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2021年高中数学人教A版(2019)必修第二册《第六章 平面向量及其应用》章末复习试卷(含答案)

1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的) 1(AB MB )(BO BC )OM 化简后等于( ) ABC BAB CAC DAM 2设点 A(1,2),B(2,3),C(3,1),且AD 2AB 3BC,则点 D 的坐标为( ) A(2,16) B(2,16) C(4,16) D(2,0) 3若向量 a(1,1),b(2,5),c(3,x),满足条件(8ab) c30,则 x( )

2、A6 B5 C4 D3 4设非零向量 a,b,c 满足|a|b|c|,abc,则向量 a,b 的夹角为( ) A150 B120 C60 D30 5在ABC 中,已知 b2bc2c20,a 6,cosA7 8,则ABC 的面积 S 为( ) A 15 2 B 15 C8 15 5 D6 3 6向量BA (4,3),向量BC(2,4),则ABC 的形状为( ) A等腰非直角三角形 B等边三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形 7在ABC 中,若|AB |1,|AC| 3,|ABAC|BC|,则AB BC |BC | ( ) A 3 2 B1 2 C1 2 D 3 2 8.如图,已知等腰梯形

3、 ABCD 中,AB2DC4,ADBC 5,E 是 DC 的中点,点 P 在线段 BC 上运动(包 含端点),则EP BP的最小值是( ) A9 5 B0 C4 5 D1 9 甲船在湖中 B 岛的正南 A 处, AB3 km, 甲船以 8 km/h 的速度向正北方向航行, 同时乙船从 B 岛出发, 以 12 km/h 的速度向北偏东 60 方向驶去,则行驶 15 分钟时,两船的距离是( ) A 7 km B 13 km C 19 km D 103 3 km 10设向量 a 与 b 的夹角为 ,定义 a 与 b 的“向量积”:ab 是一个向量,它的模|ab|a|b|sin,若 a ( 3,1),

4、b(1, 3),则|ab|( ) A 3 B2 C2 3 D4 11 设 00,点 P 在线段 AB 上,且AP tAB (0t1),则OA OP 的最大值为( ) Aa B2a C3a Da2 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分将答案填在题中的横线上分将答案填在题中的横线上) 13设向量 a,b 满足|a|2 5,b(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为_ 14在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若AB ACBA BC1,那么 c_. 15 如图, 在正方形ABCD中, 已知|AB |2,

5、若N为正方形内(含边界)任意一点, 则AB AN的最大值是_ 16若等边三角形 ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM 1 6CB 2 3CA ,则MA MB _. 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 bsinBasinA(ca)sinC (1)求 B; (2)若 3sinC2sinA,且ABC 的面积为 6 3,求 b. 18(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD

6、中,AB a,AD b,H,M 分别是 AD,DC 的中点,F 为 BC 上一点,且 BF1 3BC (1)以 a,b 为基底表示向量AM 与HF ; (2)若|a|3,|b|4,a 与 b 的夹角为 120 ,求AM HF . 19(本小题满分 12 分)如图,在OAB 中,P 为线段 AB 上一点,且OP xOA yOB . (1)若AP PB,求 x,y 的值; (2)若AP 3PB,|OA |4,|OB |2,且OA 与OB 的夹角为 60 ,求OP AB 的值 20(本小题满分 12 分)已知向量 m 3sinx 4,1 ,n cosx 4,cos 2x 4 ,函数 f(x)m n.

7、 (1)若 f(x)1,求 cos 2 3 x 的值; (2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 acosC1 2cb,求 f(B)的取值范围 21(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中,AB (6,1),BC(x,y),CD (2,3),BC DA . (1)求 x 与 y 的关系式; (2)若AC BD ,求 x,y 的值以及四边形 ABCD 的面积 22 (本小题满分 12 分)已知向量 a(cos, sin), b(cos, sin), 且 a, b 满足关系|kab| 3|akb|(k0) (1)求 a 与 b 的数量积用 k 表示的解析式 f(k

8、); (2)a 能否和 b 垂直?a 能否和 b 平行?若不能,则说明理由;若能,则求出相应的 k 值; (3)求 a 与 b 夹角的最大值 【参考答案】 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的) 1 【答案】C 【解析】原式AB BO OM MB BC AC. 2 【答案】A 【解析】设 D(x,y),由题意可知AD (x1,y2),AB (3,1),BC(1,4),所以 2AB3BC2(3,1) 3(1,4)(3,14),所以

9、x13, y214, 所以 x2, y16. 3 【答案】C 【解析】a(1,1),b(2,5),8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab) c30, (6,3) (3,x)183x30.x4. 4 【答案】B 【解析】设向量 a,b 的夹角为 ,则|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos,则 cos1 2. 又 0 ,180 ,所以 120 . 5 【答案】A 【解析】由 b2bc2c20 可得(bc)(b2c)0. b2c,在ABC 中,a2b2c22bccosA, 即 64c2c24c2 7 8.c2,从而 b4. SABC1 2bcsinA 1 242 1 7 8 2

