1、第六章 章末复习 【知识网络】 【例 1】 (1)在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则EB( ) A.34AB14AC B.14AB34AC C.34AB14AC D.14AB34AC 主题一 平面向量的线性运算 【主题探究】 (2)如图所示， 在正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， 若ACAMBD，则 ( ) A.43 B.53 C.158 D.2 【解析】 (1)法一：法一：如图所示， EBEDDB12AD12CB1212(ABAC)12(ABAC) 34AB14AC，故选 A. 法二：法二：EBABAEAB12ADAB1212(ABAC) 34
2、AB14AC，故选 A. (2)因为ACAMBD(ABBM)(BAAD)(AB12AD)(ABAD)() AB 12 AD，且ACABAD， 所以1，121得43，13，所以 53，故选 B. 【答案】 (1)A (2)B 【规律方法】 向量线性运算的基本原则向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面 【跟踪训练】已知平面向量 a(2，1)，b(1，1)，c(5，1) 若(akb)c，则实数 k 的值为( ) A2 B12 C114 D114 解析：选 B.由
3、题意知，akb(2，1)k(1，1)(k2，k1)，由(akb)c，得5(k1)k2，解得 k12，故选 B. 【例 2】如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120 ，ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为( ) A.2116 B.32 C.2516 D.3 主题二 平面向量数量积的运算 【解析】 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形 ABCD 中，ABAD1， BAD120 ， 所以 A(0， 0)， B(1， 0)， D12，32， 设 C(1，m)，E(x，y)，所以DC32，m32，A
4、D12，32， 因为 ADCD，所以32，m3212，320， 即321232m320，解得 m 3，即 C(1， 3)， 因为 E 在 CD 上， 所以32y 3， 由CEDC， 得(x1)33232(y 3)，即 x 3y2，因为AE(x，y)，BE(x1，y)，所以AEBE(x，y) (x1，y)x2xy2( 3y2)2 3y2y24y25 3y6，令 f(y)4y25 3y6，y32， 3 . 因为函数 f(y)4y25 3y6 在32，5 38上单调递减， 在5 38， 3 上单调递增， 所以 f(y)min45 3825 35 3862116. 所以AEBE的最小值为2116，故选
5、 A. 【答案】 A 【规律方法】 向量数量积的两种计算方法向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，即 a b|a|b|cos . (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2. 【跟踪训练】 1已知向量 a，b 的夹角为34，|a| 2，|b|2， 则 a (a2b)_ 解析：a (a2b)a22a b22 22226. 答案：6 2设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM3MC，DN2NC，则AMNM等于_ 解析：AMABBMAB34AD， NMC
6、MCN14AD13AB， 所以AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD) 148(16AB29AD2)148(1662942)9. 答案：9 【例 3】(1)已知向量 m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知 abc0， |a|2， |b|3， |c| 19， 则向量 a 与 b 的夹角为( ) A30 B45 C60 D以上都不对 主题三 向量的夹角及垂直问题 【解析】 (1)因为 mn(23，3)，mn(1，1)， (mn)(mn)，所以(mn) (mn)(23，3) (1，1) 260，解得 3. (2)设向量 a 与 b 的
7、夹角为 ，因为 abc0， 所以 c(ab)，所以 c2(ab)2， 即|c|2|a|2|b|22|a|b|cos ，所以 194912cos ， 所以 cos 12，又 0180，所以 a 与 b 的夹角为 60. 【答案】 (1)B (2)C 【规律方法】 解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单 【跟踪训练】 1 设向量 a(1， 0)， b(1， m) 若 a(mab)， 则 m_ 解析：因为 a(1，0)，b(1，m)， 所以 mab(m1，m) 由 a(mab)
8、得 a (mab)0， 即 m10，得 m1. 答案：1 2已知非零向量 a，b 满足|ab|a|，a (ab)0，则 ab 与b 夹角的大小为_ 解析：因为非零向量 a，b 满足 a (ab)0，所以 a2a b， 由|ab|a|可得 a22a bb2a2，解得|b| 2|a|， 设 ab 与 b 的夹角为 ， 则 cos （ab） b|ab|b|a b|b|2|a|b|a|22|a|22|a|222， 又 0180，所以 135. 答案：135 【例 4】 已知平面向量 a， b 的夹角为6， 且|a| 3， |b|2， 在ABC中， AB2a2b， AC2a6b， D 为 BC 的中点，
9、 则|AD|等于( ) A2 B4 C6 D8 主题四 向量的长度(模)与距离的问题 【解析】 因为AD12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b，所以|AD|24(ab)24(a22b ab2) 432 2 3 cos 64 4，则|AD|2. 【答案】 A 【规律方法】 解决向量模的问题常用的策略解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a| x2y2(其中 a(x，y) (2)应用三角形法则或平行四边形法则 (3)应用向量不等式|a|b|a b|a|b|. (4)研究模的平方|a b|2(a b)2. 【跟踪训练】已知平面向量 a，b 的夹角为23，且 a (ab)8， |a|
10、2，则|b|等于( ) A 3 B2 3 C3 D4 解析：选 D.因为 a (ab)8， 所以 a aa b8，即|a|2|a|b|cosa，b8， 所以 42|b|128，解得|b|4. 【例 5】已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， asin Acsin C 2asin Cbsin B. (1)求角 B 的大小； (2)若 A75，b2，求 a，c. 主体五 利用正、余弦定理解三角形 【解】 (1)由正弦定理得 a2c2 2acb2. 由余弦定理得 b2a2c22accos B. 故 cos B22，所以 B45 . (2)因为 sin Asin(30 45 ) s
11、in 30 cos 45 cos 30 sin 45 2 64. 故 absin Asin B1 3. 又 C180 45 75 60 ， 所以 cbsin Csin B2sin 60sin 45 6. 【规律方法】 解三角形的一般方法解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 ABC 求 C，由正弦定理求 a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角， 然后利用 ABC， 求另一角 (3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦定理求 B，由 ABC 求 C，再由正弦定理或
