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2022年中考数学复习试题:图形的相似(含答案解析)

1、 2022 年中考数学复习新题:年中考数学复习新题:图形的相似图形的相似 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1 (2021安徽模拟)如图,在ABC 中,B60,C45,AB4,E 为 AC 中点,D 为 AB 上一 点,连接 DE,当AED60时,AD 的长为( ) A23 B6 C3 D15 4 2 (2021福建模拟) 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 y1mx2, y2nx2, 直线 yp, 且 mn0, p0 该 直线与两条抛物线的交点的横坐标从左到右分别为 n1、m1、m2、n2下列说法中正确的是( ) 这两条抛物线为关于原点的位似图形; m1+m2n1+n2; 当 m9

2、n 时,m2m1m1n1 A B C D 3 (2021蚌埠二模)如图,在ABC 中,点 D 是 AB 上一点,且ABCD,SADC:SBDC5:4,CD 4,则 AC 长为( ) A5 B6 C9 D8 5 5 4 (2021沙坪坝区校级开学)平行四边形 ABCD 如图所示,E 为 AB 上的一点,F、G 分别为 AC 与 DE、 DB 的交点若 AB:AE3:2,则四边形 BGFE 与ABCD 的面积之比为( ) A7:60 B8:70 C5:43 D3:26 5 (2021安徽模拟)如图,在ABC 中,ACB90,D 点在 BC 边上, = 2 5,P 为 AB 边上一点, 当 PCPD

3、 时, 的值为( ) A5 9 B5 8 C4 7 D3 5 6 (2021安徽模拟)在ABC 中,ABAC,D 为边 AB 上任意一点,下列命题为真命题的是( ) A若 ADCDBC,则A36 B若A36,则 = 5;1 2 C若 = 5;1 2 ,且 D 为 AB 的黄金分割点,则 CD 平分ACB D若 CD 平分ACB,则 AD2ABBD 7 (2021 春济宁期末)线段 AB8,P 是 AB 的黄金分割点,且 APBP,则 BP 的长度为( ) A45 4 B85 +8 C85 8 D45 +4 8 (2021禹城市模拟)在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A

4、的坐标为(1,0) ,点 D 的坐标为(0,2) ,延长 CB 交 x 轴于点 A1,作正方形 A1B1C1C;延长 C1B1交 x 轴于点 A2,作正方形 A2B2C2C1按这样的规律进行下去,正方形 A2021B2021C2021C2020的面积为( ) A5 (3 2) 2021 B5 (9 4) 2020 C5 (9 4) 4040 D5 (3 2) 4042 9 (2021河北模拟)如图 2 中的矩形边长分别是将图 1 中的矩形边长 4 拉长 2x,边长 5 拉长 x 得到的,若 两个矩形相似(不全等) ,则 x 的值是( ) A3 B4 C5 D6 10 (2021济南)如图,在A

5、BC 中,ABC90,C30,以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径作弧 交 AC 于点 D,连接 BD,再分别以点 B,D 为圆心,大于1 2BD 的长为半径作弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E,连接 DE,则下列结论中不正确的是( ) ABEDE BDE 垂直平分线段 AC C = 3 3 DBD2BCBE 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11 (2021铁锋区二模)如图,直线 AM 的解析式为 yx+1 与 x 轴交于点 M,与 y 轴交于点 A,以 OA 为 边作正方形 ABCO,点 B 坐标为(1,1) ,过点 B 作 EO1MA 交 MA 于点 E,交

6、 x 轴于点 O1,过点 O1 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A1,连接 A1B;以 O1A1为边作正方形 O1A1B1C1,点 B1的坐标为(5,3) 过 点 B1作 E1O2MA 交 MA 于 E1,交 x 轴于点 O2,过点 O2作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2,连接 A2B;以 O2A2为边作正方形 O2A2B2C2,则 A2021B2020的长为 12 (2021诸城市二模)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 与反比例函数 y= (x0)的图象交于 D,E 两点,矩形顶点 A,C 在坐标轴上,OD:DE10:21,ODE90,若点 D 的坐标为(2,5) , 则下列结论正

