1、2020-2021 学年吉林省四平市公主岭市两校高三 （上） 期末数学试卷 （文科）学年吉林省四平市公主岭市两校高三 （上） 期末数学试卷 （文科） 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，2，Bx|0 x3，则 AB（ ） A1，0，1 B0，1 C1，1，2 D1，2 2 （5 分）若复数 z（2+i）i（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为（ ） A5 B C D5i 3 （5 分）
2、已知命题 p：xR，x2+2x+30，则命题 p 的否定是（ ） AxR，x2+2x+30 BxR，x2+2x+30 CxR，x2+2x+30 DxR，x2+2x+30 4 （5 分）若平面向量 与 的夹角为 120，| |2， （ 2 ） （ +3 ）3，则| |（ ） A B C2 D3 5 （5 分）设 a30.7，b（）0.8，clog0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是（ ） A1 B2 C4 D7 7 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 zx+3y
3、 的最大值（ ） A2 B4 C6 D8 8 （5 分）如图，一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ） A B8 C D12 9 （5 分）已知函数 f（x）sin2x 向左平移个单位后，得到函数 yg（x） ，下列关于 yg（x）的说法正确的是（ ） A图象关于点（，0）中心对称 B图象关于 x轴对称 C在区间，单调递增 D在，单调递减 10 （5 分）从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）已知定义在 R
4、上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（2x） ，当2x0 时，f（x）ax1（a0） ，且 f（2）8，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（ ） A10 B12 C4 D12 12 （5 分）F1、F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. 13 （5 分）已知圆 C：x2+y220，则过点 P（2，
5、4）的圆的切线方程是 14 （5 分）曲线 ylnx在 x1 处的切线的倾斜角为 ，则 sin2 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B2C2，ABAC2，BC2，AA12，其外接球的体积为 16 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，a12，Sn（1）an+1，bnlog2an，则数列的前 n项和 Tn 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足（2bc）cosAacosC （1）求角 A；
6、（2）若，b+c5，求ABC 的面积 18 （12 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a59，S13169 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，M 在棱 PD 上，且 PMPD，在底面 ABCD 中，BABC，DADC，AC2，O 为对角线 AC，BD 的交点 （1）证明：OM平面 PBC； （2）若 PA2，求三棱锥 MPBC 的体积 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点过椭圆右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点 （1）
7、求椭圆 C 的方程； （2）若 OAOB，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知 f（x）（x1）ex （）当 ae 时，求 f（x）的极值； （）若 f（x）有 2 个不同零点，求 a 的取值范围 （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本题（本题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，圆 C 的参数方程为（ 为参数） （1）写出直线
8、 l 的普通方程和圆 C 的极坐标方程； （2）已知点 M（1，0） ，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x，yR，且 x+y1 （1）求证：x2+3y2； （2）当 xy0 时，不等式|恒成立，求 a 的取值范围 2020-2021 学年吉林省四平市公主岭市两校高三 （上） 期末数学试卷 （文科）学年吉林省四平市公主岭市两校高三 （上） 期末数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选
9、项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，2，Bx|0 x3，则 AB（ ） A1，0，1 B0，1 C1，1，2 D1，2 【分析】根据交集的定义写出 AB 即可 【解答】解：集合 A1，0，1，2，Bx|0 x3，则 AB1，2， 故选：D 【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目 2 （5 分）若复数 z（2+i）i（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为（ ） A5 B C D5i 【分析】对已知等式两边同时取模即可求解 【解答】解：由 z（2+i）i 可得：|z|2+i|i|， 化简可得
10、|z|， 故选：B 【点评】本题考查了求解复数的模的问题，属于基础题 3 （5 分）已知命题 p：xR，x2+2x+30，则命题 p 的否定是（ ） AxR，x2+2x+30 BxR，x2+2x+30 CxR，x2+2x+30 DxR，x2+2x+30 【分析】直接根据命题的特点，求出结论即可 【解答】解：因为命题 p：xR，x2+2x+30， 是特称命题， 故命题 p 的否定是：xR，x2+2x+30； 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 4 （5 分）若平面向量 与 的夹角为 120，| |2， （ 2 ） （ +3 ）3，则| |（ ） A B C2
