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2022届(全国甲卷)高考数学模拟试卷(文)含答案解析

1、2022届(全国甲卷)高考数学(文)模拟试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则为( )A.B.C.D.2.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.1403.已知,则( )A.B.C.D. 4.设,则( )A.与都是奇函数B.是奇函数,是偶函数C.与都是偶函数D.是偶函数,是奇函数5.已知双曲线的离心率,则该双曲线的渐近线方程

2、为( )A.B.C.D.6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为m/s时,它的耗氧量的单位数为( )A.900B.1600C.2700D.81007.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A.B.2C.D.8.在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.如果,的面积为,那么( )A.B.C.D.9.已知正项等比数列的前n项和为,若,则( )A.B.C.D.10.四张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这四张卡片中随机抽取两张,则取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概

3、率为( )A.B.C.D.11.已知,则( )A.B.C.D.12.已知偶函数在上单调递减,且,则不等式的解集为( )A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,且,则_.14.将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为,再将它们卷成两个圆锥侧面,则这两个圆锥的体积之比为_.15.已知函数的部分图象如图所示,则_.16.设分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,且.若,则椭圆的标准方程为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:

4、共60分。17.2021年5月22日10时40分,“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台,到达火星表面,开始巡视探测.为了增强学生的科技意识,某学校进行了一次专题讲座,讲座结束后,进行了一次专题测试(满分:100分),其中理科学生有600名学生参与测试,其得分都在内,得分情况绘制成频率分布直方图如下,在区间的频率依次构成等差数列.若规定得分不低于80分者为优秀,文科生有400名学生参与测试,其中得分优秀的学生有50名.(1)若以每组数据的中间值代替本组数据,求理科学生得分的平均值;(2)请根据所给数据完成下面的列联表,并说明是否有99.9%以上的把握认为,得分是否优秀与文理科有关?优秀不优秀合计理

5、科生文科生合计1000附:,其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.已知数列是以3为首项,为公差的等差数列,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.19.如图,矩形ABCD所在平面与所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得平面PBD?请说明理由.20.已知函数,是的导数(e为自然对数的底数).(1)当时,求曲线在点处的切线方程.(2)若当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.21.已知抛物线的焦点为F,点P是直线上的动点,的最小值为.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P作抛物

6、线C的两条切线,切点分别为A,B,若直线AB过抛物线的焦点,求直线AB的方程.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22. 选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线M的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为.(1)写出曲线M的极坐标方程,并指出它是何种曲线;(2)设直线与曲线M交于A,C两点,直线与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.23. 选修45:不等式选讲已知函数.(1)解关于x的不等式;(2)求满足的实数x的取值范围.答案

7、解析1.答案:C解析:集合,故选C.2.答案:D解析:由频率分布直方图知,数据落在区间的频率为.故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为.故选D.3.答案:B解析:本题考查复数的运算.可知.4.答案:B解析:,为奇函数.,是偶函数,故选B.5.答案:D解析:由题意得,则双曲线的渐近线方程为,故选D.6.答案:C解析:当时,即,故,所以.故选C.7.答案:A解析:根据三视图可知几何体是由有公共的底面的圆锥和圆柱体的组合体,由三视图可知,圆锥的底面半径为1,高为1,圆柱的底面半径为1,高为1,所以组合体的体积为,故选:A.8.答案:B解析:由,得.由余弦定理,得,所以.9.答案:

8、D解析:解法一 设等比数列的公比为q(且),得,.解法二 设等比数列的公比为q(且),.10.答案:B解析:从四张卡片中任意取出两张的情况有,共6种.其中两张卡片上的数字之和为偶数的情况有,共2种,所以两张卡片上的数字为和为偶数的概率为.11.答案:A解析:因为,所以,则,即,所以,故选A.12.答案:A解析:因为偶函数在上单调递减,且,所以根据偶函数的对称性可知,在上单调递增,且,由可得或即或解得或.故选A.13.答案:解析:由题意得.又因为,所以,解得,所以,.14.答案:解析:设圆的半径为r,则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为2,所以两圆锥的体积之比为.15.答案

9、:解析:由题图可知,所以,因此,所以,又函数图象过点,所以,即,解得,又因为,所以.故答案为.16.答案:解析:.又.由椭圆定义可知.椭圆的标准方程为.17.答案:(1)理科学生得分的平均值为73分.(2)表格见解析,有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.解析:(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,则,解得,理科学生得分的平均值为(分).(2)理科学生优秀的人数为,补全22列联表如表所示,优秀不优秀合计理科生150450600文科生50350400合计2008001000,有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.1

10、8.答案:(1).(2).解析:(1)因为成等比数列,所以,即.因为,所以,即,所以或-6(舍去),所以.(2)由(1)知,所以.19.答案:(1)见解析(2)当P为AM的中点时,平面PBD.理由见解析解析:(1)由题设知,平面平面ABCD,交线为CD.因为,平面ABCD,所以平面CMD.又平面CMD,故.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以.又,所以平面BMC.又平面AMD,所以平面平面BMC.(2)当P为AM的中点时,平面PBD.证明如下:连接AC,BD并交于点O.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC的中点.因为P为AM的中点,所以.又因为平面PBD,平面PBD,所以平面PBD.

11、20.答案:(1).(2).解析:(1)当时,则,所以切线方程为,即.(2)当时,恒成立,即在上恒成立,设,则,当时,此时,则,可知在上单调递减,则,所以在上单调递减,所以,即恒成立,所以满足题意,当时,令,解得,当时,则单调递增,此时,则在上单调递增,所以,即当时,即不恒成立,可知不合题意,综上所述,.21.答案:(1)方程为.(2)方程为.解析:(1)由题意得,的最小值为.所以,解得,所以抛物线C的方程为.(2)设,由(1)知,所以,则切线PA的方程为,即;同理PB的方程为.将分别代入PA和PB方程可得对比可知直线AB的方程为,又直线AB过抛物线的焦点,所以,解得.又点P在直线上,所以,又,所以,所以直线AB的方程为.22.答案:(1)由消去参数得,曲线M是以为圆心,2为半径的圆.将曲线M的方程化成极坐标方程,得(2)设,将直线与圆M的极坐标方程联立得,.三点共线,.用代替可得.,四边形ABCD的面积.,故四边形ABCD面积的取值范围为.23.答案:(1)解集为.(2)取值范围为.解析:(1)由得.当时,不等式为,解得,故;当时,不等式为,解得,故;当时,不等式为,解得,故.综上可知,不等式的解集为.(2)由可得.又,当且仅当,即时,取等号,满足的实数x的取值范围为.