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2022年高三数学小题压轴题专练1:函数的零点(1)含答案解析

1、小题压轴题专练1函数零点(1)1、 单选题1已知函数有两个零点,且,则的取值范围是A,BC,D解:函数,有两个零点,令,可得,令即,令,可得,可得当时,则,当时,则,在上单调递减,在上单调递增,可得,若,则,符合题意;若,则,根据单调性,可得,即,可得,综合得,的取值范围是又在上单调递减,可得,即故选:2已知函数,若方程有三个不同的实数根,且,则的取值范围是A BCD解:当与相切时,设切点为,由得再由图知方程的三个不同的实数根,满足,因此,即 的取值范围是故选:3设函数在上存在导函数,对任意的有,且当,时,若(a),的零点有A0个B1个C2个D3个解:设,;则,得为上的奇函数,时,故在单调递增

2、,再结合及为奇函数,知在为增函数,(a)(a)(a),(a),解得,令,当时,此时无解,则,设,则,当时,令时,函数单调递增,令时,函数单调递减,(1),当时,函数单调递减,直线与有两个交点,的零点有2个,故选:4已知函数,若关于的方程的不同实数根的个数为,则的所有可能值为A3B1或3C3或5D1或3或5解:由题可知,由可知在和上单调递增,在上单调递减令,则方程必有两根,且,注意到,(1),此时恰有,满足题意当时,有,此时有1个根,此时时有2个根;当时,必有,此时有0个根,此时时有3个根;当时,必有,此时有2个根,此时时有1个根;综上所述,对任意的,关于的方程均有3个不同实数根,故选:5已知函

3、数,若关于的方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范围是AB,CD解:设,当时,单调递减,当时,单调递增,直线与在处有一个交点,在处有一个交点,故在处需2个交点,直线经过点时,当直线与相切于时,故选:6已知定义域为的函数关于对称,当,时,若方程有四个不等实根,时,都有成立,则实数的最小值为ABCD解:作出函数的图象,如图,作直线,它与图象的四个交点的横坐标依次为,函数的图象关于对称,即,且,显然,不等式变形为,由勾形函数性质知在时是增函数,令,则,当时,单调递减,即的最小值是故选:7设定义在上的函数满足有三个不同的零点,且,则的值是A81BC9D解:函数有三个不同的零点,即方程有三个不同的实

4、数根,即有三个不同的实数根,令,则有,整理可得,设方程的两个根为,所以,又,当时,故在上单调递减,当时,故在上单调递增,因为,当时,所以当时,故,因为方程最多只有两个实数根,所以,则故选:8已知,符号表示不超过的最大整数,若函数有且仅有3个零点,则实数的取值范围是A, B, C, D,解:由,得,若,设,则当,此时,当,此时,此时,当,此时,此时,当,此时,此时,当,此时,此时,作出函数的图象,要使有且仅有三个零点,即函数有且仅有三个零点,则由图象可知,若,设,则当,此时,此时,当,此时,此时,当,此时,此时,当,此时,此时,当,此时,此时,作出函数的图象,要使有且仅有三个零点,即函数有且仅有

5、三个零点,则由图象可知,综上,实数的取值范围是,故选:9函数,若恰有五个不同的实根,则的取值范围是ABCD解:函数的图象如图所示,令,若方程恰有五个不同的实根,则,化为:,画出可行域如图三角形内部区域,令,由图可知,当直线经过时,有最小值为,当直线经过,时,有最大值为,的取值范围是,故选:10函数是定义在上的奇函数,且函数为偶函数,当,时,若有三个零点,则实数的取值集合是A,B,C,D,解:由已知得,则,所以函数的图象关于直线对称,关于原点对称,又,进而有,所以得函数是以4为周期的周期函数,由有三个零点可知,函数与函数的图象有三个交点,当直线与函数图象在,上相切时,由,即,故方程有两个相等的实

6、根,由,解得,当,时,作出函数与函数的图象如图:由图知当直线与函数图象在,上相切时,数形结合可得在,上有三个零点时,实数满足,再根据函数的周期为4,可得所求的实数的范围为,故选:11若函数,若有两个零点,则的取值范围为AB,CD解:时,函数在上单调递减,此时函数最多有一个零点,不满足题意,舍去时,令,解得时,函数在上单调递减;时,函数在上单调递增时,函数取得极小值,有两个零点,令(a),(1)(a),函数在上单调递增,又时,;时,满足函数有两个零点的取值范围为,故选:12已知函数,其中,若方程恰好有3个不同解,则与的大小关系为ABCD不能确定解:,易知(a)(极大值);(极小值);(极大值);