11、 D3 【分析】利用平面向量的数量积得到关于| |的方程，求解即可 【解答】解：平面向量 与 的夹角为 120，| |2， （ 2 ） （ +3 ）3， 可得4+2| |cos12063， 可得 6| |2+| |10，解得| |，| |（舍去） 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的模长以及数量积的运算；属于基础题 5 （5 分）设 a30.7，b（）0.8，clog0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出 【解答】解：a30.7，b（）0.830.8， 则 ba1， log0.70.8log0.7
12、0.71， cab， 故选：D 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是（ ） A1 B2 C4 D7 【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 3，可得：进入循环的条件为 i3，即 i1，2，3模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】解：当 i1 时，S1+111； 当 i2 时，S1+212； 当 i3 时，S2+314； 当 i4 时，退出循环，输出 S4； 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要
13、用表格法对数据进行管理 7 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 zx+3y 的最大值（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， A（0，2） ，化目标函数 zx+3y，得 y， 由图可知，当直线 y过 A 时，z 有最大值为 6 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题 8 （5 分）如图，一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ） A B8 C D12 【分析】首
14、先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出三棱柱的高，最后求出侧视图的面积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正三棱柱； 如图所示： 所以 BD2， 所以，整理得， 故 AC2AD4， 由于，解得 AE6， 所以侧视图为 S 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式和面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）sin2x 向左平移个单位后，得到函数 yg（x） ，下列关于 yg（x）的说法正确的是（ ） A图象关于点（，0）中心对称 B图象关于 x轴对
15、称 C在区间，单调递增 D在，单调递减 【分析】 根据函数图象的平移变换法则 “左加右减， 上加下减” ， 易得到函数 ysin2x 的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可 【解答】解：函数 ysin2x 的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为 ysin2（x+）sin（2x+） 对于 A，当 x时，ysin（）0图象不关于点（，0）中心对称，A 不正确； 对于 B，当 x时，ysin00，图象不关于 x轴对称，B 不正确 对于 C，ysin（2x+）的周期是 当 x时，函数取得最大值，x时，函数取得最小值， ， 在区间，单调递增，C
16、 正确； 对于 D，ysin（2x+）的周期是 当 x时，函数取得最大值，在，单调递减不正确，D 不正确； 故选：C 【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减” ，是解答本题的关键 10 （5 分）从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率为（ ） A B C D 【分析】 基本事件总数 n6， 选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学包含的基本事件个数m4，由此能求出选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率 【解答】解
17、：从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务， 基本事件总数 n6， 选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学包含的基本事件个数 m4， 则选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率 P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 11 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（2x） ，当2x0 时，f（x）ax1（a0） ，且 f（2）8，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（ ） A10 B12 C4 D12 【分析】根据 f（x）是奇函数，以及 f（
18、x+2）f（2x）即可得出 f（x+8）f（x） ，即得出 f（x）的周期为 8，而根据 f（2）8 及2x0 时，f（x）ax1（a0）即可求出 a，从而得出 f（3）f（1）2，f（4）f（8）0，f（5）f（1） ，f（6）f（2） ，f（7）f（3） ，这样即可求出 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）0，而 20193+2528，从而得出 f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）12 【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x+2）f（2x） ； f（x+4）f（x）f（x） ； f（x+8）f（x） ； f（x）的周期为 8；
19、f（2）8，且2x0 时，f（x）ax1； f（2）a218，且 a0； ； 2x0 时，f（x）； f（3）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，f（5）f（1） ，f（6）f（2） ，f（7）f（3） ，f（8）f（0）0； f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）f（1）+f（2）+f（3）+0f（1）f（2）f（3）+00； 20193+2528； f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）28212 故选：B 【点评】考查奇函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为
