1、2019 届高三年级十月质量检测数学（理）18.10一.填空题1.已知全集 ，集合 ，则 = .4,321U3,2,1QPUPQ2.命题“ ”的否定是 0xRx3. 已知虚数 满足 ，则 z6iz|z4.“ ”是“ ”的 .条件.0)1ln(（从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量 当 三点共线时，实数 的值为 (,2)(4,5)(10,)OAkBOCk,ABCk .6. 在 中，角 所对的边分别为 若 则 _ BC, ,abc2,sin3i,bcBA7. 设函数 满足 ，当 时， ，则 = .)(xf xffsin)(00)(xf
2、)62(f8. 已知 ， ，则 的值为 .tan1tan2co9.已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， 若()yfxx(,)x2()log.xf则 由大到小的顺序是 .(3),(2,4afbcf,abc10. 若函数 的图象关于点 对称，且在区间)sinos()(06gxx(2,0)上是单调函数，则 的值为 .,3611. 已知函数 若关于 的方程 恰有三个不同的实数解，则24,0()5.xfex()50fax满足条件的所有实数 的取值集合为 .a12. 已知点 在 所在平面内，且OABC4,3,ABO(),AB则 取得最大值时线段 的长度是 .()0,C13. 在 中，若 则ABCta
3、ntan5tan,CABCsiA的最大值为 .14.已知定义在 上的函数 可以表示为一个偶函数 与R1()2xf ()gx一个奇函数 之和，设()hx,()htpg2mh2若方程 无实根，则实数 的取值范围是 .1(.m()0pt二.解答题15.已知命题 指数函数 在 上单调递减，命题 关于:()26)xfxaR:qx的方程 的两个实根均大于 3.若“ 或 ”为真,“ 且23xa21pp”为假,求实数 的取值范围.q16. 函数 在一个周期内的图象如图所示, A为图象的最高)0(3sin2cos6)( xxxf点, B、 C为图象与 轴的交点,且 ABC为正三角形.()求 的值及函数 ()f的
4、值域；()若 08()5f,且 012(,)3x,求0(1)fx的值.17. 已知向量 角 为 的内角，其所对的边分别为(2,1)(sin,co(),2AmBC ,ABC,.abc（1）当 取得最大值时，求角 的大小；（2）在（1）成立的条件下，当 时，求n 3a的取值范围.218. 为丰富农村业余文化生活，决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心通过测量，发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M 为圆心，以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处，且 AB8km ，BC km经协商，文化服务中心拟建在与 A,B 等距离的 O 处，并42建造三条道
5、路 AO,BO,NO 与各村通达若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 万元，NO 段为每公a2A BDOMCN里a 万元，建设总费用为 万元w（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离 N 村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离 N 村的距离. 19. 设 、 2()(fxbc)R（1）若 在 上不单调，求 的取值范围；,b（2）若 对一切 恒成立，求证： ；()|fxx214c（3）若对一切 ，有 ，且 的最大值为 1，求 、 满足的条件。R1()0f23()xf bc20. 已知函数 ()xaef（1）若函数 ()fx的图象在 (1,)f处的切线经过点 (0,1)，求 a的
6、值；（2）是否存在负整数 a，使函数 x的极大值为正值？若存在，求出所有负整数 a的值；若不存在，请说明理由；（3）设 0，求证：函数 ()f既有极大值，又有极小值理科加试题1.已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 ，属于特征值 1 的一个特3 3c d 11征向量为 2 求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵3 22.在长方体 中，1ABCDCEBDAA1D1 C1B1F是棱 的中点，点 在棱 上，且 。求直线 与142AB,D,A,FBCE1CD113ECEF平面 所成角的正弦值的大小；1C3. 某商场举办“ 迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有
7、四个球、乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金 m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金 n元活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止 （1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由4. 已知 （ ） ， 是关于 的 次多项式；2()1)nfxN()gx2n（1）若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满足条件的 的表达式，3(
8、gx1()gx无需证明（2）求证：对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，使得nx0a12na221201()()()n nfxaxa1nn高三年级 10 月份阶段检测数学试卷答案18.10一.填空题1. 1；2. ；3. ；4.必要不充分； 5.2 或 11；6. 7. ；2,0xRx5.3218.1；9.bac；10. 或 11. ；12. ；13. ；14. 。135.6,2lne657m二.解答题15.解：当 为真时， ， ；当 为真时， ，解得：p0261a732aq032()af5.2a由题意知 、 一真一假。 （1）当 真 假时， 解得 （2）当 假 真时，p
9、qpq73,52a;pq解得72,a或 35573.22a或16. 解：()由已知可得: 2()6cos3cos(0)xfxx =3cosx+ 3sin2ix又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4 所以,函数 484， 得， 即的 周 期 T 。所以，函数32)(的 值 域 为xf。()因为 ， 由58)(0xf()有 ，538)(sin32)(00xxf 4)3(sin0即，由 x0 ),()34(3210） ， 得，（ 所以, 5)()4(co20x即 ，故 )1(0f )34(sin3204)3(sin0x )2534(2 4sin)3cos(4sin00xx 56717.