10、 15 2 . 6 【答案】C 【解析】BA (4,3),BC(2,4),ACBCBA(2,1), CA CB(2,1) (2,4)0,C90 ,且|CA| 5,|CB|2 5,|CA|CB|. ABC 是直角非等腰三角形 7 【答案】B 【解析】由向量的平行四边形法则,知当|AB AC|BC|时,A90 .又|AB|1,|AC| 3,故B60 , C30 ,|BC |2,所以AB BC |BC | |AB |BC|cos120 |BC | 1 2. 8.【答案】A 【解析】 由四边形 ABCD 是等腰梯形可知 cosB 5 5 .设 BPx(0 x 5), 则 CP 5x.所以EP BP(E

11、C CP ) BPEC BP CP BP 1 x 5 5 ( 5x) x (1)x26 5 5 x.因为 0 x 5,所以当 x3 5 5 时, EP BP取得最小值9 5.故选 A 9 【答案】B 【解析】如图,设行驶 15 分钟时,甲船到达 M 处,由题意,知 AM815 602,BN12 15 603,MBAB AM321,所以由余弦定理,得 MN2MB2BN22MBBNcos120 19213 1 2 13, 所以 MN 13(km) 10 【答案】B 【解析】cos a b |a|b| 3 3 22 3 2 ,sin1 2,|ab|22 1 22. 11 【答案】C 【解析】P1P2

12、 OP2 OP1 (2sincos,2cossin), |P1P2 | 2sincos22cossin2 108cos3 2. 12 【答案】D 【解析】AB OB OA (0,a)(a,0)(a,a), AP tAB(at,at) 又OP OA AP (a,0)(at,at)(aat,at), OA OP a(aat)0ata2(1t)(0t1) 当 t0 时,OA OP 取得最大值,为 a2. 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分将答案填在题中的横线上分将答案填在题中的横线上) 13 【答案】(4,2) 【解析】设 a(x,y),

13、x0,y0,则 x2y0 且 x2y220,解得 x4,y2. 即 a(4,2) 14 【答案】 2 【解析】由题知,AB ACBA BC2, 即AB ACAB BCAB (ACCB)AB22c|AB| 2. 15 【答案】4 【解析】AB AN|AB|AN| cosBAN,|AN|cosBAN 表示AN在AB方向上的投影, 又|AB |2,AB AN的最大值是 4. 16 【答案】2 【解析】以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 A,B, C 三点的坐标分别为( 3,0),( 3,0),(0,3)设 M 点的坐标为(x,y),则CM

14、(x,y3),CB ( 3, 3),CA ( 3,3),又CM 1 6CB 2 3CA ,即(x,y3) 3 2 ,5 2 ,可得 M 3 2 ,1 2 ,所以MA 3 2 ,1 2 ,MB 3 3 2 ,1 2 ,所以MA MB 2. 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17解解 (1)由 bsinBasinA(ca)sinC 及正弦定理, 得 b2a2(ca)c,即 a2c2b2ac. 由余弦定理,得 cosBa 2c2b2 2ac ac 2ac 1 2. 因为 B(0,),

15、所以 B 3. (2)由(1)得 B 3, 所以ABC 的面积为1 2acsinB 3 4 ac6 3,得 ac24. 由 3sinC2sinA 及正弦定理,得 3c2a,所以 a6,c4. 由余弦定理,得 b2a2c22accosB36162428,所以 b2 7. 18解解 (1)由已知,得AM AD DM 1 2ab. 连接 AF,AF ABBFa1 3b, HF HA AF 1 2b a1 3b a 1 6b. (2)由已知,得 a b|a|b|cos120 34 1 2 6, 从而AM HF 1 2ab a1 6b 1 2|a| 211 12a b 1 6|b| 21 23 211

16、12(6) 1 64 211 3 . 19解解 (1)若AP PB,则OP 1 2OA 1 2OB ,故 xy1 2. (2)若AP 3PB, 则OP OA 3 4AB OA 3 4(OB OA )1 4OA 3 4OB , OP AB 1 4OA 3 4OB (OB OA )1 4OA 21 2OA OB 3 4OB 2 1 44 21 242cos60 3 42 23. 20解解 由题意,得 f(x) 3sinx 4cos x 4cos 2x 4 3 2 sinx 2 1 2cos x 2 1 2sin x 2 6 1 2. (1)由 f(x)1,得 sin x 2 6 1 2, 则 co

17、s 2 3 x 2cos2 3 x 2 12sin2 x 2 6 11 2. (2)已知 acosC1 2cb,由余弦定理,得 a a2b2c2 2ab 1 2cb, 即 b2c2a2bc,则 cosAb 2c2a2 2bc 1 2, 又因为 A 为三角形的内角,所以 A 3, 从而 BC2 3 ,易知 0B2 3 ,0B 2 3, 则 6 B 2 6 2,所以 1sin B 2 6 1 20) (2)a bf(k)0, a 与 b 不可能垂直若 ab,由 a b0 知 a,b 同向, 于是有 a b|a|b|cos0 |a|b|1, 即k 21 4k 1,解得 k2 3. 当 k2 3时,ab. (3)设 a 与 b 的夹角为 ,则 cos a b |a|b|a b k21 4k (k0), cos1 4 k1 k 1 4 ()k 2 1 k 2 1 4 k 1 k 22 , 当 k 1 k即 k1 时,cos 取到最小值为 1 2. 又 0 180 ,a 与 b 夹角 的最大值为 60 .