1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的) 1(AB MB )(BO BC )OM 化简后等于( ) ABC BAB CAC DAM 2设点 A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且AD 2AB 3BC，则点 D 的坐标为( ) A(2,16) B(2，16) C(4,16) D(2,0) 3若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab) c30，则 x( )
2、A6 B5 C4 D3 4设非零向量 a，b，c 满足|a|b|c|，abc，则向量 a，b 的夹角为( ) A150 B120 C60 D30 5在ABC 中，已知 b2bc2c20，a 6，cosA7 8，则ABC 的面积 S 为( ) A 15 2 B 15 C8 15 5 D6 3 6向量BA (4，3)，向量BC(2，4)，则ABC 的形状为( ) A等腰非直角三角形 B等边三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形 7在ABC 中，若|AB |1，|AC| 3，|ABAC|BC|，则AB BC |BC | ( ) A 3 2 B1 2 C1 2 D 3 2 8.如图，已知等腰梯形
3、 ABCD 中，AB2DC4，ADBC 5，E 是 DC 的中点，点 P 在线段 BC 上运动(包 含端点)，则EP BP的最小值是( ) A9 5 B0 C4 5 D1 9 甲船在湖中 B 岛的正南 A 处， AB3 km， 甲船以 8 km/h 的速度向正北方向航行， 同时乙船从 B 岛出发， 以 12 km/h 的速度向北偏东 60 方向驶去，则行驶 15 分钟时，两船的距离是( ) A 7 km B 13 km C 19 km D 103 3 km 10设向量 a 与 b 的夹角为 ，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若 a ( 3，1)，
4、b(1， 3)，则|ab|( ) A 3 B2 C2 3 D4 11 设 00，点 P 在线段 AB 上，且AP tAB (0t1)，则OA OP 的最大值为( ) Aa B2a C3a Da2 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在题中的横线上分将答案填在题中的横线上) 13设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若AB ACBA BC1，那么 c_. 15 如图， 在正方形ABCD中， 已知|AB |2，
5、若N为正方形内(含边界)任意一点， 则AB AN的最大值是_ 16若等边三角形 ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满足CM 1 6CB 2 3CA ，则MA MB _. 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 bsinBasinA(ca)sinC (1)求 B； (2)若 3sinC2sinA，且ABC 的面积为 6 3，求 b. 18(本小题满分 12 分)如图，平行四边形 ABCD
6、中，AB a，AD b，H，M 分别是 AD，DC 的中点，F 为 BC 上一点，且 BF1 3BC (1)以 a，b 为基底表示向量AM 与HF ； (2)若|a|3，|b|4，a 与 b 的夹角为 120 ，求AM HF . 19(本小题满分 12 分)如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上一点，且OP xOA yOB . (1)若AP PB，求 x，y 的值； (2)若AP 3PB，|OA |4，|OB |2，且OA 与OB 的夹角为 60 ，求OP AB 的值 20(本小题满分 12 分)已知向量 m 3sinx 4，1 ，n cosx 4，cos 2x 4 ，函数 f(x)m n.
7、 (1)若 f(x)1，求 cos 2 3 x 的值； (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC1 2cb，求 f(B)的取值范围 21(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中，AB (6,1)，BC(x，y)，CD (2，3)，BC DA . (1)求 x 与 y 的关系式； (2)若AC BD ，求 x，y 的值以及四边形 ABCD 的面积 22 (本小题满分 12 分)已知向量 a(cos， sin)， b(cos， sin)， 且 a， b 满足关系|kab| 3|akb|(k0) (1)求 a 与 b 的数量积用 k 表示的解析式 f(k
8、)； (2)a 能否和 b 垂直？a 能否和 b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的 k 值； (3)求 a 与 b 夹角的最大值 【参考答案】 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的) 1 【答案】C 【解析】原式AB BO OM MB BC AC. 2 【答案】A 【解析】设 D(x，y)，由题意可知AD (x1，y2)，AB (3,1)，BC(1，4)，所以 2AB3BC2(3,1) 3(1，4)(3,14)，所以
9、x13， y214， 所以 x2， y16. 3 【答案】C 【解析】a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab) c30， (6,3) (3，x)183x30.x4. 4 【答案】B 【解析】设向量 a，b 的夹角为 ，则|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos，则 cos1 2. 又 0 ，180 ，所以 120 . 5 【答案】A 【解析】由 b2bc2c20 可得(bc)(b2c)0. b2c，在ABC 中，a2b2c22bccosA， 即 64c2c24c2 7 8.c2，从而 b4. SABC1 2bcsinA 1 242 1 7 8 2
