1、第第 14 章章 函数的奇偶性函数的奇偶性 【知识衔接】 初中知识回顾 正比例函数：图象关于原点对称 一次函数：当0b时，图象关于原点对称 反比例函数：图象关于原点对称 二次函数：当0b时，图象关于y轴对称 高中知识链接 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 【经典题型】 初中经典题型 1已知点2,Am、2,3B n是正比例函数ykx图象上关于原点对称的两点，则k的值
2、为( ) A 13 B 13 C 3 D 3 【答案】A 故选 A 2反比例函数myx的图象如图所示，以下结论： 常数 m1； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； 若 A(1，h)，B(2，k)在图象上，则 hk； 若 P(x，y)在图象上，则 P(x，y)也在图象上 其中正确的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】反比例函数的图象位于一三象限， m0 故错误； 当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，故错误； 将 A(1，h)，B(2，k)代入myx得到 h=m，2k=m， m0 hk 故正确； 将 P(x，y)代入myx得到 m=xy，将 P
3、(x，y)代入myx得到 m=xy， 故 P(x，y)在图象上，则 P(x，y)也在图象上 故正确，故选：C 3已知点12, y， 23, y均在抛物线21yx上，则1y、2y 的大小关系为( ) A12yy B12yy C12yy D12yy 【答案】A 【解析】抛物线21yx开口向上，对称轴为直线0 x(即 y 轴)，点12y，比点23y ，到对称轴的距离近， 12yy 点睛：(1)当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；(2)当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大 4若在同一直角坐标系中，作， ，的图像，则它们( ) A 都关于轴对称 B 开口方
4、向相同 C 都经过原点 D 互相可以通过平移得到 【答案】A 故选 A 高中经典题型 1下列函数为奇函数的是( ) Ay x Byex Cycos x Dyexex 【答案】D 【解析】A，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cosyx为偶函数 D 中函数定义域为 R，又 ()()xxxxfxeeeef x ，xxyee 为奇函数 2已知定义域为R的函数 122xxaf xb是奇函数，求, a b的值 【答案】12ab 【解析】 ,fxf xQ112222xxxxaabb ， 112222xxxxbaba 42222222xxxxabbaab ，4201222abababab 3若函数( ), (
5、 )f x g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足( )( )xf xg xe，则有( ) A 230ffg B 032gff C 203fgf D 023gff 【答案】D 【解析】由题意，得 xxf xg xef xg xe，解得 22xxxxeef xeeg x 故(0)1g ，( )f x为R上的增函数， 023ff，故 023gff 4若函数是奇函数，函数是偶函数，则( ) A函数是奇函数 B函数是奇函数 C函数是奇函数 D是奇函数 【答案】B 【解析】 若函数是奇函数， 函数是偶函数， 对于选项 A 设，则函数为非奇非偶函数，对于选项 B设，则，故函数是奇函数，选项 B 正确；对
6、于选项 C设，则函数是偶函数，故选项 C 不正确；对于选项 D设， 是偶函数，故选项 D 不正确；综上，正确的只有选项 B,故选 B 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 f xxR g xxR f xg x f xg x fg x gf x f xxR g xxR 2,f xx g xx f xg x h xf xg x hxfxgxh x f xg x 2,sinf xx g xx fg x 2,sinf xx g xx gf x1抛物线 y2x23 的顶点在( ) A 第一象限 B 第二象限 C x 轴上 D y 轴 【答案】D 【解析】试题分析：b=0，抛物线的对称轴是 y 轴
7、，所以顶点在 y 轴上，故选 D 2 图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥， 当水面在 l 时， 拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m， 水面宽 4m 如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( ) Ay=2x2 By=2x2 Cy=12x2 Dy=12x2 【答案】C 3如图，直线 y=x 与双曲线0kykxf的一个交点为 A，且 OA=2，则 k 的值为 【答案】2 【解析】点 A在直线 y=x，且 OA=2， 点 A的坐标为22， ， 把22，代入kyx得， 22k， k=2 4如图，Rt ABC 的两个锐角顶点 A，B 在函数 y=kx(x0)的图象上，ACx 轴，AC=2，若