12、余弦定理求 c，要注意解可能有多种情况 (4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C. 【跟踪训练】 1ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC的面积为a2b2c24，则 C( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析：选 C.根据题意及三角形的面积公式知12absin Ca2b2c24，所以 sin Ca2b2c22abcos C，所以在ABC 中，C4. 2ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C. (1)求 A； (2)若 2ab2c，求 sin C. 解：(1)由已知得 sin2
13、Bsin2Csin2Asin Bsin C， 故由正弦定理得 b2c2a2bc. 由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12. 因为 0 A180 ，所以 A60 . (2)由(1)知 B120 C， 由题设及正弦定理得 2sin Asin(120 C)2sin C， 即6232cos C12sin C2sin C，可得 cos(C60 )22. 因为 0 C120 ，所以 sin(C60 )22， 故 sin Csin(C60 60 ) sin(C60 )cos 60 cos(C60 )sin 60 6 24. 【例 6】在ABC 中，若已知 b2sin2Cc2sin2B2bccos B
14、cos C，试判断三角形的形状 主题六 判断三角形的形状 【解】 由正弦定理的推论，得asin Absin Bcsin C2R， 则已知条件转化为 4R2sin2Bsin2C4R2sin2Csin2B8R2sin Bsin Ccos Bcos C. 因为 sin Bsin C0，所以 sin Bsin Ccos Bcos C， 所以 cos(BC)0. 因为 0 BC8，所以货轮无触礁危险 【规律方法】 正、余弦定理在实际应用中应注意的问题正、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图 (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向
15、角、方位角等 (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形 (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累 (5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位 【跟踪训练】 1某运动会上举行升旗仪式，在坡角为 15 的看台上，同一列上的第一排B 处和最后一排 C 处测得旗杆顶部 P 处的仰角分别为 60 和 30 ， 第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( ) A10 m B30 m C10 3 m D10 6
16、m 解析：选 B.依题意可知PCB45 ，PBC180 60 15 105 ，所以CPB180 45 105 30 .在PBC 中，由正弦定理可得 BPCBsinCPB sinPCB20 3(m)，所以在 RtBOP中， OPPB sinPBO20 33230(m)， 即旗杆的高度为 30 m. 2如图，A，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午 8 时从 A 岛出发，以 10 海里/小时的速度，沿北偏东 75 方向直线航行，下午 1 时到达 B 处，然后以同样的速度，沿北偏东 15 方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛 (1)求 A，C 两岛之间的直线距离； (2)求BAC 的正弦值
17、解：(1)在ABC 中，由已知，AB10 550，BC10 330，ABC180 75 15 120 . 根据余弦定理，得 AC25023022 50 30cos 120 4 900， 所以 AC70.故 A，C 两岛之间的直线距离是 70 海里 (2)在ABC 中，由正弦定理，得BCsinBACACsinABC， 所以 sinBACBCsinABCAC30sin 120703 314. 故BAC 的正弦值是3 314. 1已知AB(2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则AB BC( ) A3 B2 C2 D3 解析：选 C.因为BCACAB(3，t)(2，3)(1，t3)，|BC|1，所以
18、 12（t3）21，所以 t3，所以BC(1，0)，所以AB BC2 13 02. 【强化提升】 2已知 e1，e2是单位向量，me12e2，n5e14e2，若 mn，则 e1与 e2的夹角为( ) A.4 B.3 C.23 D.34 解析：选 B.因为 mn，|e1|e2|1，所以 m n(e12e2) (5e14e2)5e216e1e28e2236e1e20.所以 e1e212.设 e1与e2的夹角为 ，则 cos e1e2|e1|e2|12.因为 0，所以 3. 3在ABC 中，A3，BC6，AB2 6，则 C( ) A.4或34 B.6或56 C.4 D.34 解析：选 C. 由正弦定
19、理BCsin AABsin C， 得 sin CABsin ABC2 6 sin3622. 又 BC6AB2 6，所以 AC，所以 C4，故选 C. 4如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3 PD，APBP2，则ABAD的值是_ 解析：由CP3 PD，得DP14DC14AB，APADDPAD14AB，BPAPABAD14ABABAD34AB.因为AP BP2，所以AD14ABAD34AB2，即AD212AD AB316AB22. 又AD225，AB264，所以AB AD22. 答案：22 5在ABC 中，a3，b2 6，B2A. (1)求 cos A 的值； (2)求
20、c 的值 解：(1)因为 a3，b2 6，B2A， 所以在ABC 中，由正弦定理得3sin A2 6sin 2A. 所以2sin Acos Asin A2 63.故 cos A63. (2)由(1)知 cos A63，所以 sin A 1cos2A33. 又因为 B2A，所以 cos B2cos2A113. 所以 sin B 1cos2B2 23. 在ABC 中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B5 39. 所以 casin Csin A5. 6已知ABC 的周长为 21，且 sin Asin B 2sin C (1)求边 AB 的长； (2)若ABC 的面积为16sin C，求角 C 的度数 解：(1)由题意，及正弦定理， 得 ABBCAC 21，BCAC 2AB， 两式相减，得 AB1. (2)由ABC 的面积12BC AC sin C16sin C，得 BC AC13， 由余弦定理，得 cos CAC2BC2AB22AC BC （ACBC）22AC BCAB22AC BC12，所以 C60 .