20、0 12 （5 分）F1、F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】由双曲线的定义，可得 F1AF2AF1AABF1B2a，BF2BF12a，BF24a，F1F22c，再在F1BF2中应用余弦定理得，a，c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求 【解答】解：因为ABF2为等边三角形，不妨设 ABBF2AF2m， A 为双曲线上一点，F1AF2AF1AABF1B2a， B 为双曲线上一点，则 BF2BF12a，BF24a，F1F22c， 由ABF26
21、0，则F1BF2120， 在F1BF2中应用余弦定理得：4c24a2+16a222a4acos120， 得 c27a2，则 e27，解得 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. 13 （5 分）已知圆 C：x2+y220，则过点 P（2，4）的圆的切线方程是 x+2y10 【分析】根据题意，可得点 P 在圆上，求出直线 CP 的斜率后，得到切线的斜率，再求出切线方程 【解答】解：根据题意，圆
22、 C：x2+y220，而点 P（2，4） ，满足 22+4210，则点 P 在圆上， 则 CP 的斜率 k2，所以切线的斜率 k， 所以切线的方程为 y4（x2） ，即 x+2y10 故答案为：x+2y10 【点评】本题考查了圆的切线方程，注意判断点 P 与圆的位置关系，属于基础题 14 （5 分）曲线 ylnx在 x1 处的切线的倾斜角为 ，则 sin2 【分析】 先求出曲线 ylnx的导数， 得到曲线在 x1 处的斜率， 再根据切线的倾斜角为 ， 得到 tan的值，进一步求出 sin2 的值 【解答】解：由 ylnx，得 y， 曲线 ylnx在 x1 处的切线斜率 k2， 曲线 ylnx在
23、 x1 处的切线的倾斜角为 ， tan2，sin22sincos 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，三角恒等变换，二倍角公式和直线的斜率与倾斜角之间的关系，考查了转化思想，属基础题 15（5 分） 已知直三棱柱 ABCA1B2C2， ABAC2， BC2， AA12， 其外接球的体积为 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理求出ABC 的外接圆半径，进一步求出三棱柱的外接球的半径，最后求出球的体积 【解答】解：根据题意，直三棱柱 ABCA1B2C2，ABAC2，BC2，AA12， 如图所示： 在ABC 中，由于 ABAC2，BC2， 利用余弦定理， 所以：， 故ABC 的外
24、接圆的直径， 所以 R2 则外接球的半径 r 所以 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理，球的半径的求法，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 16 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，a12，Sn（1）an+1，bnlog2an，则数列的前 n项和 Tn 【分析】由题意可得 Sn（1）an+1，n2 时，Sn1（1）an，两式作差，得2，经过检验得出数列an 的通项公式，进而求得，裂项相消求和即可 【解答】解：a12，Sn（1）an+1， n2 时，Sn1（1）an， 两式作差，得 an（1）an+1（1）an， 化简得2， 检验：
25、当 n1 时，S1a1a2，即 a24，2， 所以数列an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列； an2n，bnlog2ann， ， 前 n 项和 Tn1+1 故答案为： 【点评】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前 n 项和，解题过程中需要注意 n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足（2bc）cosAacosC （1）求角 A； （2）若
26、，b+c5，求ABC 的面积 【分析】 （1） （2bc）cosAacosC，由正弦定理得： （2sinBsinC）cosAsinAcosC，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得 cosA，A（0，） 解得 A （2）由余弦定理得 a2b2+c22bccosA，把 a，b+c5，代入可得 bc，可得三角形 ABC 的面积 SbcsinA 【解答】解： （1）在三角形 ABC 中，（2bc）cosAacosC， 由正弦定理得： （2sinBsinC）cosAsinAcosC， 化为：2sinBcosAsinCcosA+sinAcosCsin（A+C）sinB， sinB0，解得 cos
27、AA（0，） A （2）由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， a，b+c5， 13（b+c）23cb523bc， 化为 bc4， 所以三角形 ABC 的面积 SbcsinA4 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a59，S13169 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）利用等差数列的前 n 项和求出数列的公差，求出第 7 项，利用等差数列任意两项的关系求解通项公式 （2）化简通项公
28、式，利用错位相减法求解数列的和即可 【解答】解： （1）由， 得 a713，2da7a54，d2， 故 an9+（n5） 22n1 （2）， ， ， 两式相减可得 ， 故 【点评】 本题考查数列的递推关系式的应用， 数列求和， 等差数列的性质， 考查转化思想以及计算能力，是中档题 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，M 在棱 PD 上，且 PMPD，在底面 ABCD 中，BABC，DADC，AC2，O 为对角线 AC，BD 的交点 （1）证明：OM平面 PBC； （2）若 PA2，求三棱锥 MPBC 的体积 【分析】 （1）由题意BAC，DAC 都为等腰三角形，得到