7、确的是 ASOEC10 BSDBE= 441 20 C = 21 4 D点 E 的坐标为(25 2 ,4 5) 13 (2021芜湖模拟)如图,在 RtABC 中,C90,AB10,BC6,点 D 是边 AC 上的动点,过 点 D 作 DEAB 于 E 点请探究下列问题: (1)若 DE4,则 CD ; (2)若 CD3,设点 F 是边 BC 上的动点,连接 FD、FE,以 FD、FE 为邻边作平行四边形 FDGE,且 使得顶点 G 恰好落在 AC 边上,则 CF 14 (2021禹城市模拟)如图,点 O 为正方形 ABCD 的中心,BE 平分DBC 交 DC 于点 E,延长 BC 到点 F,

8、使 FCEC,连接 DF 交 BE 的延长线于点 H,连接 OH 交 DC 于点 G,连接 HC则以下五个结论中 OH= 1 2BF; CHF45; BC (2+22) GH; DH 2HEHB; GFGD, 正确结论为 15 (2021潍坊一模)如图,AB 是O 的直径,D,E 是半圆上任意两点,连接 AD,DE,AE 与 BD 相交 于点 C,若添加一个条件使ADC 与ABD 相似,则可添加下列条件中的 A = BADDE CABDE DAD2BDCD 三解答题(共三解答题(共 5 小题)小题) 16 (2021安徽模拟)如图 1,RtABC 中,ABC90,AB2BC,D 为 AC 边上

9、一点,BEBD,BE 2BD,连接 DE 交 AB 于 F 点 (1)求证:CBDABE; (2)若DBC30,求 的值; ( 3 ) 如 图 2 , 若 D 在 射 线 AC 上 , 且 CD 1 , 当 F 点 为 BE 中 点 时 , 求 AB 的 值 17 (2021利辛县二模)如图 1,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 延长线上一点,且 BC3CE,F 为 CD 的中 点,EF 的延长线交 AD 于点 G,连接 BG (1)求 的值; (2)求证:BGEG; (3)如图 2,M 为 AB 的中点,DM 交 BG 于点 N,连接 CN,求证:CNGE 18 (2021青白江区模拟)

10、如图 1,在ABC 中,BD 为ABC 的平分线,点 D 在 AC 上 (1)求证: = ; (2)如图 2,BAC90,已知 AE 为 BC 边的中线,且 AEBE在射线 BD 上取一点 A使 AEA E,AE 交 AC 于点 F,过点 A作 AB 的垂线,交 BA 的延长线于点 G,连接 EG 交 BD 于点 H,连接 CH 求证:四边形 AGAF 为矩形; 若 tanC= 3 4,BGH 的面积为 S,请求出CEH 的面积(用含 S 的代数式表示) 19 (2021安徽模拟)如图 1,在矩形 ABCD 中,BGAC 交 AC 于点 G,E 为 AB 的中点,EG 的延长线交 AD 于点

11、F,连接 CF (1)若 AFFD,求ABG 的大小 (2)如图 2,若EFC90,M 为 CD 的中点,连接 BF,FM 求证:BFFM 试求 2 2的值 20 (2021安徽模拟)如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 在直线 BC 上,CE= 1 2BC,过 B 作 BGDE 于 G, 交 DC 的延长线于 H (1)求证:BHDE; (2)连接 AG 交 DC 的延长线于 F,求证: = 3 2; (3)如图 2,若点 E 在 BC 的延长线上,连接 AG 交 DC 于 F 点,求 的值 2022 年中考数学复习新题速递之图形的相似(年中考数学复习新题速递之图形的相似(2021 年年

