1、15 基本不等式基本不等式 【教材梳理】 1如果 a0，b0，那么_叫做这两个正数的算术平均数 2如果 a0，b0，那么_叫做这两个正数的几何平均数 3重要不等式：a，bR，则 a2b2_ (当且仅当 ab 时取等号) 4基本不等式：a0，b0，则_，当且仅当 ab 时等号成立，即两个正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数 5求最小值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab，a2b2有_，即 a b_，a2b2_简记为：积定和最小 6求最大值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab 有最大值，即_，亦即 _；或 a2b2为定值时，ab 有最大值(a0，b0)，即_简记为： 和定积最大 【常用结论
2、】 7基本不等式的常用推论 (1)ab ab 2 2 a 2b2 2 (a，bR) (2)当 ab0 时，b a a b2； 当 ab0，b0) 对于第 4 条中的几个式子，当 a0，b0 时， 2 1 a 1 b 称为 a，b 的调和平均数， a2b2 2 称为 a，b 的 平方平均数，即有：正数 a，b 的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数另外，以上 4 组不等式，等号成立的条件均为“当且仅当 ab” 8三元均值不等式 (1)abc 3 3 abc (2)a 3b3c3 3 abc 以上两个不等式中 a，b，cR，当且仅当 abc 时等号成立 9三个定理 熟悉以下定理，常使解题更简捷
3、 (1)定理 1(二维形式柯西不等式) 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时，等号成立 (2)定理 2(一般形式的柯西不等式) 设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a2 1a 2 2a 2 n)(b 2 1b 2 2b 2 n)(a1b1a2b2 anbn)2，当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2，n)时，等号成立 (3)定理 3(排序不等式，又称排序原理) 设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是 b1，b2，bn的任一排列，则 a1bna2bn 1
4、anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，即反序和乱序和顺序和当且仅当 a1a2 an或 b1b2bn时，反序和等于顺序和 【自查自纠】 1ab 2 2ab 32ab 4ab 2 ab 5最小值 2 ab 2ab 6ab ab 2 2 ab1 4(ab) 2 aba 2b2 2 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)a，bR，(ab)24ab ( ) (2)a0，b0，则 a2b22 ab ( ) (3)函数 yx1 x的最小值是 2 ( ) (4)函数 f(x)cosx 4 cosx，x 0， 2 的最小值等于 4 ( ) (5)“x0 且 y0”是
5、“x y y x2”的充分不必要条件 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 已知 x5 4，则 f(x)4x2 1 4x5的最大值为( ) A0 B1 C3 D5 解：因为 x0，则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3 2（54x） 1 54x3231当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，等号成 立故选 B (2019首都师范大学附中模拟)在各项均为正数的等比数列 an中， a63，则 a4a8 ( ) A有最小值 6 B有最大值 6 C有最大值 9 D有最小值 3 解：因为 a63，所以 a4a8a2 69，所以 a4a82 a4a86，当且仅当
6、a4 a83 时等号成立故选 A (2021届黄冈高三9月质检)若实数 a，b 满足1 a 4 b ab，则 ab 的最 小值为( ) A 2 B2 C2 2 D4 解：依题意知，a0，b0，所以1 a 4 b ab2 1 a 4 b 4 abab4当 且仅当1 a 4 b时等号成立故选 D (2020天津卷)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值 为_ 解：依题意得， 1 2a 1 2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab2 ab 2 8 ab4，当且仅当 a0， b0， ab1， ab 2 8 ab， 即 ab1， ab4时取等号因此 1
7、2a 1 2b 8 ab的最小值为 4故填 4 考点一考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 命题角度 1 直接求最值 已知 a0，b0，且 4ab1，则 ab 的最大值为_ 解法一：因为 a0，b0，4ab1，所以 14ab2 4ab4 ab，当且仅当 4a b1 2，即 a 1 8，b 1 2时，等号成立所以 ab 1 4，ab 1 16，则 ab 的最大值为 1 16 解法二：因为4ab1，所以ab 1 44ab 1 4 4ab 2 2 1 16，当且仅当 4ab 1 2，即 a1 8，b 1 2时等号成立，所以 ab 的最大值为 1 16故填 1 16 【点拨】 在利用基本不
8、等式求最值时，要注意一正，二定，三相 等“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必 须是正数； “二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数； “三相等” 是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值 (2019济南联考)若 a0，b0 且 2ab4，则 1 ab的最小值为 ( ) A2 B1 2 C4 D 1 4 解：因为 a0，b0，故 2ab2 2ab(当且仅当 2ab 时取等号) 又因为 2ab4， 所以 2 2ab402， 则函数 f(x)x 1 2x4的最小 值为( ) A2 2 B22 2 C2 D2 2 解： 当 x2 时，f(x)x 1 2x4x2 1
9、2（x2）22 （x2） 1 2（x2）2 22，当且仅当 x2 1 2（x2），即 x2 2 2 时取等号， 所以 f(x)的最小值为 2 2故选 A (2)已知 a0，b0，则b a 4a ab的最小值为_ 解：当 a0，b0 时，b a 4a ab ab a 4a ab12 ab a 4a ab13，当且 仅当ab a 4a ab，即 ab 时等号成立故填 3 【点拨】有些式子通过配凑后，可构造出能用基本不等式求最值的结 构常见的有配系数、常数项、平方等遇到分式，可尝试分离后再用基本 不等式，对于分子次数比分母高的分式，可尝试先对分子进行配凑，使之出 现与分母相同的项，然后分离得到可用基
