1、22 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【教材梳理】 1函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的_自变量的值 x1，x2，当 x1 x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ (2)单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数 yf(x)在这一区间具 有(严格的) _，区间 D 叫做 yf(
2、x)的_ 2函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： 对于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值 (2)最小值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足： 对于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 那么我们称 N 是函数 yf(x)的最小值 【常用结论】 3判断函数单调性的主要方法(结论) (1)定义法 其常见两种等价形式为： 设 x1，x2(a，b)，且 x1x2，那么 f（x1）f（x2） x1x2 0f(x)在(a，b)内是增函数； f（x1）f（x2）
3、 x1x2 0f(x)在(a，b)内是减函数 上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率恒大于(或小于)零 (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a，b)内是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a，b)内是减函数 (2)性质法 当常数 c0 时，yc f(x)与 yf(x)的单调性相同；当常数 c0 且 g(x)0，f(x)与 g(x)都是增(减)函数，则 f(x) g(x)也是增(减函数)；若 f(x)0 且 g(x)0 且 a1) (3)f(xy)f(x)f(y)，原型为 f(x)logax(a0 且 a1) (4)
4、f(xy)f(xy)2f(x)f(y)(f(0)0)，原型为 f(x)cosx 【自查自纠】 1(1)任意两个 增函数 任意两个 减函数 (2)单调性 单调区间 2(1)f(x)M f(x0)M (2)f(x)N f(x0)N 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0，解得 x4，结合二次函数 的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调 增区间为(4，)故选 D 已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f 1 x f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A(，1) B(1，) C(，0)(0，1)
5、D(，0)(1，) 解：由题意知，1 x0，所以 x1故选 D (2020 四川省南充高级中学高一月考)已知函数 f(x) （a3）x5，x1， 2a x ，x1 是 (，)上的减函数，则 a 的取值范围是 ( ) A(0，3) B(0，3 C(0，2) D(0，2 解：因为函数 f(x)为 R 上的减函数， 所以 a30， （a3）152a， 解得 00，解得 x2，因此函数 ylog1 2 (x23x2)的定义域为(， 1)(2，)令 ux23x2，ylog1 2 u(u0)，由于内层函数 ux23x2 在 x(，1) 上单调递减，外层函数 ylog1 2 u 在 u(0，)上单调递减，由
6、复合函数单调性可知，函数 y log1 2 (x23x2)的单调递增区间是(，1)故选 A (3)函数 f(x)(3x2)ex的单调递增区间是 ( ) A(，0) B(0，) C(，3) D(3，1) 解：f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex，由于 ex0，令 f(x)0，则有 x22x30，解得3x0 在定义域上恒成 立，又(0，)(1，)，因此函数 f(x)在(0，)上单调递增故选 B (2)(2019山东济宁一中期末)已知函数 f(x)loga(x22x3)(a0 且 a1)，若 f(0)0，可得3x1，故函数 f(x)的定 义域为x|3x1根据 f(0)loga30，可得
7、0a1，则即求函数 g(x)在(3， 1)内的单调递减区间又 g(x)在定义域(3，1)内的单调递减区间是1，1)，所 以 f(x)的单调递增区间为1，1)故选 C (3)函数 f(x)sinxx 的单调递减区间是 ( ) A(，0) B(1，) C(，) D ， 2 解： f(x)sinxx， f(x)cosx10， 即函数 f(x)在 R 上是减函数故 选 C (4)求函数 f(x)x22|x|3 的单调区间 解：因为 f(x) x22x3，x0， x22x3，x0， 其图象如图所示，所以函数 yf(x)的单调递增区间为(，1和0， 1，单调递减区间为1，0和1，) 命题角度 2 用定义判
8、断函数的单调性 试讨论函数 f(x) ax x1(a0)在(1，1)上的单调性 解法一：设1x1x21， f(x)a x11 x1 a 1 1 x1 ， f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 a（x2x1） （x11）（x21）， 由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增 【点拨】 证明函数在某区间上的单调性有两种方法：定义法
9、：基本步骤为 取值、作差或作商、变形、判断；可导函数可以利用导数证明函数单调性定 义的等价形式见本节【常用结论】 【多选题】(20202021 学年江苏无锡高一上期中)如果对定义在 R 上的奇函 数 yf(x)，对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称 函数 yf(x)为“H 函数”，下列函数为“H 函数”的是 ( ) Af(x)ex Bf(x)x33x Cf(x)x1 x Df(x)x|x| 解：对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，可得 x1f(x1) f(x2)x
10、2f(x1)f(x2)0，即(x1x2)f(x1)f(x2)0，不妨设 x1x2，则 x1x20，可得 f(x1) f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 所以若函数 yf(x)为“H 函数”， 则函数 yf(x)为 R 上的奇函数， 且为增函数 对于 A 选项，函数 f(x)ex为 R 上的非奇非偶函数，不合题意；对于 B 选项，函数 f(x) x33x 的定义域为 R，且该函数为 R 上的增函数，f(x)(x)33 (x)x33x f(x)，所以，函数 f(x)x33x 为奇函数，满足题意；对于 C 选项，函数 f(x)x1 x的定 义域为x|x0， 不合题意； 对于 D 选项， 函数
