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第04章分式不等式-初升高数学衔接课程(含答案解析)

1、第第 4 章章 分式不等式分式不等式 【知识衔接】 初中知识回顾 分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程 (1)分式方程的解法 一般解法:去分母法,即方程两边同乘以最简公分母 特殊解法:换元法学-科网 (2)验根:由于在去分母过程中,当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根因此,验根是解分式方程必不可少的步骤,一般把整式方程的根的值代人最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去 说明:解分式方程,一般先考虑换元法,再考虑去分母法 分式不等式的解法: 分母恒为正时可去分母; 分母不恒为正时不能去分母, 应先移项使右边为 0 再通分并将分子分母分解因式,最后用标根

2、法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式,进行求解 高中知识链接 可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程 2用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 【经典题型】 初中经典题型 1已知关于 x 的分式方程3133xax的解是非负数,那么 a 的取值范围是( ) Aa1 Ba1 Ca1 且 a9 Da1 【答案】C 【分析】根据分式方程的解法即可求出 a 的取值范围; 点睛:本题考查分式方程的解法,解题的关键是熟练运用分式方程的解法,本题属于基础题型 2若关于x的分式方程1322mxxx有增根,则实数m的值是 【答案】1 【解析】 试题分析: 方

3、程两边同乘以 x-2, 可得 m=x-1-3(x-2), 解得 m=-2x+5, 因分式方程1322mxxx有增根,可得 x=2,所以 m=1 3解不等式: 【答案】 【解析】试题分析:不等式等价于,解之即可 试题解析:不等式等价于, , 故不等式的解集是 4不等式 501xx的解是_ 【答案】15x 【解析】 试题分析:原不等式化为550,011xxxx ,解得15x 高中经典题型 【例【例 1】解方程 21421224xxxx 分析:分析:去分母,转化为整式方程 解:解:原方程可化为: 14212(2)(2)2xxxxx 方程两边各项都乘以24x : 2(2)42(2)4xxxx 即236

4、4xx, 整理得:2320 xx 解得:1x 或2x 检验:把1x 代入24x ,不等于 0,所以1x 是原方程的解; 把2x 代入24x ,等于 0,所以2x 是增根 所以,原方程的解是1x 说明:说明: (1) 去分母解分式方程的步骤: 把各分式的分母因式分解; 在方程两边同乘以各分式的最简公分母; 去括号,把所有项都移到左边,合并同类项; 解一元二次方程; 验根 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大而分式方程可能产生的增根,就是使分式方程的分母为 0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根,是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0若为 0,即为增根;若

5、不为 0,即为原方程的解 【例【例 2】解方程 2223()4011xxxx 分析:分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难但注意到方程的结构特点,设21xyx,即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下,用去分母的方法解方程21xyx 解:解:设21xyx,则原方程可化为:2340yy 解得4y 或1y (1)当4y 时,241xx,去分母,得224(1)4402xxxxx; (2)当1y 时,22215111012xxxxxxx 检验:把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为 0 所以,2x ,152x 都是原方程的解 说明:说明:用换元法解分式方程常见的错误是

6、只求出y的值,而没有求到原方程的解,即x的值 【例【例 3】解方程 22228(2 )3(1)1112xxxxxx (1)当1y 时,22222112121xxxxxxx ; (2)当38y 时,2222223181633516303851xxxxxxxxxx 或 检验:把把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为 0 所以,原方程的解是12x ,3x ,15x 说明:说明:解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现了化归思想 【例【例 4】解下列不等式: (1) 2301xx (2) 2301xxx 分析:分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则

7、”将之化为两个一元一次不等式组处理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数 解:解:(1) 解法(一) 原不等式可化为: 3323023031221010211xxxxxxxxx 或或 解法(二) 原不等式可化为:3(23)(1)012xxx (2) 22131()024xxx 原不等式可化为:303xx 【例【例 5】解不等式132x 解:解:原不等式可化为: (35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx 或 说明:说明: (1) 转化为整式不等式时,一定要先

8、将右端变为 0 (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号: 2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx 或或或【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1分式方程23122xxx的解为:( ) A、1 B、2 C、13 D、0 【答案】A 【解析】 试题分析:根据分式方程的解法:去分母,得 2-3x=x-2,移项后解得 x=1,检验 x=1 是原分式方程的根 答案为 A 2若关于 x 的分式方程222xmxx的解为正数,则满足条件的正整数 m 的值为( ) A1,2,3 B1,2 C1,3 D2,3 【答案】C 【分析】根据等式的性质,可得整式方

