数得lg an12lg an，即2，所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an(lg a1)2n1.即an.【例3】已知数列满足
17、递推关系：，则（）ABCD【解析】由得：，即又，则，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，本题正确选项：2.巩固提升综合练习【练习1】 已知数列an的前n项和是Sn，且满足an1(nN*)，则S2 017（ ）【解析】an1(nN*)，.数列an是周期为3的周期数列.a1a2a3.S2 017672.【练习2】 在数列中，已知，则_，归纳可知_【解析】，由，取倒数得 ，得，即数列是以公差的等差数列，首项为，则，即故答案为： (1). (2). 【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定
18、常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得1.例题【例1】已知数列满足，求数列的通项【解析】其特征方程为，解得，令，由，得， 【例2】已知数列满足，求数列的通项【解析】其特征方程为，解得，令，由，得， 2.巩固提升综合练习【练习1】设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除
19、以，得，即数列是以1为公差的等差数列，综上所述，（3）把，代入，得，解得二、形如的数列 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得此方法又称不动点法1.例题【例3】已知数列满足，求数列的通项【解析】其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，【例4】已知数列满足，求数列的通项【解析】其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差
20、的等差数列，2.巩固提升综合练习【练习2】已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？【解析】作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在， 当4，时，.(3) 令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在。于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在。【练习3】记(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求数列的通项公式及数列的前n项和【解析】由已知,得,其特征方程为解
21、之得,或, 【练习4】各项均为正数的数列中，且对满足的正整数都有，当【解析】由得化间得，作特征方程，。所以 ， ， 课后自我检测1已知正项数列中，则数列的通项公式为（ ）ABCD【解析】由题意 ,又 ,所以 ,选B.2在数列1，0，中，0.08是它的第_项【答案】10【解析】令0.08，得2n225n500，即(2n5)(n10)0.解得n10或n (舍去)3在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_.【解析】原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得ana11，故an4.4已知数列中，则该数列的通项_.【解析】,在等式两边同时除以
22、，得，,累加得：，故答案为：5已知数列中，则能使的的数值是（ ）A14 B15 C16 D17 【解析】由题意得，数列是周期为3的数列，所以6已知数列满足且（1）证明数列是等比数列；（2）设数列满足，求数列的通项公式【解析】（1），所以是首项为1公比为3的等比数列。（2）由（1）可知，所以因为，所以，所以7已知数列的前项和为，（1）求；（2）求证:【解析】（1），两式相减得， 又，满足上式（2）由（1）得 8已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列，并求【解析】证明由题意知f(an)42(n1)2n2l
23、ogman，anm2n2，m2，m0且m1，m2为非零常数，数列an是等比数列.由，所以，所以9已知数列满足：，.（1）若存在常数，使得数列是等差数列，求的值；（2）设，证明：.【解析】（1），.由题意可得，则，解得.若，则由得，即得与矛盾，所以.所以，当时，数列是公差为的等差数列；（2）由（1）知，.设，两式相减得，.10已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和【解析】（1）令，当时，当时，当，满足.所以的通项公式为.（2）由（1）得，所以的前项和.11数列，各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和
24、，并求使对所有的都成立的最大正整数的值.【解析】（1）证明：，当时，整理得，又，数列为首项和公差都是的等差数列.，又，时，又适合此式数列的通项公式为；（2）解： 依题意有，解得，故所求最大正整数的值为.12已知数列中，其前项的和为，且当时，满足（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：【解析】（1）当时，即 从而构成以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）可知， 则当时 故当时 又当时，满足题意，故 法二：则当时，那么又当时，故成立。13已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，证明：是等差数列.（3）证明：.【解析】（1），是以为首项，为公比的等比数列.即.（2）证明：，
25、.，得，即，.，得，即，是等差数列.（3）证明：，.，综上，得：.14在平面直角坐标系中，点、和（为非零常数），满足，数列的首项为=1，其前项和用表示.（1）分别写出向量和的坐标；（2）求数列的通项公式；（3）请重新设计的、坐标（点的坐标不变），使得在的条件下得到数列，其中=【解析】（1）因为、和，所以，因此，；（2）因为，所以因此（3）设、，则因此，；因此15已知点是函数（且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足(1)求数列和的通项公式；(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少？【解析】(1),数列成等比数列，,所以公比,所以,又,，数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,， ，当,，(2) 由得,满足的最小正整数为67