7、(极小值)要使恰好有3个不同解,结合图象得:当,即时,解得,不存在这样的实数当,即时,解得;此时,又因为与关于对称,当,即时,解得此时,是方程的两实根,所以,而,所以,故选:2、 多选题13设,若满足关于的方程恰有三个不同的实数解,则下列选项中,一定正确的是ABCD解:设,满足,可知为偶函数,所以不正确;,其中必有一解为0,则,当时,当且仅当时,取等号;当时,在递增,又在递增,即,可得,所以正确,所以不正确;所以正确故选:14若方程和的根分别为,和,则下列判断正确的是A BC D解:由题意,和,分别是和的两个根,即与和交点的横坐标由,得,当时,当时,在上单调递增,在上单调递减,作出函数,的图象

8、如图所示(注意到:当时,由图可知,从而,解得,选项正确,选项错误,又,正确故选:15已知函数,以下结论正确的是A在区间,上是增函数BC若函数在上有6个零点,2,3,4,5,则D若方程恰有3个实根,则解:(1)由题意可知当时,是以3为周期的函数,故在,上的单调性与在,上的单调性相同,而当时,在,上不单调,故错误;(2)又,故,故正确;(3)作出的函数图象如图所示:由于在上有6个零点,故直线与在上有6个交点,不妨设,2,3,4,5,由图象可知,关于直线对称,关于直线对称,关于直线对称,故正确;(4)若直线经过点,则,若直线与相切,则消元可得:,令可得,解得或,当时,当时,(舍,故若直线与在上的图象

9、相切,由对称性可得因为方程恰有3个实根,故直线与的图象有3个交点,或,故正确故选:16已知函数和且为常数),则下列结论正确的是A当时,存在实数,使得关于的方程有四个不同的实数根B存在,使得关于的方程有三个不同的实数根C当时,若函数恰有3个不同的零点,则D当时,且关于的方程有四个不同的实数根,若在上的最大值为,则解:若,则函数 在区间,上单调递增,且当时,如下图所示:如上图可知,此时关于 的方程 根的个数不大于2,选项不合乎题意;若,且当 时,函数在区间上单调递增,在上单调递减,此时,当 时,若关于的方程有四个不同的实数根,则,解得,选项正确;设,由,得,当 时,设关于的一元二次方程 的两根分别

10、为,由于函数 有三个零点,则,设,由,得,由图象可知,由,则,即,选项正确;当时,若,此时,函数与函数 在区间,上的两个交点关于直线对称,则如下图所示,当 时,函数与函数 的两个交点的横坐标,满足,且有,则,所以,由图象可知,函数在 上单调递减,在,上单调增,所以,所以,则,所以,选项正确故选:3、 填空题17已知函数,若函数恰有两个零点,则的取值范围为解设,则在上为减函数,在上为增函数,当时,此时两个函数值相等,当时,此时,当时,此时,即函数若函数恰有两个零点,则,即,恰有两个根,作出函数与的图象,由图象知若两个图象有两个不同的交点,则,故实数的取值范围是,故答案为:18已知定义域为的函数满

11、足,是偶函数,当时,若关于的方程恰有10个不同的实数解,则实数的取值范围是解:,函数为偶函数,为偶函数,得,函数是周期为2的周期函数在同一个坐标系中作出与的图象,由图可知,要使关于的方程恰有10个不同的实数解,则需函数的图象与的图象恰有10个不同的交点,即,解得实数的取值范围是故答案为:19对于定义域为的函数,若存在,且,使得,则称函数具有性质,若函数,具,有性质,则实数的最小值为解:设,由得,则,故,又,则,故,则实数的最小值为故答案为:20定义域为,的函数满足,当时,若有8个不同的实数解,则实数的取值范围是解:由题意,可知是偶函数,当时,则,当时,则,当时,则,当时,作出的图象,设,由有8个不同的实数解,即有8个不同的实数解,令则,解得或,由的图象可知,由根的分布可得且,解得,综上,可得的范围是故答案为: