1、2021 年江苏省中考数学真题分类专题：年江苏省中考数学真题分类专题：圆圆 一、一、 选择题选择题 1. 如图，正方形ABCD内接于Oe，线段MN在对角线BD上运动，若Oe的面积为2，1MN ，则AMNV周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算 【详解】如图所示， （1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C，连接CN，则=CN AN，过A点作CN的平行线AG，过C点作BD的平行线CG，两平行线相交于点G，AG与BD相交于点 M /,/,CN MG NM CGQ 四边形CNMG是平行四边形 M
2、GCN MGAN 则=1AMNCANAMNMMGAMV （2）找一点N， 连接CN，则=CNAN，过G点作CN的平行线MG，连接AM则= 1AM NCANAMN MANAMCGANAMNMANAMV 此时1 1ANAMANAM AMNAM NCCVV （1）中AMNV周长取到最小值 Q 四边形CNMG是平行四边形 CNMNMA Q 四边形ABCD是正方形 COOA，ACBD 又QCNMNMA，NOCMOA，COOA CNOAOM AASVV ONOM 又ACBDQ ANAM ANMV是等腰三角形 22Sr，则圆的半径2r ， 1111222OMMN 2222219+224AMrOM 32AM
3、3=2+1=42AMNCV 故选：B 【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法关键是要找到AMNV周长取最小值时MN、的位置 2. 如图，BAC36，点 O 在边 AB 上，O 与边 AC 相切于点 D，交边 AB 于点 E，F，连接 FD，则AFD等于（ ） A. 27 B. 29 C. 35 D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】连接 OD，根据切线的性质得到ADO90，根据直角三角形的性质得到AOD903654，根据圆周角定理即可得到结论 【详解】解：连接 OD， O 与边 AC 相切于点 D， ADO90， BAC36， AOD903654， 11542722AFDAOD，
4、 故选：A 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 二、填空题二、填空题 1. 如图，AB是Oe的弦，C是AB的中点，OC交AB于点 D若8cm,2cmABCD，则Oe的半径为_cm 【答案】5 【解析】 【分析】连接 OA，由垂径定理得 AD=4cm，设圆的半径为 R，根据勾股定理得到方程2224(2)RR，求解即可 【详解】解：连接 OA， C 是AB的中点， OCAB 14cm2ADAB 设Oe的半径为 R， 2cmCD (2)cmODOCCDR 在Rt OAD中，222OAADOD，即2224(2)RR， 解得，5R 即Oe的半径为 5cm
5、 故答案为：5 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出 OC是 AB的垂直平分线是解答此题的关键 2. 如图，,FA GB HC ID JE是五边形ABCDE外接圆的切线，则BAFCBGDCHEDIAEJ_ 【答案】180 【解析】 【分析】 由切线的性质可知切线垂直于半径， 所以要求的 5个角的和等于 5个直角减去五边形的内角和的一半 【详解】如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点， 则OABOBCOCDODEOEA OBAOCBODCOEDOAE 1(52) 1802702 BAFCBGDCHEDIAEJ 5 90()OABOBCOCDODEOEA 450270 18
6、0 故答案为：180 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式2180()n（n为多边形的边数）,由半径相等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键 3用半径为 50，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2r， 解得 r 故答案为： 4. 如图，OA、OB是Oe的半径，点 C在Oe上，30AOB，40OBC，则OAC_ 【答案】25 【解析】 【分析】连接 OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到BOC
7、=100，求出AOC，根据等腰三角形的性质计算 【详解】解：连接 OC， OC=OB， OCB=OBC=40， BOC=180 -40 2=100 ， AOC=100 +30 =130 ， OC=OA， OAC=OCA=25， 故答案为：25 【点睛】 本题考查的是圆的基本性质、 等腰三角形的性质， 三角形内角和定理， 掌握三角形内角和等于 180是解题的关键 5. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，CAB55，则D 的度数是_ 【答案】35 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出ACB90，再结合图形由直角三角形的性质得到B90CAB35，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相
8、等推出DB35 【详解】解：AB 是O 的直径， ACB90， CAB55， B90CAB35， DB35 故答案为：35 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 6. 如图，在O内接四边形ABCD中，若100ABC，则ADC_ 【答案】80 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADCABC即可 【详解】解：ABCD是O 的内接四边形，ABC100 ， ABC+ADC=180 ， 18018010080ADCABC 故答案为80 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的
9、性质 7. 已知圆锥的底面圆半径为4， 侧面展开图扇形的圆心角为120 ， 则它的侧面展开图面积为_ 【答案】48 【解析】 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可 【详解】解：底面圆的半径为 4， 底面周长为 8， 侧面展开扇形的弧长为 8， 设扇形的半径为 r， 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120， 120180r8， 解得：r12， 侧面积为 41248， 故答案为：48 【点睛】 考查了圆锥的计算， 解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大 三、解答题三、解答题 1. 如图，已知 P是Oe外一点用两
10、种不同的方法过点 P 作Oe的一条切线要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】方法一：作出 OP的垂直平分线，交 OP于点 A，再以点 A 为圆心，PA 长为半径画弧，交Oe于点Q，连结 PQ，PQ即为所求 方法二：作出以 OP为底边的等腰三角形 BPO，再作出OBP 的角平分线交 OP 于点 A，再以点 A 为圆心，PA 长为半径画弧，交Oe于点 Q，连结 PQ，PQ即为所求 【详解】解： 作法：连结 PO，分别以 P、O 为圆心，大于12PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交 PO 于点 A；以点 A为圆心，PA
11、 长为半径画弧，交Oe于点 Q，连结 PQ，PQ即为所求 作法：连结 PO，分别以 P、O 为圆心，以大于12PO 的长度为半径画弧交 PO 上方于点 B，连结 BP、BO；以点 B为圆心，任意长为半径画弧交 BP、BO于 C、D 两点，分别以于 C、D两点为圆心，大于12CD 的长度为半径画弧交于一点，连结该点与 B 点，并将其反向延长交 PQ于点 A，以点 A 为圆心，PA长为半径画弧，交Oe于点 Q，连结 PQ，PQ 即为所求 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图解题的关键是熟悉基
12、本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 2如图，四边形 ABCD 内接于O，12，延长 BC 到点 E，使得 CEAB，连接 ED （1）求证：BDED； （2）若 AB4，BC6，ABC60，求 tanDCB 的值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 内接于O， ADCE， 12， ， ADDC， 在ABD 和DCE 中， ， ABDDCE（SAS） ， BDED； （2）解：过点 D 作 DMBE 于 M， AB4，BC6，CEAB， BEBC+EC10， BDED，DMBE， BMMEBE5， CMBCBM1， ABC60，12， 230， DMB
13、Mtan25， tanDCB 3如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，AC 与 BD 交于点 E，PB 切O 于点 B （1）求证：PBAOBC； （2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE 【分析】 （1）根据圆周角定理和切线的性质证得ACB+BACPBC+ABO90，结合等腰三角形的性质即可证得结论； （2）由三角形外角的性质求出AOBACB+OBC40，得到 AOBACD，由圆周角的性质得到CDEBAO，根据相似三角形的判定即可证得OABCDE 【解答】证明： （1）AC 是O 的直径， ABC90， ACB+BAC90， PB 切O 于点 B， PBA+ABO9
14、0， OAOBOC， BAOABO，OBCACB， OBC+ABOPBC+ABO90， PBAOBC； （2）由（1）知，PBAOBCACB， PBA20， OBCACB20， AOBACB+OBC20+2040， ACD40， AOBACD， ， CDECDBBACBAO， OABCDE 4. 如图，在 Rt AOB中，AOB=90 ，以点 O为圆心，OA为半径的圆交 AB于点 C，点 D在边 OB上，且CD= BD （1）判断直线 CD与圆 O的位置关系，并说明理由； （2）已知24tan7DOC，AB=40，求Oe的半径 【答案】 （1）直线 CD 与圆 O 相切，理由见解析； （2）4
15、 2. 【解析】 【分析】 （1）连接,OC 证明90 ,DCBOCA可得90 ,OCD 从而可得答案； （2）由24,tan,7CDOCCDDOCOC 设24 ,CDx 则7 ,OCx 再求解25 ,7 ,ODx OAx 再表示49 ,OBODBDx 再利用222,AOBOAB 列方程解方程，可得答案 【详解】解： （1）直线 CD与圆 O相切，理由如下： 如图，连接,OC 90 ,AOBOAOCQ 90 ,BOACOACOCA ,CDBDQ ,BDCB 90 ,DCBOCA 1809090 ,OCD ,OCCD OCQ为Oe的半径， CD是Oe的切线 （2）24,tan,7CDOCCDDO
16、COCQ 设24 ,CDx 则7 ,OCx 2225 ,7 ,ODOCCDx OAOCx ,CDBDQ 24 ,BDx 49 ,OBODBDx 40,90 ,ABAOBQ 222,AOBOAB 22274940 ,xx 232,49x 124 24 2,77xx （负根舍去） Oe的半径为：4 2774 2.7OCx 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键 5. 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在边 BC 上，O 经过 A，B，P 三点 （1）若 BP3，判断
