1、考点 12 函数的图象 【命题解读】【命题解读】 关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换。 （2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象 关于x轴对称yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于y轴对称y
2、f(x)的图象； yf(x)的图象 关于原点对称yf(x)的图象； yax(a0，且a1)的图象 关于直线yx对称ylogax(a0，且a1)的图象. (3)伸缩变换 yf(x) 纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax). yf(x) 横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍yAf(x). (4)翻折变换 yf(x)的图象 x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象； yf(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象. 常用结论与微点提醒 1.记住几个重要结论 (1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称
3、. (2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称. (3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是 1，常需把系数提出来，再进行变换. 3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行. 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）函数 3ln xf xx的部分图象是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 33lnln,xxf xfxf xxx ， f x为奇函数，排除 B 当1x 时， 3ln0 xf xx恒成立，排除 CD 故
4、答案选 A 2、.(2020 深圳调研)已知函数 f(x)(xa)(xb)(其中 ab)的图象如图所示，则函数 g(x)axb 的图象是( ) 【答案】 C 【解析】 由函数 f(x)的图象知 a1，1b0. 因此选项 C 满足要求. 3、已知函数 f(x)logax(0a1)，则函数 yf(|x|1)的图象大致为( ) A BC D 【答案】A 【解析】 先作出函数 f(x)logax(0a1)的图象，当 x0 时，yf(|x|1)f(x1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移 1 个单位得到，又函数 yf(|x|1)为偶函数，再将函数 yf(x1)(x0)的图象关于 y 轴对称翻折到 y
5、轴左边，得到 x0 时的图象故选A. 4、定义：在平面直角坐标系xOy中，若存在常数(0) ，使得函数( )yf x的图象向右平移个单位长度后，恰与函数( )yg x的图象重合，则称函数( )yf x是函数( )yg x的“原形函数”下列四个选项中，函数( )yf x是函数( )yg x的“原形函数”的是( ) Af 2( ) xx，2( )21g xxx Bf ( )sinx x，( )cosg x x Cf ( )xln x，( )g xln 2x Df 1( )( )3xx ，1( )2( )3xg x 【答案】ABD 【解析】由2( )f xx，2( )(1)g xx知，( )f x向
6、右移动一个单位可得到( )g x，故选项A正确； 由3( )sin , ( )cossin()2f xx g xxx知，( )f x向右移动32个单位可得到( )g x，故选项B正确； 由1( ), ( )()22f xlnx g xlnxlnxlng知，( )f x项下移动2ln个单位可得到( )g x，故选项C不正确； 由31321211( )( )11133( )( ) , ( )2( )( )13331( )23xxx logxxlogf xg x知，( )f x向右移动3log 2个单位可得到( )g x， 故选项D正确； 故选：ABD 5、已知函数 f(x)|x|(xa)，a0.
7、(1)作出函数 f(x)的图象； (2)写出函数 f(x)的单调区间； (3)当 x0，1时，由图象写出 f(x)的最小值 【解析】(1)f(x)x（xa），x0，x（xa），x0，其图象如图所示 (2)由图知，f(x)的单调递增区间是(，0)，a2， ；单调递减区间是0，a2. (3)由图象知，当a21，即a2 时，f(x)minf(1)1a； 当 0a21，即 0a2 时，f(x)minfa2a24. 综上，f(x)mina24，0a2，1a，a2. 考向一 作函数的图象 例 1、作出下列函数的图象： (1)(1)y22x； (2)ylog13 3(x2)； (3)y|log12(x)|.
8、 【解析】 ：(1)作函数 y2x的图象关于 x 轴对称的图象得到 y2x的图象，再将图象向上平移 2 个单位，可得 y22x的图象如图 1； (2)因为 ylog133(x2)log33(x2)log3(x2)1. 所以可以先将函数 ylog3x 的图象向左平移 2 个单位， 可得 ylog3(x2)的图象， 再作图象关于 x 轴对称的图象，得 ylog3(x2)的图象，最后将图象向下平移 1 个单位，得 ylog3(x2)1 的图象， 即为 ylog133(x2)的图象如图 2； (3)作 ylog12x 的图象关于 y 轴对称的图象，得 ylog12(x)的图象，再把 x 轴下方的部分翻
9、折到 x 轴上方，可得到 y|log12(x)|的图象如图 3. 变式 1、分别画出下列函数的图象： (1)y|lg x|； (2)y2x2； (3)yx22|x|1; (4)yx2x1 【解析】 (1)y lg x x1，lg x 0 x1图象如图 (2)将 y2x的图象向左平移 2 个单位图象如图 (3)y x22x1 x0 x22x1 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y的图象，如图实线部分 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移 1 个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即得函数 y|log2(x1)|的图象，如图. (3)y2x1x121x1， 故函数图象可由
10、y1x的图象向右平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位而得，如图. (4)y22x21,021,0 xxxxx ， ，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，如图. 方法总结：1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域 (2)化简函数解析式 12x12x12x(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等) (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象 2 采用图象变换法时， 变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点， 以显示
11、图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象 考向二 图象的辨识 例 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）函数ln( )xf xxx的大致图象为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 函数的定义域为(,0)(0,)U， |()()( )lnxln xfxxxf xxx ， 则函数( )f x是奇函数， 图象关于原点对称， 排除B，D， 当0 x且0 x，( )f x ，排除C. 故选：A. 变式 1、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）函数2ln1cos2yxxx的图象可能是（ ）