10、本不等式求解的结构；对于分母次 数比分子高的分式，可尝试上下同除以分子，使分母出现互倒的结构，再用 基本不等式求解 (1)函数 yx 22 x1 (x1)的最小值为_ 解：当 x1 时，yx 22 x1 （x 22x1）（2x2）3 x1 （x1） 22（x1）3 x1 (x1) 3 x122 32 当且仅当 x1 3 x1， 即 x 31 时，等号成立故填 2 32 (2)(2020年辽宁六校高一月考)若 0 x1 2，则 yx 14x 2的最大值为( ) A1 B1 2 C 1 4 D 1 8 解：因为 0 x0， b0)过点(1， 2)，当2 a 1 b取最小值时直线 l 的斜率为( )
11、 A2 B1 2 C 2 D2 2 解：因为直线 l 过点(1，2)，所以a2b20，即a2b 2 1，所以2 a 1 b 2 a 1 b a2b 2 1 2(4 4b a a b) 1 2 42 4b a a b 4，当且仅当4b a a b，即 a2b 时取等号所以直线 l 的斜率a b2故选 A (2)(2021届苏州高三期初调研)设 a0，b0，且 2ab1，则1 a 2a ab ( ) A有最小值为 4 B有最小值为 2 21 C有最小值为14 3 D无最小值 解： 易知1 a 2a ab 2ab a 2a ab1 ab a 2a ab12 2， 当且仅当 a b 2a 且 2ab1
12、，即 a 21，b32 2时等号成立故选 B 命题角度 4 换元法求最值 (2020届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x，y 满足 x2xyy21， 则 xy 的最大值为 ( ) A1 B2 C3 D4 解：原式可化为(xy)213xy13 xy 2 2 ，令 txy，得3 4t 21t2，解 得2t2，所以 xy 的最大值为 2，当且仅当 xy1 时等号成立故选 B 【点拨】 已知条件中含 x2y2，xy，xy 混合结构的常可通过 换元法用基本不等式求最值，一般“求谁设谁”，再建立不等式求 解 (2019上海模拟)设 x，y 均为正实数，且 3 2x 3 2y1， 则 xy 的最小值为_ 解
13、： 3 2x 3 2y1 可化为 xy8xy，因为 x，y 均为正实数，所 以 xy8xy82 xy(当且仅当 xy 时等号成立)，令 t xy，得 t2 2t80，解得 t4，即 xy16，故 xy 的最小值为 16故填 16 命题角度 5 消元法求最值 (2020江苏卷)已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是_ 解： 因为 5x2y2y41， 所以 y0 且 x21y 4 5y2 ， 所以 x2y21y 4 5y2 y2 1 5y2 4y2 5 2 1 5y2 4y2 5 4 5，当且仅当 1 5y2 4y2 5 ，即 x2 3 10，y 21 2时取等号所以 x 2y
14、2 的最小值 为4 5故填 4 5 【点拨】 消元法即根据条件建立两个变量之间的函数关系， 然后代入代 数式转化为函数的最值问题求解若被消去的元带有范围，则这个范围常由 主元确定 已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为 _ 解：由 x3yxy9，得 x93y 1y ，由 x0，y0 知，0y0，则a 44b41 ab 的最小值为_ 解： 因为 ab0， 所以a 44b41 ab 2 4a 4b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab2 4ab 1 ab 4，当且仅当 a 22b2， ab1 2 时取等号，故a 44b41 ab 的最小值是 4故填 4 【点拨】 基本不
15、等式具有将“和式”转化为“积式”以及将“积 式”转化为“和式”的放缩功能，为了达到求最值的目的，需多次使用 基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件应是相同的 (2020安徽合肥第二次质检)若 ab0，则 a2b2 1 （ab）2 的最小值为_ 解：a2b2 1 （ab）2 （ab）2 2 1 （ab）22 1 2 2，当且仅当 a b23 4时，a 2b2 1 （ab）2取得最小值 2故填 2 考点二考点二 基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用 (1)(2019黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意 x0， 都有 4x x2x1a 恒成 立，则实数 a 的取值范围是_ 解： 因为x0， 所以
16、x1 x2(当且仅当x1时取等号)， 所以 4x x2x1 4 1 xx1 4 21 4 3，即 4x x2x1的最大值为 4 3，即实数 a 的取值范围是 4 3， 故填 4 3， (2)(2019厦门模拟)已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，f(x)恒为正值， 则 k 的取值范围是 ( ) A(，1) B(，2 21) C(1，2 21) D(2 21，2 21) 解：由 f(x)0 得 32x(k1)3x20，解得 k13x 2 3x又 3 x2 3x2 2(当且仅 当 3x 2 3x，即 xlog3 2时，等号成立)，所以 k12 2，即 k0， 所以 T(x)60 x1
17、5 000 000 x 2 6015 000 00060 000，当且仅当 60 x15 000 000 x ， 即 x500 时，取等号 所以每次需订购 500 t 甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为 60 000 元 【点拨】 应用题重在审题，准确理解题意，问题就解决了 一小半随着新高考对应用的加强，考生应强化信息提取能力 训练 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划 一个面积为 200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排 2 m 宽 的绿化，绿化造价为 200 元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬 化造价为
18、 100 元/m2设矩形的长为 x(m)，总造价为 y(元) (1)将 y 表示为关于 x 的函数； (2)当 x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价 解：(1)由矩形的长为 x，得矩形的宽为200 x ， 则中间区域的长为 x4，宽为200 x 4，则定义域为(4，50)， 则 y100 （x4） 200 x 4200200(x4) 200 x 4 ， 整理得 y18 400400 x200 x ，x(4，50) (2)x200 x 2x200 x 20 2， 当且仅当 x200 x 时取等号，即 x10 2(4，50) 所以当 x10 2 m 时，总造价最低，且为 18 4008 000 2元