8、点 A 的坐标为(2，2)，则点 B 的坐标为_ 【答案】(4，1) 【解析】试题分析：点 A(2，2)在函数(x0)的图象上，2=，得 k=4，在 Rt ABC 中，ACx 轴，AC=2，点 B 的横坐标是 4，y=1，点 B 的坐标为(4，1)，故答案为：(4，1) 5 如图， 直线 l 与双曲线交于 A、 C 两点， 将直线 l 绕点 O 顺时针旋转 a 度角(0 a45)， 与双曲线交于 B、D 两点，则四边形 ABCD 的形状一定是_ _ 【答案】平行四边形 【解析】分析：本题考查的反比例函数图像的对称性和平行四边形的判定定理得出即可 解析：因为反比例函数是中心对称图形，所以 OA=
9、OC,OB=OD,所以四边形 ABCD 是平行四边形 故答案为平行四边形 6 若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(2， 5)， 则另一个交点坐标为_ 【答案】(2，5) 【解析】另一个交点的坐标与点(2，5)关于原点对称， 另一交点的坐标为(-2，-5) 故答案是：(-2,-5) 7如图，已知直线 y=x 与双曲线 y=(k0)交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4， (1)求 k 的值； (2)利用图形直接写出不等式 x的解； (3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y=(k0)于 P，Q 两点(P 点在第一象限)，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形
10、面积为 24，求点 P 的坐标 【答案】(1)8；(2)4x0和 x4(3)点 P 的坐标为(8，1)或(2，4) 详解：(1)直线 y=x 与双曲线 y=(k0)交于 A，B两点，且点 A 的横坐标为 4， 4=2，即：A点的坐标为(4，2)， k=4 2=8， 即：k的值为 8 (2)点 A与点 B关于原点 O 对称， 点 B的坐标为(4，2)， 又不等式 x的解，是函数图象上直线位于双曲线上方的部分对应的 x的取值， 由图象可知：不等式 x的解是：4x0和 x4 (3)作 AMx 轴于点 M，PNx轴于点 N设 P 点的坐标为(a，) P、Q 关于 O 点对称，A、B 关于 O 点对称，
11、 四边形 APBQ 为平行四边形， 4S OAP=24 S OAP=6 当点 P 在直线 AB 的下方时，如图 1 所示， S OAP= 4 2+(+2)(a4)a=6， a26a16=0， 解得：a1=2，a2=8， 此时点 P 的坐标为(8，1)； 当点 P 在直线 AB 的上方时，如图 2 所示， S OAP=a+(+2)(4a) 4 2=6， a2+6a16=0， 解得：a1=2，a2=8， 此时点 P 的坐标为(2，4) 综上所述：点 P 的坐标为(8，1)或(2，4) 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图像解不等式，平行四边形的判
12、定与性质及分类讨论的数学思想，解题的关键是：(1)求出点 A 的坐标；(2)利用两函数图象的上下位置关系解不等式；(3)找出关于 a 的一元二次方程本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数 k是关键 再战高中题 能力提升 B 组组 1判断下列函数的奇偶性： (1)2lg(1)( )22xf xx； (2)222,0,( )0,0,2,0,xxf xxxx 【答案】(1)( )f x为奇函数；(2) ( )f x为奇函数 2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么 ab 的值是( ) A13 B13 C12 D12 【答案
13、】B 【解析】依题意0b，且(2) 1aa ，13a，则13ab 3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) Ayxsin 2x Byx2cos x Cy2x12x Dyx2sin x 【答案】D 4已知函数( )f x对一切, x yR，都有()( )( )f xyf xf y，则( )f x为 ( ) A偶函数 B奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 【答案】B 【解析】显然( )f x的定义域是 R，它关于原点对称 令yx，得 0 x()fffx，又(0)0f， ()0f xfx，即 ()fxf x ( )f x是奇函数，故选 B 5已知函数 2 ,0 ,0 xxf xg xx是偶函数，则2f ( ) A 2 B 12 C 4 D 1-2 【答案】C 【解析】因为函数 2 ,0 ,0 xxf xg xx是偶函数，所以 2? 2ff 22 =4 ，故选 C 6若函数 f(x)=2ln()xxax为偶函数，则 a= 【答案】1 【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax =22ln()ln0axxa，解得a=1