12、 9 月)月) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1 (2021安徽模拟)如图,在ABC 中,B60,C45,AB4,E 为 AC 中点,D 为 AB 上一 点,连接 DE,当AED60时,AD 的长为( ) A23 B6 C3 D15 4 【解答】解:如图,过点 A 作 AHBC 于 H, B60,AHBC, BAH30, BH= 1 2AB2,AH= 3BH23, sinC= ,C45, 2 2 = 23 , AC26, 点 E 是 AC 的中点, AEEC= 6, AED60B,BACDAE, DAECAB, = , 6 4 = 26,

13、AD3, 故选:C 2 (2021福建模拟) 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 y1mx2, y2nx2, 直线 yp, 且 mn0, p0 该 直线与两条抛物线的交点的横坐标从左到右分别为 n1、m1、m2、n2下列说法中正确的是( ) 这两条抛物线为关于原点的位似图形; m1+m2n1+n2; 当 m9n 时,m2m1m1n1 A B C D 【解答】解:mn0 可知这两条抛物线开口大小不同,即形状不同, 这两条抛物线不可能位似图形,故错误, y1mx2,y2nx2的对称轴均为直线 x0, 1:2 2 = 0,1:2 2 =0, m1+m2n1+n2,故正确, 当 m9n 时, 令 y1p

14、,则 mx29nx2p, 解得:x= 1 3 或 1 3 , m1= 1 3 、m2= 1 3 , m2m1= 2 3 , 令 y2p,则 nx2p, 解得:x= 或 , n1= , m1n1= 2 3 , m2m1m1n1,故正确 故选:C 3 (2021蚌埠二模)如图,在ABC 中,点 D 是 AB 上一点,且ABCD,SADC:SBDC5:4,CD 4,则 AC 长为( ) A5 B6 C9 D8 5 5 【解答】解:SADC:SBDC5:4, SBCD:SABC4:9, ABCD,ABCCBD, ABCCBD, =( ) 2=4 9, 4 = 2 3, AC6, 故选:B 4 (202

15、1沙坪坝区校级开学)平行四边形 ABCD 如图所示,E 为 AB 上的一点,F、G 分别为 AC 与 DE、 DB 的交点若 AB:AE3:2,则四边形 BGFE 与ABCD 的面积之比为( ) A7:60 B8:70 C5:43 D3:26 【解答】解:AB:AE3:2, BE:AB1:3, SDBE= 1 3SABD= 1 6SABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,AGGC, AEFCDF, = = 2 3, 设 AF2a,CF3a, AC5a, AGCG= 5 2a, FG= 1 2a, AG5FG, SDFG= 1 5SADG= 1 20SABCD, S四边形BGFE

16、SDBESDFG= 7 60SABCD, 四边形 BGFE 与ABCD 的面积之比为 7:60, 故选:A 5 (2021安徽模拟)如图,在ABC 中,ACB90,D 点在 BC 边上, = 2 5,P 为 AB 边上一点, 当 PCPD 时, 的值为( ) A5 9 B5 8 C4 7 D3 5 【解答】解:过 P 作 PEAC 于 E,PFBC 于 F, 四边形 PECF 为矩形,PECF, PFBC, CFDF, APEABC, = = = 5 14, = ; = 5 14;5 = 5 9, 故选:A 6 (2021安徽模拟)在ABC 中,ABAC,D 为边 AB 上任意一点,下列命题为

17、真命题的是( ) A若 ADCDBC,则A36 B若A36,则 = 5;1 2 C若 = 5;1 2 ,且 D 为 AB 的黄金分割点,则 CD 平分ACB D若 CD 平分ACB,则 AD2ABBD 【解答】解:A、ABAC,ADCDBC, AACD,BACBCDB, 设Ax,则ACDAx, BACBCDBA+ACD2x A+B+ACB180, x+2x+2x180, x36, A36正确,故本选项不符合题意 B、如图 1 中,作 CT 平分ACB,则ACTBCT36, BB,ABCT36, BCTBAC, = , BC2BTBA, AACT36,BCTB72, ATTC,CBCT, ATC