17、边 CD 所在直线与O 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，E 是 CD 的中点，O 交射线 AE 于点 Q，当 AP 平分EAB 时，求 tanEAP 的值 【答案】 （1）相切，见解析； （2）512 【解析】 【分析】 （1）如图 1 中，连接 AP，过点 O 作 OHAB 于 H，交 CD 于 E求出 OE 的长，与半径半径，可得结论 （2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接 PQ利用面积法求出 BP，可得结论 【详解】解： （1）如图 11 中，连接 AP，过点 O 作 OHAB 于 H，交 CD 于 E 四边形 ABCD 是正方形， ABAD4，ABP9
18、0， AP22ABBP22435， OHAB， AHHB， OAOP，AHHB， OH12PB32， DDAHAHE90， 四边形 AHED矩形， OECE，EHAD4， OEEHOH43252， OEOP， 直线 CD 与O 相切 （2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接 PQ DECT90，DEEC，AEDTEC， ADETCE（ASA） ， ADCT4， BTBC+CT4+48， ABT90， AT22ABBT224845， AP 是直径， AQP90， PA 平分EAB，PQAQ，PBAB， PBPQ， 设 PBPQx， SABTSABP+SAPT， 124812
19、45x+124x， x252， tanEAPtanPABPBAB512 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点 6. 如图，O为线段PB上一点，以O为圆心OB长为半径的O交PB于点A，点C在O 上，连接PC，满足2PCPA PB （1）求证：PC是O 的切线； （2）若3ABPA，求ACBC的值 【答案】 （1）见解析； （2）12 【解析】 【分析】(1) 连接OC，把2PCPA PB转化为比例式，利用三角形相似证明90PC
20、O即可； (2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可 【详解】 （1）证明：连接OC 2PCPA PB PCPBPAPC， 又P=P， PACPCBVV PACPCB，PCAPBC PCOPCBOCB PCOPACOCB 又OCOB OCBOBC PCOPACABCACB 已知C是Oe上的点，AB 是直径， 90ACB， 90PCO ACPO， PC是圆的切线； （2）设APa，则3ABa，1.5ra 1.5OCa 在RtPCO中 2.5OPa，1.5OCa， 2PCa 已知PACPCBVV， ACPABCPC 12ACBC 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟
21、练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键 7. 如图，在 RtABC 中，ACB90，点 E 是 BC 的中点，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，连接 DE （1）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 CD3，DE52，求O 的直径 【答案】 （1）相切，理由见解析； （2）154 【解析】 【分析】 （1）连接 DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由BDC90，E 为 BC 的中点得到 DECEBE， 则利用等腰三角形的性质得EDCECD， ODCOCD， 由于OCDDCEACB90，所以EDCODC90，即
22、EDO90，于是根据切线的判定定理即可得到 DE 与O 相切； （2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论 【详解】解:（1）证明：连接 DO，如图， BDC90，E 为 BC 的中点， DECEBE， EDCECD， 又ODOC， ODCOCD， 而OCDDCEACB90， EDCODC90，即EDO90， DEOD， DE 与O 相切； （2）由（1）得，CDB90， CEEB， DE12BC， BC5， BD22BCCD22534， BCABDC90，BB， BCABDC， ACCDBCBD， 3AC54， AC154， O 直径的长为154 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过
23、半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质 8. 如图，Rt ABCV中，90ABC，以点 C 为圆心，CB为半径作Ce，D为Ce上一点，连接AD、CD，ABAD，AC平分BAD （1）求证：AD是Ce的切线； （2）延长AD、BC相交于点 E，若2EDCABCSSVV，求tan BAC的值 【答案】 （1）见解析； （2）22 【解析】 【分析】 （1）利用 SAS 证明BACDAC，可得90ADCABC，即可得证； （2）由已知条件可得EDCEBA，可
24、得出:1: 2DC BA，进而得出:1: 2CB BA即可求得tan BAC； 【详解】 （1）AC平分BAD， BACDAC ABAD，ACAC， BACDAC 90ADCABC CDAD， AD是Ce的切线 （2）由（1）可知，90EDCABC， 又EE ， EDCEBA 2EDCABCSS，且BACDAC， :1:2EDCEBASS， :1: 2DC BA DCCB， :1: 2CB BA 90ABC 2tan2CBBACBA 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键 9. 如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90BAD