11、 f(x)x|x|的定义域为 R， 且 f(x) x2，x0， x2，xlog331，120 3 2 2 3 2 2 ，所以 log34 3 2 2 3 2 2 ，又 f(x)在(0，)单 调递减，所以 f(log34)f( 3 2 2 )f( 3 2 2 )f log31 4 故选 C 【点拨】 比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量 转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比 较其函数值大小 (2020天津月考)已知奇函数 f(x)在 R 上是减函数，若 af log31 4 ，b f(log2 3 2)，cf(2 08)，则 a，b，c 的大小关系
12、为( ) Aabc Bacb Cbca Dcab 解：由于 f(x)是奇函数，所以 af log31 4 f(log34)，又 log3412 080log 2 3 2， 且 f(x)在 R 上单调递减， 故 ac0， 则满足 f(x1)0 且 a1，若函数 f(x)logaax2(2a)x3在 1 3，2 上是增函数， 则 a 的取值范围是_ 解：由复合函数单调性可知 当 a1 时， 2a 2a 1 3， 1 9a 2a 3 30， 解得 a6 5； 当 0a0， 解得1 61， 是 R 上的减函数， 则 a 的取 值范围是_ 解：因为函数 f(x)在 R 上是减函数，所以 3a10， 0a
13、1， 7a10， 解得1 7a 1 3故填 1 7， 1 3 【点拨】 利用单调性求参数：依据函数的图象或单调性定义，确 定函数的单调区间，与已知单调区间比较；需注意若函数在区间a， b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函 数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 (1)(2019甘肃会宁联考)若 f(x)xa1 x2 在区间(2，)上是 增函数，则实数 a 的取值范围是_ 解：f(x)xa1 x2 x2a3 x2 1a3 x2，要使函数在区间(2，)上 是增函数，需使 a30，解得 a0，且 a1) 在0，1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为_
14、解：yax与 yloga(x1)同增或同减，则函数 f(x)在0，1上单调递增或递 减，则 f(0)f(1)a，所以 1aloga2a，解得 a1 2故填 1 2 (2)(20192020学年辽宁省六校协作体高一上期中)设函数 f(x)x1 x， x 1 2，3 ， 则函数的最小值为_；若x 1 2，3 ，使得 a 2af(x)成立，则实数 a 的取值 范围是_ 解：因为函数 f(x)x1 x，x 1 2，3 ， 易得函数在 1 2，1 为减函数，在1，3为增函数， 所以 f(x)minf(1)112，即函数的最小值为 2 又x 1 2，3 ，使得 a 2af(x)成立，则 a2af(x) m
15、in，即 a 2a2， 解得 a2 或 a1，即实数 a 的取值范围是(，12，) 故填 2；(，12，) 【点拨】 求函数最值的方法与求函数值域的方法大体一致(详见本书 21 节)，应注意最值与值域的关系：函数的值域一定存在，而最值不一定 存在；若函数的最值存在，依据其定义，则一定是值域中的元素；若值域是 开区间，则函数无最值，若值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最 值利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解若 函数 f(x)在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小 值为 f(a)；若函数 f(x)在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)
16、在a，b上的最大值 为 f(a)，最小值为 f(b)恒成立及存在成立问题常转化为值域问题，转化思 路详见本书 14 节 (1)已知函数 f(x) log1 3 x，x1， x22x，x1， 则 f(f(3)_， 函数 f(x)的最大值是 _ 解：由于 f(x) log1 3 x，x1， x22x，x1， 所以 f(3)log1 3 31，则 f(f(3)f(1)3 当 x1 时，由 f(x)log1 3 x 是减函数，得 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _ 解：()当 a1 2时，f(x)x 1 2x2，易证 f(x)在 2 2 ， 上是增函数 所以 f(x)在区间1，)上为增函
17、数，所以 f(x)在区间1，)上的最小值为 f(1)7 2 ()当 x1，)时，x 22xa x 0 恒成立，则 x22xa0 对 x1，)恒成立，即 a (x22x)在 x1，)上恒成立 令 g(x)(x22x)(x1)21，x1，)， 所以 g(x)在1，)上是减函数，g(x)maxg(1)3又 a1，所以30 时， 恒有 f(x)1 (1)求证：f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2 解：(1)证明：设 x1，x2R 且 x10，因为当 x0 时，f(x)1，所以 f(x2 x1)1 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，所以 f
18、(x2)f(x1)f(x2x1)10，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在 R 上是增函数 (2)因为 m，nR，不妨设 mn1， 所以 f(11)f(1)f(1)1，即 f(2)2f(1)1， 又 f(3)4， 所以 f(21)f(2)f(1)13f(1)24， 得 f(1)2， 所以 f(a2a5)2 f(1) 又因为 f(x)在 R 上为增函数， 所以 a2a51，解得3a2，即 a(3，2) 【点拨】 对于抽象函数单调性的判断要紧扣单调性的定义， 结合题目所给 性质和相应的条件，对任意 x1，x2在所给区间内比较 f(x1)f(x2)与 0 的大小， 或f（x1） f（x2）与
19、 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形，如 x1x2x1x2 或 x1x2 x1 x2等深挖已知条件，是求解此类题的关键 在客观题的求解中，也可 考虑用特殊化方法处理，如本题中依条件取 f(x)x1 f(x)的定义域为(0，)，且对一切 x0，y0 都有 f x y f(x)f(y)， 当 x1 时，有 f(x)0 (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并证明； (3)若 f(6)1，解不等式 f(x5)f 1 x 2 解：(1)f(1)f x x f(x)f(x)0，x0 (2)f(x)在(0，)上是增函数 证明：设 0 x1x2，则由 f x y f(x)f(y)，得 f(x2)f(x1)f x2 x1 ，因为x2 x11，所以 f x2 x1 0 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x)在(0，)上是增函数 (3)因为 f(6)f 36 6 f(36)f(6)，又 f(6)1， 所以 f(36)2，原不等式化为：f(x25x)f(36)， 又因为 f(x)在(0，)上是增函数， 所以 x50， 1 x0， x25x36， 解得 0 x4