18、TBC, 设 BCCTATx,ABy, 则有 x2(yx) y, x2+xyy20, x= 1+5 2 y 或;1;5 2 y(舍弃) , = 5;1 2 , 即 = 5;1 2 ,正确,本选项不符合题意 C、若 = 5;1 2 ,且 D 为 AB 的黄金分割点,点 D 有两个位置,这个结论错误本选项不符合题意 D、若 CD 平分ACB,AD2ABBD 不一定成立,错误,本选项不符合题意 故选:B 7 (2021 春济宁期末)线段 AB8,P 是 AB 的黄金分割点,且 APBP,则 BP 的长度为( ) A45 4 B85 +8 C85 8 D45 +4 【解答】解:线段 AB8,P 是 A

19、B 的黄金分割点,且 APBP, BP= 51 2 AB= 51 2 845 4 故选:A 8 (2021禹城市模拟)在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0) ,点 D 的坐标为(0,2) ,延长 CB 交 x 轴于点 A1,作正方形 A1B1C1C;延长 C1B1交 x 轴于点 A2,作正方形 A2B2C2C1按这样的规律进行下去,正方形 A2021B2021C2021C2020的面积为( ) A5 (3 2) 2021 B5 (9 4) 2020 C5 (9 4) 4040 D5 (3 2) 4042 【解答】解:正方形 ABCD 的点 A 的坐标为

20、(1,0) ,点 D 的坐标为(0,2) , OA1,OD2,AD= 5, = 1 2, 延长 CB 交 x 轴与点 A1,作正方形 A1B1C1C, AA1BDAO, 1 = 1 2, ADAB= 5, A1B= 5 2 , 第 1 个正方形的面积为:S1A1C25 (3 2) 2, 同理可得,A2c2(3 2 5 + 1 2 3 2 5)2, 第二个正方形面积为:S25 (3 2)4, . 第 n 个正方形面积为:Sn5 (3 2) 2n, 第 2021 个正方形的面积为:S20215 (3 2) 4042, 故选:D 9 (2021河北模拟)如图 2 中的矩形边长分别是将图 1 中的矩形

21、边长 4 拉长 2x,边长 5 拉长 x 得到的,若 两个矩形相似(不全等) ,则 x 的值是( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解:由题意,两个矩形相似, 4 5: = 5 4:2或 4 4:2 = 5 5:, 解得 x3 或 0(0 不符合题意舍弃) , 故选:A 10 (2021济南)如图,在ABC 中,ABC90,C30,以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径作弧 交 AC 于点 D,连接 BD,再分别以点 B,D 为圆心,大于1 2BD 的长为半径作弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E,连接 DE,则下列结论中不正确的是( ) ABEDE BDE 垂直平分线段 A

22、C C = 3 3 DBD2BCBE 【解答】解:由题意可得ABC90,C30,ABAD,AP 为 BD 的垂直平分线, BEDE, BAEDAE30, AEC 是等腰三角形, ABAD,AC2AB, 点 D 为 AC 的中点, DE 垂直平分线段 AC, 故选项 A,B 正确,不符合题意; 在ABC 和EDC 中,CC,ABCEDC90, ABCEDC, = = , = 30 = 3 2 ,DC= 1 2 , =3, = (3)2= 3, = 1 3,故选项 C 错误,符合题意; 在ABD 中,ABAD,BAD60, ABD 是等边三角形, ABDADB60, DBEBDE30, 在BED

