1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.5.1 函数零点与方程的解 第第五五章章 函数的应用（二）函数的应用（二） 1.结合二次函数的图象结合二次函数的图象，了解，了解函数的零点与方程根的联系函数的零点与方程根的联系. 2. 会求简单函数会求简单函数的零的零点、零点个数及零点所在的大致区间点、零点个数及零点所在的大致区间. 学习目标学习目标 问题问题 1 1 求下列方程的根求下列方程的根 （1 1）016x； （2 2）01632 xx； （3 3）01635 xx； 怎么解呢？怎么解呢？ 提出提出问题问题 方程解法时间图 中国 公元公元50年年100年年 一次方程、二次方程一次方程
2、、二次方程 和三次方程根和三次方程根 11世纪世纪 北宋北宋 贾宪贾宪 三次方程正根三次方程正根数值解法数值解法 13世纪世纪 南宋秦九韶南宋秦九韶 任意次代数方程正任意次代数方程正根解法根解法 7世纪世纪 隋唐隋唐 王孝通王孝通 三次或三次三次或三次以上方程以上方程 方程解法时间图 西方 一次方程、二次方程一次方程、二次方程 的一般解法的一般解法 1541年年 意大利意大利 塔尔塔利亚塔尔塔利亚 三次方程三次方程一般解法一般解法 18021829 挪威挪威 阿贝尔阿贝尔 证明了五次以上一般证明了五次以上一般方程没有求根公式方程没有求根公式 记载了费拉记载了费拉里的四次方里的四次方程一般解法程
3、一般解法 9世纪世纪 阿拉伯阿拉伯 花拉子米花拉子米 1545年年 意大利意大利 卡尔达诺卡尔达诺 解解方程的历史方程的历史 方程方程 x22x+1=0 x22x+3=0 y= x22x3 y= x22x+1 函数函数 函函 数数 的的 图图 象象 方程的实数根方程的实数根 x1=1,x2=3 x1=x2=1 无实数根无实数根 函数的图象函数的图象 与与x轴的交点轴的交点 (1,0)、(3,0) (1,0) 无交点无交点 x22x3=0 x y 0 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . . x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . .
4、 y x 0 1 2 1 1 2 y= x22x+3 思考:方程的根与函数的图象和方程的根与函数的图象和x轴交点的轴交点的横坐标有什么关系横坐标有什么关系? ? 问题探究问题探究 观察函数的图象思考：观察函数的图象思考： 1.1.方程的根与函数的图象和方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系轴交点的横坐标有什么关系? ? 1.方程根的个数和对应函数与方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同轴交点个数相同. 2.方程的根是函数与方程的根是函数与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. 3.若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点轴无交
5、点. 问题探究问题探究 思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 判别式判别式 0 0 0）的图象的图象 ax2+bx+c=0 （a0）的根的根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 函数的图象与函数的图象与 x 轴的交点轴的交点 两个交点两个交点(x1,0), (x2,0) 无交点无交点 有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2 无实数根无实数根 两个不相等的两个不相等的实数
6、根实数根x1 、x2 0 ,2ab一个交点问题探究问题探究 思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的的 二次函数二次函数的图象与的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 一元二次方程一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与的根就是相应的二次函数图象与x x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。 若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x x轴无交点。轴无交点。 问题探究问题探究 推广到更一般的情况，得：推广到更一般的情况，
7、得： 轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程xxfyxf)(0)(零点零点： 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点. 函数的零点是一个点吗？函数的零点是一个点吗？ 问题问题1: 1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数零点不是一个点，零点指的是一个实数. 问题问题2: 2: 试归纳函数零点的等价说法？试归纳函数零点的等价说法？ 方程f (x)=0 有实数根 函数y=f (x) 有零点 函数y=f (x)的图 象与x轴有交点 概念解析概念解析 1思考辨析 (1)所有的函数都有零点( ) (2)若方程 f(x)0 有两个不