25、，CBCD，连接BD，以点 B为圆心，BA长为半径作Be，交BD于点 E （1）试判断CD与Be的位置关系，并说明理由； （2）若2 3AB ，60BCD，求图中阴影部分的面积 【答案】 （1）相切，理由见解析； （2）2 3 【解析】 【分析】 （1）过点 B作 BFCD，证明ABDFBD，得到 BF=BA，即可证明 CD 与圆 B 相切； （2）先证明BCD是等边三角形，根据三线合一得到ABD=30 ，求出 AD，再利用 SABD-S扇形ABE求出阴影部分面积 【详解】解： （1）过点 B作 BFCD， ADBC， ADB=CBD， CB=CD， CBD=CDB， ADB=CDB，又 BD
26、=BD，BAD=BFD=90 ， ABDFBD（AAS） ， BF=BA，则点 F 在圆 B上， CD与圆 B相切； （2）BCD=60 ，CB=CD， BCD是等边三角形， CBD=60 BFCD， ABD=DBF=CBF=30 ， ABF=60 ， AB=BF=2 3， AD=DF=tan30AB=2， 阴影部分的面积=SABD-S扇形ABE =2302 312 322360 =2 3 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线 10. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份
27、活动单： 已知线段2BC ，使用作图工具作30BAC，尝试操作后思考： （1）这样的点 A唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点 B、C除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为_； ABCV面积的最大值为_； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们记为A，请你利用图 1 证明30BAC； （3） 请你运用所学知识， 结合以上活动经验， 解决问题：
28、 如图 2， 已知矩形ABCD的边长2AB ，3BC ，点 P 在直线CD的左侧，且4tan3DPC 线段PB长的最小值为_； 若23PCDPADSSVV，则线段PD长为_ 【答案】 （1）2；32； （2）见解析； （3）9754；7 24 【解析】 【分析】 （1）设 O为圆心，连接 BO，CO，根据圆周角定理得到BOC=60 ，证明OBC是等边三角形，可得半径； 过点 O 作 BC的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D，以 BC为底，则当 A与 D 重合时，ABC的面积最大，求出 OE，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长 BA，交圆于点 D，连接 CD，利用三角形外角的性质和圆
29、周角定理证明即可； （3）根据4tan3DPC，连接 PD，设点 Q为 PD中点，以点 Q为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧 CPD 上，连接 BQ，与圆 Q 交于 P，可得 BP即为 BP 的最小值，再计算出 BQ 和圆 Q的半径，相减即可得到 BP； 根据AD， CD和23PCDPADSSVV推出点P在ADC的平分线上， 从而找到点P的位置， 过点C作CFPD，垂足为 F，解直角三角形即可求出 DP 【详解】解： （1）设 O为圆心，连接 BO，CO， BAC=30 ， BOC=60 ，又 OB=OC， OBC是等边三角形， OB=OC=BC=2，即半径为 2； ABC 以 B
30、C 为底边，BC=2， 当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC的面积最大， 如图，过点 O 作 BC的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D， BE=CE=1，DO=BO=2， OE=22BOBE=3， DE=32， ABC的最大面积为12322 =32； （2）如图，延长 BA，交圆于点 D，连接 CD， 点 D在圆上， BDC=BAC， BAC=BDC+ACD， BACBDC， BACBAC，即BAC30 ； （3）如图，当点 P在 BC上，且 PC=32时， PCD=90 ，AB=CD=2，AD=BC=3， tanDPC=CDPC=43，为定值， 连接 PD，设点 Q为 PD中点，以
31、点 Q为圆心，12PD为半径画圆， 当点 P 在优弧 CPD 上时，tanDPC=43，连接 BQ，与圆 Q交于 P， 此时 BP即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QEBE，垂足为 E， 点 Q是 PD中点， 点 E为 PC中点，即 QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34， BE=BC-CE=3-34=94， BQ=22BEQE=974， PD=22CDPC=52， 圆 Q的半径为155224， BP=BQ-PQ=9754，即 BP最小值为9754； AD=3，CD=2，23PCDPADSSVV， 则23CDAD， PAD中 AD 边上的高=PCD 中 CD边上的高， 即点 P到 AD的距离和点 P到 CD的距离相等， 则点 P到 AD和 CD 的距离相等，即点 P 在ADC 的平分线上，如图， 过点 C作 CFPD，垂足F， PD平分ADC， ADP=CDP=45 ， CDF为等腰直角三角形，又 CD=2， CF=DF=22=2， tanDPC=CFPF=43， PF=3 24， PD=DF+PF=3 224=7 24 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点 P的轨迹