1、第第 4 章章 分式不等式分式不等式 【知识衔接】 初中知识回顾 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 (1)分式方程的解法 一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母 特殊解法：换元法学-科网 (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法 分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母； 分母不恒为正时不能去分母， 应先移项使右边为 0 再通分并将分子分母分解因式，最后用标根
2、法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解 高中知识链接 可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程 2用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 【经典题型】 初中经典题型 1已知关于 x 的分式方程3133xax的解是非负数，那么 a 的取值范围是( ) Aa1 Ba1 Ca1 且 a9 Da1 【答案】C 【分析】根据分式方程的解法即可求出 a 的取值范围； 点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型 2若关于x的分式方程1322mxxx有增根，则实数m的值是 【答案】1 【解析】 试题分析： 方
3、程两边同乘以 x-2， 可得 m=x-1-3(x-2)， 解得 m=-2x+5， 因分式方程1322mxxx有增根，可得 x=2，所以 m=1 3解不等式： 【答案】 【解析】试题分析：不等式等价于，解之即可 试题解析：不等式等价于， ， 故不等式的解集是 4不等式 501xx的解是_ 【答案】15x 【解析】 试题分析：原不等式化为550,011xxxx ，解得15x 高中经典题型 【例【例 1】解方程 21421224xxxx 分析：分析：去分母，转化为整式方程 解：解：原方程可化为： 14212(2)(2)2xxxxx 方程两边各项都乘以24x ： 2(2)42(2)4xxxx 即236
4、4xx， 整理得：2320 xx 解得：1x 或2x 检验：把1x 代入24x ，不等于 0，所以1x 是原方程的解； 把2x 代入24x ，等于 0，所以2x 是增根 所以，原方程的解是1x 说明：说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0若为 0，即为增根；若
5、不为 0，即为原方程的解 【例【例 2】解方程 2223()4011xxxx 分析：分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构特点，设21xyx，即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法解方程21xyx 解：解：设21xyx，则原方程可化为：2340yy 解得4y 或1y (1)当4y 时，241xx，去分母，得224(1)4402xxxxx； (2)当1y 时，22215111012xxxxxxx 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，2x ，152x 都是原方程的解 说明：说明：用换元法解分式方程常见的错误是
6、只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值 【例【例 3】解方程 22228(2 )3(1)1112xxxxxx (1)当1y 时，22222112121xxxxxxx ； (2)当38y 时，2222223181633516303851xxxxxxxxxx 或 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是12x ，3x ，15x 说明：说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想 【例【例 4】解下列不等式： (1) 2301xx (2) 2301xxx 分析：分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则
7、”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解：解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 3323023031221010211xxxxxxxxx 或或 解法(二) 原不等式可化为：3(23)(1)012xxx (2) 22131()024xxx 原不等式可化为：303xx 【例【例 5】解不等式132x 解：解：原不等式可化为： (35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx 或 说明：说明： (1) 转化为整式不等式时，一定要先
8、将右端变为 0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx 或或或【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1分式方程23122xxx的解为：( ) A、1 B、2 C、13 D、0 【答案】A 【解析】 试题分析：根据分式方程的解法：去分母，得 2-3x=x-2，移项后解得 x=1，检验 x=1 是原分式方程的根 答案为 A 2若关于 x 的分式方程222xmxx的解为正数，则满足条件的正整数 m 的值为( ) A1，2，3 B1，2 C1，3 D2，3 【答案】C 【分析】根据等式的性质，可得整式方
9、程，根据解整式方程，可得答案 点睛：本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根 3方已知关于 x 的分式方程的解为负数，则 k 的取值范围是 【答案】k且 k0 4关于x 的两个方程与有一个解相同，则 m= 【答案】8 【解析】解方程得：x=2 或 3； 把 x=2 或 3 分别代入方程，当 x=2 时，得到，解得 m=8 故答案为：8 5解方程： 【答案】x=15 【解析】 试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 试题解析：去分母得：x+1=2x14，解得：x=15，经检验 x=15 是分式
10、方程的解 6若关于 x 的分式方程121kx的解为负数，则 k 的取值范围为 【答案】k3 且 k1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出 k 的范围即可 【解析】 去分母得： k1=2x+2， 解得： x=32k ， 由分式方程的解为负数， 得到32k 0， 且 x+10， 即32k 1，解得：k3 且 k1，故答案为：k3 且 k1 111kxkxx12260 xx213xmx260 xx213xmx21223m 2717xxx点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 7不等式302xx的解是_ 【答案】23
11、x 【解析】不等式302xx等价于30 20 xx或30 20 xx 解得23x 8不等式的解为_ 【答案】 【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可 详解：不等式化为，解得， 不等式的解集为，故答案为 点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题 9不等式的解为_ 【解析】 点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解 再战高中题 能力提升 B 组组 1 用换元法解方程22124312xxxx时，设212xyx，则原方程可化为( ) A130yy B430yy C130yy D430yy 【答案】B 【分析
12、】直接利用已知将原式用 y 替换得出答案 【解析】设212xyx，22124312xxxx，可转化为：43yy，即430yy故选 B 点睛：此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出 y 与 x 值间的关系是解题关键 2分式方程2110051025xxx-=-+的解是 【答案】15x 【解析】 试 题分析：去分母得：5 100 x ，解得：15x ，经检验15x 是分式方程的解故答案为：15x 3如果关于 x 的分式方程1131xxxa有负分数解，且关于 x 的不等式组2()43412axxxx 的解集为x2，那么符合条件的所有整数 a 的积是( ) A3 B0 C3 D9 【答案】D 【分析】
13、把 a 看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将 a 的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有 a 的值，即可求出之积 【解析】2()43412axxxx ，由得：x2a+4，由得：x2，由不等式组的解集为 x2，得到2a+42，即 a3，分式方程去分母得：a3x3=1x，把 a=3 代入整式方程得：3x6=1x，即72x ，符合题意； 把 a=2 代入整式方程得：3x5=1x，即 x=3，不合题意； 把 a=1 代入整式方程得：3x4=1x，即52x ，符合题意； 把 a=0 代入整式方程得：3x3=1x，即 x=2，不合题
14、意； 把 a=1 代入整式方程得：3x2=1x，即32x ，符合题意； 把 a=2 代入整式方程得：3x1=1x，即 x=1，不合题意； 把 a=3 代入整式方程得：3x=1x，即12x ，符合题意； 把 a=4 代入整式方程得：3x+1=1x，即 x=0，不合题意，符合条件的整数 a 取值为3；1；1；3，之积为 9，故选 D 点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4不等式32xx的解集是( ) A |13 xxx 或 B | 103 xxx 或 C |103 xxx或 D | 1003 xxx 或 【答案】B 【解析】1x 时， 22 不成立，
15、可排除,C D，2x时，122不成立，可排除A，故选 B 5不等式1xx的解集是 A x|-1x1 B x|0 x1 C x|1x0 或 x1 D x|0 x1 或 x-1 【答案】C 6不等式3112xx的解集是( ) A 3 |24xx B 3 |24xx C 2x x或34x D 2x x 【答案】B 【解析】31102xx ， 31202xxx ， 4302xx， 4320 2xxx ， 324x，选 B 7不等式11xx的解集为_ 【答案】,0 【解析】由11xx得： 111100 xxxnn 故不等式的解集为0， 5不等式 321xx的解集是_ 【答案】|15xx 【解析】原不等式化为550,011xxxx ，解得15x 考点：分式不等式 8不等式28223xxx的解集是_ 【答案】1|22x xx或