9、程,根据解整式方程,可得答案 点睛:本题考查了分式方程的解,利用等式的性质得出整式方程是解题关键,注意要检验分式方程的根 3方已知关于 x 的分式方程的解为负数,则 k 的取值范围是 【答案】k且 k0 4关于x 的两个方程与有一个解相同,则 m= 【答案】8 【解析】解方程得:x=2 或 3; 把 x=2 或 3 分别代入方程,当 x=2 时,得到,解得 m=8 故答案为:8 5解方程: 【答案】x=15 【解析】 试题分析:分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的解 试题解析:去分母得:x+1=2x14,解得:x=15,经检验 x=15 是分式

10、方程的解 6若关于 x 的分式方程121kx的解为负数,则 k 的取值范围为 【答案】k3 且 k1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据解为负数确定出 k 的范围即可 【解析】 去分母得: k1=2x+2, 解得: x=32k , 由分式方程的解为负数, 得到32k 0, 且 x+10, 即32k 1,解得:k3 且 k1,故答案为:k3 且 k1 111kxkxx12260 xx213xmx260 xx213xmx21223m 2717xxx点睛:此题考查了分式方程的解,以及解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本题的关键 7不等式302xx的解是_ 【答案】23

11、x 【解析】不等式302xx等价于30 20 xx或30 20 xx 解得23x 8不等式的解为_ 【答案】 【解析】不等式化为,解一元二次不等式即可 详解:不等式化为,解得, 不等式的解集为,故答案为 点睛:本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法,属于基础题 9不等式的解为_ 【解析】 点睛:解分式不等式的方法是:移项,通分化不等式为,再转化为整式不等式,然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解 再战高中题 能力提升 B 组组 1 用换元法解方程22124312xxxx时,设212xyx,则原方程可化为( ) A130yy B430yy C130yy D430yy 【答案】B 【分析

12、】直接利用已知将原式用 y 替换得出答案 【解析】设212xyx,22124312xxxx,可转化为:43yy,即430yy故选 B 点睛:此题主要考查了换元法解分式方程,正确得出 y 与 x 值间的关系是解题关键 2分式方程2110051025xxx-=-+的解是 【答案】15x 【解析】 试 题分析:去分母得:5 100 x ,解得:15x ,经检验15x 是分式方程的解故答案为:15x 3如果关于 x 的分式方程1131xxxa有负分数解,且关于 x 的不等式组2()43412axxxx 的解集为x2,那么符合条件的所有整数 a 的积是( ) A3 B0 C3 D9 【答案】D 【分析】

13、把 a 看做已知数表示出不等式组的解,根据已知解集确定出 a 的范围,分式方程去分母转化为整式方程,将 a 的整数解代入整式方程,检验分式方程解为负分数确定出所有 a 的值,即可求出之积 【解析】2()43412axxxx ,由得:x2a+4,由得:x2,由不等式组的解集为 x2,得到2a+42,即 a3,分式方程去分母得:a3x3=1x,把 a=3 代入整式方程得:3x6=1x,即72x ,符合题意; 把 a=2 代入整式方程得:3x5=1x,即 x=3,不合题意; 把 a=1 代入整式方程得:3x4=1x,即52x ,符合题意; 把 a=0 代入整式方程得:3x3=1x,即 x=2,不合题

14、意; 把 a=1 代入整式方程得:3x2=1x,即32x ,符合题意; 把 a=2 代入整式方程得:3x1=1x,即 x=1,不合题意; 把 a=3 代入整式方程得:3x=1x,即12x ,符合题意; 把 a=4 代入整式方程得:3x+1=1x,即 x=0,不合题意,符合条件的整数 a 取值为3;1;1;3,之积为 9,故选 D 点睛:此题考查了解一元一次不等式组,以及解分式方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键 4不等式32xx的解集是( ) A |13 xxx 或 B | 103 xxx 或 C |103 xxx或 D | 1003 xxx 或 【答案】B 【解析】1x 时, 22 不成立,

15、可排除,C D,2x时,122不成立,可排除A,故选 B 5不等式1xx的解集是 A x|-1x1 B x|0 x1 C x|1x0 或 x1 D x|0 x1 或 x-1 【答案】C 6不等式3112xx的解集是( ) A 3 |24xx B 3 |24xx C 2x x或34x D 2x x 【答案】B 【解析】31102xx , 31202xxx , 4302xx, 4320 2xxx , 324x,选 B 7不等式11xx的解集为_ 【答案】,0 【解析】由11xx得: 111100 xxxnn 故不等式的解集为0, 5不等式 321xx的解集是_ 【答案】|15xx 【解析】原不等式化为550,011xxxx ,解得15x 考点:分式不等式 8不等式28223xxx的解集是_ 【答案】1|22x xx或