23、和BDC 中,DBCEBD30,BDEC30, BEDBDC, = , BD2BCBE,故选项 D 正确,不符合题意 故选:C 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11 (2021铁锋区二模)如图,直线 AM 的解析式为 yx+1 与 x 轴交于点 M,与 y 轴交于点 A,以 OA 为 边作正方形 ABCO,点 B 坐标为(1,1) ,过点 B 作 EO1MA 交 MA 于点 E,交 x 轴于点 O1,过点 O1 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A1,连接 A1B;以 O1A1为边作正方形 O1A1B1C1,点 B1的坐标为(5,3) 过 点 B1作 E1O2MA 交 MA 于 E1

24、,交 x 轴于点 O2,过点 O2作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2,连接 A2B;以 O2A2为边作正方形 O2A2B2C2,则 A2021B2020的长为 320205 【解答】解:直线 AM 的解析式为 yx+1 与 x 轴交于点 M,与 y 轴交于点 A, 当 x0 时,y1, 当 y0 时,x1, 则 M 点坐标为(1,0) ,A 点坐标为(0,1) ,即 OMOA1, AMO45, EO1MA, MEO1是等腰直角三角形,BCO1是等腰直角三角形, MO11+1+13, EO1EA1= 32 2 ,BO1= 2,EB= 2 2 , A1B= 1 2 + 2= 5, 点 B1的坐标

25、为(5,3) ,可知第二个正方形的边长是 3,MO29, 同理 E1O2E1A2= 92 2 ,B1O232,E1B1= 32 2 , A2B135, 同理第三个正方形的边长是 9,MO227,E2O3E2A3= 272 2 ,B2O392,E2B2= 92 2 ,A3B295, . 依次类推,An+1Bn= 35, 故答案为:320205 12 (2021诸城市二模)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 与反比例函数 y= (x0)的图象交于 D,E 两点,矩形顶点 A,C 在坐标轴上,OD:DE10:21,ODE90,若点 D 的坐标为(2,5) , 则下列结论正确的是 BCD ASO

26、EC10 BSDBE= 441 20 C = 21 4 D点 E 的坐标为(25 2 ,4 5) 【解答】解:四边形 OABC 为矩形,D(2,5) , OA5,AD2,OD= 2+ 2= 29, 又OD:DE10:21, DE= 21 1029, ODE90, ODA+BDE90, 又ODA+AOD90, BDEAOD, OADDBE90, OADDBE, = = ,即 5 = 2 = 10 21, BD= 21 2 ,BE= 21 5 , OCAD+BD2+ 21 2 = 25 2 ,ECBCBE5 21 5 = 4 5, SOEC= 1 2OCCE= 1 2 25 2 4 5 =5, 故

27、 A 错误; 不符合题意; SDEB= 1 2BDBE= 1 2 21 2 21 5 = 441 20 , 故 B 正确, 符合题意; = 21 5 4 5 = 21 5 , 故 C 正确, 符合题意; CO= 25 2 ,EC= 4 5,则点 E 的坐标为( 25 2 ,4 5) , 故 D 正确, 符合题意, 故正确答案为:BCD 13 (2021芜湖模拟)如图,在 RtABC 中,C90,AB10,BC6,点 D 是边 AC 上的动点,过 点 D 作 DEAB 于 E 点请探究下列问题: (1)若 DE4,则 CD 4 3 ; (2)若 CD3,设点 F 是边 BC 上的动点,连接 FD

28、、FE,以 FD、FE 为邻边作平行四边形 FDGE,且 使得顶点 G 恰好落在 AC 边上,则 CF 12 5 【解答】解: (1)C90,AB10,BC6, AC= 2 2=8, sinA= 3 5,cosA= 4 5,tanA= 3 4, DEAB, sinA= = 3 5,DE4, AD= 20 3 , CDACAD= 4 3, 故答案为:4 3; (2)如图所示,四边形 FDGE 是平行四边形, EFDG, BEFA,EFBC90, CD3, AD5, cosA= = 4 5, AE4,BEABAE6, sinBEFsinA= 3 5, = 3 5, BF= 18 5 ,CFBCBF