10、解：（1） ，令 ，sin,2At原式 ，当 ，即 ， 时， 取得最大值.（2）当 时， ， .由正弦定理得： （ 为 的外接圆半径）于是 .由 ，得 ，于是 ，所以 的范围是 .18.解：（1）不妨设 ,依题意， ，且ABO3,0， ，34MC由 4,34tan.cosAON若三条道路建设的费用相同，则 a)tn4(2cos所以 所以 。,2)3sin(1由二倍角的正切公式得， ，即32tant83NO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)83(km（2）总费用 3,0,tan4cos24a即 ，令3in8 42sin,cos4i28 得a当 ，时 ， 当， 03in4024si0 所以当
11、有最小值，这时，时 ，in 734,7taNO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)34(km19. 解（1）由题意 ， ；2bb（2）须 与 同时成立，即 ， ；2xcxcx2(1)40bc2+14bc（3）因为 ，依题意，对一切满足 的实数 ，有 1| |2x()f当 有实根时， 的实根在区间 内，设 ，所以()0fx()0fx,2xbc，即 ，又 ，于是， 的最大值(2)fb42bc2231(,3xx23()1fx为 ，即 ，从而 故 ，即 ，解得(3)1f931bc38b42380b45b4,bc当 无实根时， ，由二次函数性质知， 在 上的最()0fx240bc2()fxbc(,3大
12、值只能在区间的端点处取得，所以，当 时， 无最大值于是，(2)3f23()1xf存在最大值的充要条件是 ，即 ，所以， 又23()1xf()f49bc5b的最大值为 ，即 ，从而 由 ，得2()fx(3)1f931bc38240c，即 所以 、 满足的条件为 且 综上：2130b84b0bc5b且8c5.20.解：（1）2(1)()xaef , (1)f()1fae函数 ()fx在 1,f处的切线方程为： ，又直线过点 (0,1)yex ，解得： 2 分aeae（2）若 0，2(1)()xf，当 (,)x时， 0f恒成立，函数在 上无极值；(,0)当 0,1时， ()fx恒成立，函数在 上无极
13、值； ,1方法（一）在 (,)上，若 ()fx在 0处取得符合条件的极大值 0()fx，则01()xf，5 分则 ，由（3）得： 0201xae，代入（2）得： ，结合002011()xxae（ ）（ ）（ ） 01x（1）可解得： 02x，再由00()xaef得： 02xae，设2()xhe，则 ()xhe，当 2时， ()h，即 ()h是增函数，所以 024a，又 0a，故当极大值为正数时， 24(,0)ae，从而不存在负整数 满足条件 8 分a方法（二）在 时，令 ，则(1,+)x2)1xH()2)xHe 为负整数 (,)x,eaaxa 在 上单调减20ae()0x()x1,)又 ， ，
14、使得 5 分(1)H2240ae0(,2)x0()Hx且 时， ，即 ； 时， ，即 ；0x()0x()fxf 在 处取得极大值 （*）()f00()aef又 代入（*）得：020()(1)xHae001x000(2)()11xxf 不存在负整数 满足条件 8 分（3）设 2()(1)xgae，则 ()2)xgae，因为 0，所以，当 0时， 0， (单调递增；当 0x时， ()0gx， ()单调递减；故 ()gx至多两个零点又 0a， (1)0g，所以存在 1(0,)x，使 1()0gx再由 ()gx在 ,上单调递增知，当 10,时， ()0x，故 2()0gxf， ()fx单调递减；当 (
15、x， 时， g，故 ()f， f单调递增；所以函数 )f在 处取得极小值 12 分 1x当 0x时， e，且 0，所以 22()()(1)xgaaxxa，函数 2y是关于 的二次函数，必存在负实数 t，使 ()0gt，又 ()0ga，故在 (,0)t上存在 2x，使 2()0g，再由 ()gx在 ,0)上单调递减知，当 2时， (gx，故 2()0gxf， ()fx单调递增；当 (,0)x时， )0，故 ()f， f单调递减；所以函数 f在 处取得极大值 2x综上，函数 ()既有极大值，又有极小值 16 分理科加试答案1. 解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得， 6 ，即
16、 cd6； 11 3 3c d11 11由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 2 ，可得 ，即 3c2d2 3 2 3 3c d 3 2 3 2解得 即 A ， A 的逆矩阵是 c 2，d 4 ) 3 32 42. 解：分别以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则1,DCzyx, xyzD，1(2,0)(,)(0,)(2)(40)CEF所以 ，设平面 的一个法向量为,21 AD(1,32)EAC1，由 解得 取 ，则 ，因为 ，),(zyxn,01n,2yzx,n4|EF， ，所以,因为 ，所以3|EFnEF,cos| 42130,cosn是锐角，是直线 与平面 所成角的余角，所
17、以直线 与平面 所成角的正n, ACD1 EFACD1弦值为 4213. 解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 n元为事件 M则 3()PM 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 元的概率为 14 4 分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金 x可取 0,mn+ 则 3121(0),()()4436432PmPxx= 6En+6 分先在乙箱中摸球，参与者获奖金 h可取 0,n+则 2131(0),(),()34342PPm2Enh=+=8 分12mx-当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；3n当 =时，两种顺序参与者获奖
18、金期望值相等；当 2mn时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大答：当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当 32mn=34. 解：（1）令 ，则 ，即 ，1x()(1)fg()10gf因为 ，所以 ； ()30nf0令 ，则 ，即 ，x23()()f()()fg因为 ，因为 ，所以 ；例如(1)g1nf10 2()nxN（2）当 时， ，故存在常数 ， ，22()fxx0a1使得 01()fxa假设当 （ ）时，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，nkNx012k使得 ，即2212101()()()()kkk kkfxaaxax22212101(1
19、)()()()()kkkkkkxaxxaxaxax则当 时，n2122()()()k kf1101()k kkkxaxxaxax 22011 10(kk 2121)kkkxxxx 3 322011110( kkaaaa 2 102032 23)()()()kkxxxax 11112(kkk k 2123 000)()()kaxaxaxa1201021( ()kk ；2121)()()k kk kxx令 ， ， （ ） ， ；0a01a2mmak112kaa故存在与 无关的常数 ， ， ， ， ；使得xk1a2212 2101()()()()kk kkf xxxx 综上所述，对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，n01a2na使得 221201()()()()n nnfxaxaxxx