12、 A B C D 【答案】D 【解析】 由于210 xx ，所以( )f x的定义域为R， 因为2()ln()1) cos( 2 )fxxxx 2ln(1) cos2xxx 21ln(1)cos2xxx 2ln(1) cos2xxx ( )f x 所以( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除 A，B 因为2ln1cos02222f， 22( )ln(1) cosln(1)1f ， 23333ln1cos02222f 所以排除 C 故选：D 变式 2、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）函数 f(x)=2sincosxxxx在，的图象大致为 A B C D 【答案】D 【解析】
13、 由22sin()()sin()( )cos()()cosxxxxfxf xxxxx ，得( )f x是奇函数，其图象关于原点对称又221422()1,2()2f2( )01f 故选 D 变式 3、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）若函数 yf x的大致图象如图所示，则 f x的解析式可以为（ ） A 22xxxfx B 22xxxfx C 22xxf xx D 22xxf xx 【答案】C 【解析】 对四个选项解析式分析发现 B，D 两个均为偶函数，图象关于 y 轴对称，与题不符，故排除； 极限思想分析，0 ,222,022xxxxxx，A 错误； 220 ,222,xxxxxx，C
14、 符合题意. 故选：C 变式 4、（2020 届山东省潍坊市高三上期末） 函数 yf x与 yg x的图象如图所示， 则 yf xg x的部分图象可能是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 由图象可知 yf x的图象关于y轴对称，是偶函数， yg x的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域0 x x ， yf xg x 的定义域是0 x x ，并且是奇函数，排除 B， 又0,2x时， 0f x ， 0g x ， 0f xg x，排除 C,D. 满足条件的只有 A. 故选：A 方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下
15、位置 (2)从函数的单调性， 判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性， 判断图象的对称性 (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项 考向三 函数图象的应用 例 3、 （2020 全国高三专题练习（文） ）函数 22log,1,1 ,1,x xf xf xx，若方程 2f xxm有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） A,4 B,4 C2,4 D2,4 【答案】A 【解析】 令 2g xxm,画出 f x与 g x的图象, 平移直线,当直线经过1,2时只有一个交点,此时4m,向右平移,不再符合条件,故4m 故选：A 变式 1、 （2020 届山东省滨
16、州市高三上期末）已知31log3aa，133logbb，131log3cc ，则 a，b，c 的大小关系是( ) Acba Babc Cbca Dbac 【答案】C 【解析】 在同一直角坐标系内，作出函数13xy，3logyx，3xy ，13logyx的图象如下： 因为31log3aa，133logbb，131log3cc ， 所以a是13xy与3logyx交点的横坐标；b是3xy 与13logyx交点的横坐标；c是13xy与13logyx交点的横坐标； 由图象可得：bca. 故选：C. 变式 2、函数 f(x)2sin xsinx2 x2的零点个数为_. 【答案】2 【解析】f(x)2sin
17、 xcos xx2sin 2xx2，函数 f(x)的零点个数可转化为函数 y1 sin 2x 与 y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出 y1sin 2x 与 y2x2的图象如图所示： 由图可知两函数图象有 2 个交点，则 f(x)的零点个数为 2. 变式 3、已知函数 f(x)x|mx|(xR)，且 f(4)0 (1)求实数 m 的值； (2)作出函数 f(x)的图象； (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间； (4)若方程 f(x)a 只有一个实数根，求 a 的取值范围 【解析】 (1)f(4)0，4|m4|0，即 m4 (2)f(x)x|x4| xx4x224，x4，xx4x22
18、4，x4 或 a0 时，f(x)的图象与直线 ya 只有一 个交点，方程 f(x)a 只有一个实数根，即 a 的取值范围是(，0)(4，) 方法总结： 函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的零点等 (1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则 (2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于
19、g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想 1、（2020 天津 3）函数241xyx的图象大致为（ ） A B C D 【答案】A 【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象 【解析】由函数的解析式可得： 241xfxf xx ，则函数 f x为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 CD 错误； 当1x 时，4201 1y ，选项 B 错误 故选 A 2、 （2019 全国理 7）函数在的图象大致为 A B C D 【答案】B 【解析】 因为，所以是上的奇函数，因此排除 C，又，因此排除 A，D故选 B 3、(2018 全国
20、卷)函数2( )xxeef xx的图象大致为 【答案】B 3222xxxy6,6332()2()( )2222xxxxxxfxf x ( )f x6,61182(4)721f【解析】 当0 x时， 因为0 xxee， 所以此时2( )0 xxeef xx， 故排除 A D； 又1( 1 )2 fee，故排除 C，选 B 4、(2018 全国卷)设函数2 ,0( )1,0 xxf xx，则满足(1)(2 )f xfx的x的取值范围是 A(, 1 B(0,) C( 1,0) D(,0) 【答案】D 【解析】当0 x时，函数( )2xf x是减函数，则( )(0)1f xf，作出( )f x的大致图
21、象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2 )f xfx，则需102021xxxx 或1020 xx，所以0 x，故选 D 5、(2015 安徽)函数 2axbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是 A0a，0b，0c B0a，0b，0c C0a，0b，0c D0a，0b，0c 【答案】C 【解析】2( )()axbf xxc的图象与, x y轴分别交于,N M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，0bxa ，20byc，故0,0ab，又函数图象间断的横坐标为正，0c ，故0c xyO6、已知函数222 ,0( )|,0 xx xf xlog x x，若1234xxxx，且1234( )()( )()f xf xf xf x，则下列结论正确的是( ) A121xx B341x x C412x D123401x x x x 【答案】BCD 【解析】由函数222 ,0( )|,0 xx xf xlog x x，作出其函数图象： 由图可知，122xx ，121x ； 当1y 时，2|log| 1x ，有1,22x ； 所以341122xx ； 由34()()f xf x有2324|log| |log|xx，即2324loglog0 xx； 所以341x x ； 则21 2341 2111( 2)(1)1 (0,1)x x x xx xxxx ； 故选：BCD