29、= 12 5 , 故答案为:12 5 14 (2021禹城市模拟)如图,点 O 为正方形 ABCD 的中心,BE 平分DBC 交 DC 于点 E,延长 BC 到点 F,使 FCEC,连接 DF 交 BE 的延长线于点 H,连接 OH 交 DC 于点 G,连接 HC则以下五个结论中 OH= 1 2BF;CHF45;BC(2+22)GH;DH 2HEHB;GFGD,正确结论为 【解答】解:在正方形 ABCD 中,BCEDCF,BCDC, ECCF,BCEDCF,BCDC, BCEDCF(SAS) , CBECDF, CBE+BEC90,BECDEH, DEH+CDF90, BHDBHF90, BE

30、 平分DBC, HBDHBF, BHBH, BHDHBF(ASA) , DHHF, ODOB, OH 是DBF 的中位线, OH= 1 2BF, 故正确; 四边形 ABCD 是正方形,BE 是DBC 的平分线, BCCD,BCDDCF,EBC22.5, CECF, RtBCERtDCF(SAS) , EBCCDF22.5, BFH90CDF9022.567.5, OH 是DBF 的中位线,CDAF, OH 是 CD 的垂直平分线, DHCH, CDFDCH22.5, HCF90DCH9022.567.5, CHF180HCFBFH18067.567.545, 故正确; OH 是DBF 的中位线

31、, OHBF,OH= 1 2BF,OG= 1 2BC, OHBHBF, BE 是DBF 的平分线, DBHHBF, OHBHBO, OHBO, 设正方形的边长为 2a,则 BC2a,OGa,BD22a, OBOH= 2a, GHOHOG= 2aa(2 1)a, = 2 (2;1) =2+22, BC(2+2)GH, 故成立; DBF45,BE 是DBF 的平分线, DBH22.5, 由知HBCCDF22.5, DBHCDF, BHDBHD, DHEBHD, = , DH2HEHB, 故成立; OH 是DBF 的中位线, G 是 DC 的中点, DGGC, 在 RtCGF 中 GFGC,即 GF

32、DG, 故不成立, 故答案为: 15 (2021潍坊一模)如图,AB 是O 的直径,D,E 是半圆上任意两点,连接 AD,DE,AE 与 BD 相交 于点 C,若添加一个条件使ADC 与ABD 相似,则可添加下列条件中的 B,D A = BADDE CABDE DAD2BDCD 【解答】解:在ADC 和ADB 中,当 ADDE 时,ADCBDA, ADCBDC, ADCBDA, 另外当 AD2BDCD 时,则有 = , ADCADB, ADCBDA, 故答案为:B,D 三解答题(共三解答题(共 5 小题)小题) 16 (2021安徽模拟)如图 1,RtABC 中,ABC90,AB2BC,D 为

33、 AC 边上一点,BEBD,BE 2BD,连接 DE 交 AB 于 F 点 (1)求证:CBDABE; (2)若DBC30,求 的值; (3)如图 2,若 D 在射线 AC 上,且 CD1,当 F 点为 BE 中点时,求 AB 的值 【解答】解: (1)BEBD, DBE90ABC, CBDABE, AB2BC,BE2BD, = 2 = , CBDABE; (2)如图 1,过点 D 作 DHBC 于 H, ABC90,AB2BC, AC= 2+ 2 = 5BC, CBDABE, = = 1 2,AEBBDC, AE2CD, DHBC, ABCDHC90, 又CC, ABCDHC, = = ,

34、CH= 5 5 CD,DH= 25 5 CD, DBC30, BD2DH= 45 5 CD, AEBBDC,BDC+ADB180, AEB+ADB180, 点 A,点 E,点 B,点 D 四点共圆, AEDABD,BAEBDE, AEFDBF, = , = 5 2 ; (3)如图 2,过点 A 作 ANBE 于 N, F 点为 BE 中点,BE2BD, BFEF= 1 2BEBD, 又EBD90, BFDBDF45, CBDABE, AE2CD2,AEBADB45, 又BFDAFE45, AEFAFE, FAE90,AEAF2, EF22, ANBE, ANENFN= 2, EFBF22, B