10、 15 2 . 6 【答案】C 【解析】BA (4，3)，BC(2，4)，ACBCBA(2，1)， CA CB(2,1) (2,4)0，C90 ，且|CA| 5，|CB|2 5，|CA|CB|. ABC 是直角非等腰三角形 7 【答案】B 【解析】由向量的平行四边形法则，知当|AB AC|BC|时，A90 .又|AB|1，|AC| 3，故B60 ， C30 ，|BC |2，所以AB BC |BC | |AB |BC|cos120 |BC | 1 2. 8.【答案】A 【解析】 由四边形 ABCD 是等腰梯形可知 cosB 5 5 .设 BPx(0 x 5)， 则 CP 5x.所以EP BP(E
11、C CP ) BPEC BP CP BP 1 x 5 5 ( 5x) x (1)x26 5 5 x.因为 0 x 5，所以当 x3 5 5 时， EP BP取得最小值9 5.故选 A 9 【答案】B 【解析】如图，设行驶 15 分钟时，甲船到达 M 处，由题意，知 AM815 602，BN12 15 603，MBAB AM321，所以由余弦定理，得 MN2MB2BN22MBBNcos120 19213 1 2 13， 所以 MN 13(km) 10 【答案】B 【解析】cos a b |a|b| 3 3 22 3 2 ，sin1 2，|ab|22 1 22. 11 【答案】C 【解析】P1P2
12、 OP2 OP1 (2sincos，2cossin)， |P1P2 | 2sincos22cossin2 108cos3 2. 12 【答案】D 【解析】AB OB OA (0，a)(a,0)(a，a)， AP tAB(at，at) 又OP OA AP (a,0)(at，at)(aat，at)， OA OP a(aat)0ata2(1t)(0t1) 当 t0 时，OA OP 取得最大值，为 a2. 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在题中的横线上分将答案填在题中的横线上) 13 【答案】(4，2) 【解析】设 a(x，y)，
13、x0，y0，则 x2y0 且 x2y220，解得 x4，y2. 即 a(4，2) 14 【答案】 2 【解析】由题知，AB ACBA BC2， 即AB ACAB BCAB (ACCB)AB22c|AB| 2. 15 【答案】4 【解析】AB AN|AB|AN| cosBAN，|AN|cosBAN 表示AN在AB方向上的投影， 又|AB |2，AB AN的最大值是 4. 16 【答案】2 【解析】以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A，B， C 三点的坐标分别为( 3，0)，( 3，0)，(0,3)设 M 点的坐标为(x，y)，则CM
14、(x，y3)，CB ( 3， 3)，CA ( 3，3)，又CM 1 6CB 2 3CA ，即(x，y3) 3 2 ，5 2 ，可得 M 3 2 ，1 2 ，所以MA 3 2 ，1 2 ，MB 3 3 2 ，1 2 ，所以MA MB 2. 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17解解 (1)由 bsinBasinA(ca)sinC 及正弦定理， 得 b2a2(ca)c，即 a2c2b2ac. 由余弦定理，得 cosBa 2c2b2 2ac ac 2ac 1 2. 因为 B(0，)，
15、所以 B 3. (2)由(1)得 B 3， 所以ABC 的面积为1 2acsinB 3 4 ac6 3，得 ac24. 由 3sinC2sinA 及正弦定理，得 3c2a，所以 a6，c4. 由余弦定理，得 b2a2c22accosB36162428，所以 b2 7. 18解解 (1)由已知，得AM AD DM 1 2ab. 连接 AF，AF ABBFa1 3b， HF HA AF 1 2b a1 3b a 1 6b. (2)由已知，得 a b|a|b|cos120 34 1 2 6， 从而AM HF 1 2ab a1 6b 1 2|a| 211 12a b 1 6|b| 21 23 211
16、12(6) 1 64 211 3 . 19解解 (1)若AP PB，则OP 1 2OA 1 2OB ，故 xy1 2. (2)若AP 3PB， 则OP OA 3 4AB OA 3 4(OB OA )1 4OA 3 4OB ， OP AB 1 4OA 3 4OB (OB OA )1 4OA 21 2OA OB 3 4OB 2 1 44 21 242cos60 3 42 23. 20解解 由题意，得 f(x) 3sinx 4cos x 4cos 2x 4 3 2 sinx 2 1 2cos x 2 1 2sin x 2 6 1 2. (1)由 f(x)1，得 sin x 2 6 1 2， 则 co
17、s 2 3 x 2cos2 3 x 2 12sin2 x 2 6 11 2. (2)已知 acosC1 2cb，由余弦定理，得 a a2b2c2 2ab 1 2cb， 即 b2c2a2bc，则 cosAb 2c2a2 2bc 1 2， 又因为 A 为三角形的内角，所以 A 3， 从而 BC2 3 ，易知 0B2 3 ，0B 2 3， 则 6 B 2 6 2，所以 1sin B 2 6 1 20) (2)a bf(k)0， a 与 b 不可能垂直若 ab，由 a b0 知 a，b 同向， 于是有 a b|a|b|cos0 |a|b|1， 即k 21 4k 1，解得 k2 3. 当 k2 3时，ab. (3)设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos a b |a|b|a b k21 4k (k0)， cos1 4 k1 k 1 4 ()k 2 1 k 2 1 4 k 1 k 22 ， 当 k 1 k即 k1 时，cos 取到最小值为 1 2. 又 0 180 ，a 与 b 夹角 的最大值为 60 .