29、 ACBD，由条件得出，借助线面平行的判定定理即可得出结论； （2）由点 M 到平面 PBC 的距离等于点 O 到平面 PBC 的距离，得到三棱锥 MPBC 的体积等于三棱锥OPBC 的体积，再利用等体积法求出体积 【解答】解： （1）证明：在底面 ABCD 中，BAC，DAC 都为等腰三角形，故对角线 ACBD， 所以， 由 M 在棱 PD 上，且，知， 所以在PBD 中有，所以 OMPB， 又 OM平面 PBC，PB平面 PBC，所以 OM平面 PBC （2）由（1）可知：点 M 到平面 PBC 的距离等于点 O 到平面 PBC 的距离， 所以三棱锥 MPBC 的体积等于三棱锥 OPBC
30、的体积， 而 PA平面 ABCD，所以三棱锥 OPBC 的高 hPA2， 所以， 故三棱锥 MPBC 的体积为 1 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，等体积法求体积，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点过椭圆右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 OAOB，求直线 l 的方程 【分析】 （1）根据题目所给四边形的面积得到，结合点在椭圆上列方程，由此求得a2，b2，从而求得椭圆 C 的方程 （2）当直线 l 斜率不存在时，求得 A，B 的坐标，判断出 OAOB 不成立 当直
31、线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk （x1） ， 将直线 l 的方程与椭圆方程联立， 结合列方程， 解方程求得 k 的值，由此求得直线 l 的方程 【解答】解： （1）四边形的面积为， ， 又点在 C：上，则， a22，b21，椭圆的方程为 （2）由（1）可知椭圆 C 的右焦点 F（1，0） ， 当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1， 则、，OAOB 不成立，舍， 当直线 l 斜率存在时，设直线方程为 yk（x1） ， ，代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x24k2x+2（k21）0， 因为 F 在椭圆内，所以0 恒成立， 设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，
32、则， 又， ， 即，解得， 则直线 l 的方程为 【点评】本题考查了求解有关直线和圆锥曲线的位置关系的问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题 21 （12 分）已知 f（x）（x1）ex （）当 ae 时，求 f（x）的极值； （）若 f（x）有 2 个不同零点，求 a 的取值范围 【分析】 （）代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可； （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定 a 的范围即可 【解答】解： （）当 ae 时，f（x）x（exe） ，（1 分） 令 f（x）0，得 x0 或
33、1，x0，f（x）0，f（x）为增函数， 0 x1，f（x）0，x1，f（x）0，f（x）为增函数（3 分） f（x）极大值f（0）1，f（x）极小值f（1）（4 分） （）f（x）x（ex+a） ， （1）当 a0 时，f（x）（x1）ex，只有个零点 x1；（5 分） （2）当 a0 时，ex+a0， x（，0） ，f（x）0，f（x）为减函数， x（0，+） ，f（x）0，f（x）为增函数， f（x）极小值f（0）1，而 f（1）0， 当 x0，x0（0，1） ，使 f（x0）0， 当 x0 时，ex1，（x1）exx1， f（x）（x1）ex+ax2x1+ax2ax2+x1， 取 x1
34、0， f（x）f（x1）0，f（x1）f（0）0， 函数有 2 个零点（7 分） （3）当 a0 时，f（x）x（ex+a） ， 令 f（x）0，得 x0，xln（a） ， ln（a）0，即 a1 时，当 x 变化时，f（x） ，f（x）变化情况是： x （，0） 0 （0， ln （a） ） ln（a） （ln （a） ， +） f（x） + 0 0 + f（x） 递增 1 递减 递增 f（x）极大值f（0）1，函数 f（x）至多有一个零点，不符合题意； （8 分） a1 时，ln（a）0，f（x）在 R 单调递增， f（x）至多有一个零点，不合题意（9 分） 当 ln（a）0 时，即以 a
35、（1，0）时，当 x 变化时 f（x） ，f（x）的变化情况是： x （，ln（a） ） ln（a） （ln （a） ， 0） 0 （0，+） f（x） + 0 0 + f（x） 递增 递减 1 递增 x0，a0 时，f（x）（x1）ex+ax20，f（0）1， 函数 f（x）至多有个零点（11 分） 综上：a 的取值范围是（0，+） （12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题 （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
36、计分.（本题（本题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，圆 C 的参数方程为（ 为参数） （1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的极坐标方程； （2）已知点 M（1，0） ，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 xy10
37、 圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标方程为： （x2）2+y24转换为极坐标方程为：4cos （2）把直线 l 的参数方程为（t 为参数）代入（x2）2+y24， 得到， 所以，t1t23， 所以|MA|MB| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x，yR，且 x+y1 （1）求证：x2+3y2； （2）当 xy0 时，不等式|恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由柯西不等式得x2+（12+（）2可得 x2+3y2； （2）求得的最小值为 4，即解不等式|a2|+|a+1|4 即可， 【解答】解： （1）由柯西不等式得x2+（12+（）2 （x2+3y2）（x+y）2，当且仅当 x3y 时取等号 x2+3y2； （2）（x+y） （）2+4，当且仅当 xy时取等号 |a2|+|a+1|4， 当 a2 时，2a14，可得 2， 当1a2 时，34，可得1a2， 当 a1 时，2a+14，可得a1， a 的取值范围为：， 【点评】本题考查了柯西不等式的应用，解绝对值不等式，属于中档题