35、N32, AB= 2+ 2 = 2 + 18 =25 17 (2021利辛县二模)如图 1,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 延长线上一点,且 BC3CE,F 为 CD 的中 点,EF 的延长线交 AD 于点 G,连接 BG (1)求 的值; (2)求证:BGEG; (3)如图 2,M 为 AB 的中点,DM 交 BG 于点 N,连接 CN,求证:CNGE 【解答】解: (1)F 为 CD 的中点, DFCF, 四边形 ABCD 为正方形, ADBC, GDFECF90 又DFGCFE GDFECF(ASA) , DGCE BC3CE, CE= 1 3BCDG, AGADDGBCCEBC

36、1 3BC= 2 3BC, = 2 3 1 3 =2; (2)过点 G 作 GHBC 于 H, CHDGCE= 1 3BC, EHCH+CE= 2 3BC, 在ABG 和HGE 中, = = 2 3 = = 90 = , ABGHGE(SAS) , BGEG; (3)过点 M 作 MTAD 交 BG 于 T, M 为 AB 的中点, MT= 1 2AGDG, ADMT, NMTNDG, 在MNT 和DNG 中, = = = , MNTDNG(AAS) , NTNG, BG4NG, = 3 4, BC3CE, = 3 4, = , CBNEBG, CBNEBG, BCNBEG, CNEG 18

37、(2021青白江区模拟)如图 1,在ABC 中,BD 为ABC 的平分线,点 D 在 AC 上 (1)求证: = ; (2)如图 2,BAC90,已知 AE 为 BC 边的中线,且 AEBE在射线 BD 上取一点 A使 AEA E,AE 交 AC 于点 F,过点 A作 AB 的垂线,交 BA 的延长线于点 G,连接 EG 交 BD 于点 H,连接 CH 求证:四边形 AGAF 为矩形; 若tanC = 3 4 , BGH的 面 积 为S , 请 求 出 CEH的 面 积 ( 用 含S的 代 数 式 表 示) 【思路】 (1)过点 D 作 DMAB 交 BC 于点 M,证明ABCDMC,利用相似

38、三角形的性质可得对应 边成比例,利用角平分线的定义和平行线的性质,可推出BDMDBM,利用等角对等边,可证得 DMBM,由此可得结论; (2)利用等腰三角形的性质可得EBABAE,可证得 AGAC,再证明 AEAB,可证得四 边形 AGAF 为平行四边形;然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,可证得结论; 在 RtABC 中,可设 AB3t,AC4t,可得到 BC5t,用含 t 的代数式表示出 EF,AG 的长,利用 (1 )可得到 EH 和 GH 的比值;利用三角形的中线和面积公式可得到 SCEHSBEH,即可求出CEH 的面积 【解答】 (1)证明:过点 D 作 DMAB 交 BC 于

39、点 M, ABCDMC,ABDBDM, = , = , DMAB = , BD 为ABC 的平分线, ABDDBM, BDMDBM, DMBM, = ; (2)解:证明:BAC90, ACAB, AGAB, AGAC, AEAE, BEAE, EBABAE, 又ABDDBE, ABDBAE, AEAB, 四边形 AGAF 为平行四边形, AGAB, 四边形 AGAF 为矩形; 解:由题意,在 RtABC 中,tanC= 3 4,设 AB3t,AC4t,则 BC5t, E 为 BC 边的中点,AEAB, EF 是ABC 的中线, EF= 3 2t,AEAE= 1 2BC= 5 2t, AGAF=