8、等实根 x1，x2，则函数 yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)( ) (3)若函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a) f(b)0.( ) 答案 (1) (2) (3) 跟踪训练跟踪训练 2函数 y2x1 的零点是( ) A.12 B.12，0 C.0，12 D2 A 由 2x10 得 x12. 跟踪训练跟踪训练 观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空: 1.在区间在区间(a,b)上上f(a) f(b)_0(“”或“”“”或“”) 在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； 2. 在区间在区间(b,c)上上f(b) f(c) _ 0(“”或“”“”或“
9、”) 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； 3.在区间在区间(c,d)上上f(c) f(d) _ 0(“”或”“”或”) 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点； 4.在区间在区间(e,g)上上f(e) f(g) _ 0(“”或”“”或”) 在区间在区间(e,g)上上_(有有/无无)零点；零点； 有 有 有 x y O a b c d 问题2:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？ O y x g e 无 问题探究问题探究 零点存在性定理零点存在性定理: : 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲连续不
10、断的一条曲线线，并且有，并且有f(a) f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零内有零点点. 即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c就是方程就是方程f(x)=0的根的根. 定理解读定理解读 思考思考1:1:为什么强调“函数为什么强调“函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象一条上的图象一条不间断不间断的曲线”？如果的曲线”？如果函数图象函数图象不连续不连续，或者，或者y=f(x)不满足不满足f(a) f(b) 0，那么零点存在性定理还成立吗？，那么零点存在性定理还成立吗？ x y O a b O y x b a O y x b a
11、O y x b a 定理解读定理解读 例例 求求方程方程 + = 的实数解的个数的实数解的个数 分析：可以先借助计算工具画出函数 = + 2 6的图象 或列出，的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助 典典例解析例解析 解：设函数 = + 2 6，利用计算工具，列出函数 = 的对应值表 并画出图象 由表和图可知， 2 0 ，则 2 3 0由函数零点存在定理可知，函数 = + 2 6在区间（，）内至少有一个零点 容易证明，函数 = + 2 6 ，（，）是增函数， 所以它只有一个零点，即相应方 + 2 6 = 0只有一个实数解 1函数 f(x)2x23x1 的零点个数是( ) A0 B1 C2
12、 D3 C 由 f(x)0 得 2x23x10，x12或 x1，所以函数 f(x)有 2 个零点 【答案】【答案】C 当堂达标当堂达标 2函数 f(x)2x3 的零点所在的区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 【答案答案】B f(1)2310， f(1) f(2)0，即 f(x)的零点所在的区间为(1,2) 3对于函数 f(x)，若 f(1) f(3)0，则( ) A方程 f(x)0 一定有实数解 B方程 f(x)0 一定无实数解 C方程 f(x)0 一定有两实根 D方程 f(x)0 可能无实数解 【答案答案】D 函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽
13、管 f(1) f(3)0，但方程 f(x)0 在(1,3)上可能无实数解 4若 f(x)xb 的零点在区间(0,1)内，则 b 的取值范围为_ 【答案答案】B(1,0) f(x)xb 是增函数，又 f(x)xb 的零点在区间(0,1)内， f00， b0，1b0. 5已知函数 f(x)x2x2a. (1)若 a1，求函数 f(x)的零点； (2)若 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围. 【答案答案】(1)当 a1 时，f(x)x2x2. 令 f(x)x2x20，得 x1 或 x2. 即函数 f(x)的零点为1 和 2. (2)要使 f(x)有零点，则 18a0，解得 a18， 所以 a 的取值范围是 a18. 2方程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与x 轴有交点函数 yf(x)有零点 3函数零点的存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(_b)0.那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得f(c)_0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 x轴 零点 连续不断 f(a) f(b)0 f(c)0 1函数的零点 对于函数 yf(x)，把使f(x)_0 的实数 x叫做函数 yf(x)的零点 f(x)0 的实数 x 课堂小结课堂小结