40、 5 2t 3 2tt, 在BEG 中由(1)可得: = = 5 3 3: = 5 8, AE 为 BC 边的中线, 5 8S CEHSBEH, = = = 5 8, SCEH= 5 8SBGH= 5 8S 19 (2021安徽模拟)如图 1,在矩形 ABCD 中,BGAC 交 AC 于点 G,E 为 AB 的中点,EG 的延长线交 AD 于点 F,连接 CF (1)若 AFFD,求ABG 的大小 (2)如图 2,若EFC90,M 为 CD 的中点,连接 BF,FM 求证:BFFM 试求 2 2的值 【思路】 (1)根据相似三角形的判定和性质得出EAFABC,进而利用三角函数解答即可; (2)

41、根据相似三角形的判定和性质得出AEFDFC,进而利用垂直的判定解答即可; 设 AEx,AFy,求出 AB2,AD2(用 a 表示) ,即可解决问题 【解答】证明: (1)F 是 AD 中点, AFFD, E 是 AB 中点, AEEB= 1 2AB, = 1 2, = = 1 2, EAFABC90, EAFABC, AEFBAC, AGEG, BGAC, EG= 1 2ABAEBE, AGAEBE= 1 2AB, = 1 2, sinABG= 1 2, ABG30; (2)EFC90, AFE+DFC90, AFEAEF90, DFCAEF, EAFD90, AEFDFC, = , AE=

42、1 2AB,DC2DM, 1 2 = 2, = , ABFDFM, AFMDMF, DMF+DFM90, AFB+DFM90, BFM90, BFFM; 设 AEx,AFy, 在 RtABG 中,AEBE, EAEG, EAGEGAFGC, 又EAFEFC90, FACFCA, FAFC, EAFEFCFDC90, EAFFDC, = , = 22 , 在 RtDFC 中,DF2+DC2FC2AF2, 4 4 2 + 42= 2, 2 2 = 2;1 2 , 2 2 = 42 (:2 2 )2 = 42 2+42+44 2 = 4 2 21+4+ 4(21) 2 = 2 1 20 (2021安

43、徽模拟)如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 在直线 BC 上,CE= 1 2BC,过 B 作 BGDE 于 G, 交 DC 的延长线于 H (1)求证:BHDE; (2)连接 AG 交 DC 的延长线于 F,求证: = 3 2; (3)如图 2,若点 E 在 BC 的延长线上,连接 AG 交 DC 于 F 点,求 的值 【思路】 (1)证明DCEBCH(ASA) ,考点 BHDE (2)如图 1 中,设 BEECm,则 BCCD2m,想办法用 m 表示 DF,CF,即可解决问题 (3)如图 2 中,设 CECHn,则 BCCDAB2n,想办法用 n 表示 DF,CF,即可解决问题 【解答

44、】 (1)证明:四边形 ABCD 是正方形, BCDBCH90,CDCB, BGDG, BGEDCE90, BEGCED, CDECBH, DCEBCH(ASA) , BHDE (2)证明;如图 1 中,设 BEECm,则 BCCD2m, CDECBH, tanCBHtanCDE= 1 2, = 1 2, EG= 5 5 m,BG= 25 5 m,DE= 2+ 2= 5m, CHECm, DHDC+CH3m,DGDE+EG= 65 5 m, GH= 2 2=(3)2 (6 5 5 )2= 35 5 m, ABFH, FHGABG, = , 2 = 35 5 25 5 , FH3m, DF6m,CF4m, = 6 4 = 3 2 (3)解:如图 2 中,同法可证,DCEBCH, ECCH, 设 CECHn,则 BCCDAB2n, CDECBH, tanCBHtanCDE= 1 2, = 1 2, GH= 5 5 n,BH= 2+ 2= 5n, GBGH+BH= 65 5 n, FHAB, GFHGAB, = , 2 = 5 5 65 5 , FH= 1 3n, DFDHFHn 1 3n= 2 3n,CFCH+FHn+ 1 3n= 4 3n = 2 3 4 3 = 1 2