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2022高考数学一轮总复习课件:2.8 函数与方程

1、28 函数与方程函数与方程 【教材梳理】 1函数的零点 (1)定义:对于函数 yf(x),我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的_,也是函数 yf(x)的图象与 x 轴的_ (2)函数有零点的几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根 函数 yf(x)的图象与 x 轴_ 函数 yf(x) _ 由此可知,求方程 f(x)0 的实数根,就是确定函数 yf(x)的_一般地,对于不能用公式求根的方 程 f(x)0 来说,我们可以将它与_联系起来,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根 2函数的零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a,b上的

2、图象是连续不断的一条曲线,并且有_,那么,函数 yf(x) 在区间_内有零点,即存在 c_,使得_,这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 【常用结论】 3对于零点存在性定理,须知满足条件的零点可能不惟一;不满足条件时, 也可能有零点 4确定函数 f(x)零点个数的基本思路 (1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数, 一般由对应的二次方程 f(x)0 的判别 式 0,0,0 来完成;对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数, 则要结合二次函数的图象进行判断 (2)对于一般函数零点个数的判断,不仅要用到零点存在性定理,有时还必须结 合函数的图象和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题

3、(3)若函数f(x)在a, b上的图象是连续不断的一条曲线, 且是单调函数, 又f(a) f(b) 0,则 yf(x)在区间(a,b)内有唯一零点 【自查自纠】 1(1)f(x)0 实数根 交点的横坐标 (2)有交点 有零点 零点 函数 yf(x) 2f(a) f(b)0 (a,b) (a,b) f(c)0 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“” ,错误的画“” (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)函数 yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a) f(b)0 ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( ) (4)二

4、次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点 ( ) (5)已知函数 f(x)在a,b内图象连续且单调,若 f(a) f(b)0,则函数 f(x)在a,b上有 且只有一个零点( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 下列函数的图象均与 x 轴有交点,其中不宜用二分法求交点横坐标的是( ) A B C D 解:利用二分法求函数与 x 轴交点的横坐标,该函数的零点必须是变号零点,所 以根据这个条件可知,不宜用二分法求交点横坐标的是选项 C 的图象故选 C (2020 合肥市第八中学高一月考)若函数 f(x)2xx7 的零点所在的区间 为(k,k1)(kZ),则 k(

5、 ) A3 B4 C1 D2 解:因为 f(2)4270,且 f(x)单调递增,所以 f(x)的零点所在的区间 为(2,3),所以 k2故选 D (2018全国卷)已知函数 f(x) ex,x0, lnx,x0,g(x)f(x)xa若 g(x)存 在 2 个零点,则 a 的取值范围是( ) A1,0) B0,) C1,) D1,) 解:函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点,即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2 个 不同的实根,即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点,作出直线 yxa 与函数 yf(x)的图象, 如图所示,由图可知,a1,解得 a1故选 C (2020

6、届湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校高三上 10 月联考)函数 f(x) 3x2,x0, xlog36,x0的零点之和为_ 解:令 3x20,解得 xlog32,令 xlog360,解得 xlog36,则函数 f(x)的零点之和为 log32log36log31 31故填1 考点一考点一 判断函数零点所在区间判断函数零点所在区间 (1)函数 f(x)log8x 1 3x的一个零点所在的区间是 ( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 解:因为函数 f(x)log8x 1 3x是连续的增函数,f(1)0 1 3 1 30,f(2) log821 6 1 3 1 60, 可得 f

7、(1)f(2)0, 所以函数 f(x)的零点所在的区间是(1, 2) 故 选 B (2)若 abc,则函数 f(x)(xa)(xb)(xb) (xc)(xc)(xa)的两 个零点分别位于区间 ( ) A(a,b)和(b,c)内 B(,a)和(a,b)内 C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,)内 解: 易知 f(a)(ab)(ac), f(b)(bc)(ba), f(c)(ca)(cb)又 ab0,f(b)0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零 点分别位于区间(a,b)和(b,c)内故选 A 【点拨】 理解函数零点存在定理要注意三点: “函数 yf(x)在区间a,b上的图象是

8、一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)0),则函数 yf(x)( ) A在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点 C在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点 解:f(x)1 xx 1x2 x ,故 f(x)在(0,1)上递增,在(1,)递减,又 f 1 e ln1 e 1 2 1 e 2 10,f(2)ln210 的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 解:由 x0, x22x30,得 x3由 x0, 2lnx0,得 xe 2所以 f(x)的零点个 数为 2故选 C (2)已知 f(x

9、) |lnx|,x0, 2|x|,x0, 则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_ 解:由 2f2(x)3f(x)10 得 f(x)1 2或 f(x)1, 作出函数 yf(x)的图象 由图象知 y1 2与 yf(x)的图象有 2 个交点,y1 与 yf(x)的图象有 3 个交点因此函 数 y2f2(x)3f(x)1 的零点有 5 个故填 5 (3)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x),当 x0,1时,f(x)x,则函 数 yf(x)log3|x|的零点个数是 ( ) A5 B4 C3 D2 解: 由题意知, f(x)是周期为 2 的偶函数在同一坐标系内作出函数

10、yf(x)及 ylog3|x| 的图象,如图 观察图象可以发现它们有 4 个交点,即函数 yf(x)log3|x|有 4 个零点故选 B 【点拨】 判断函数零点个数的方法:解方程法;零点存在性 定理结合函数的性质;数形结合法,即转化为两个函数图象的交点 个数 (1)函数 f(x)xcosx2在区间0,4上的零点个数为 ( ) A4 B5 C6 D7 解: 由 f(x)xcosx20, 得 x0 或 cosx20又 x0, 4, 所以 x20, 16由 于 cos 2k 0(kZ),而在 2k(kZ)的所有取值中,只有 2, 3 2 , 5 2 , 7 2 , 9 2 满足在0,16内,故零点个

11、数为 156故选 C (2)方程|x22x|a21(aR )的解的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 解:因为 aR ,所以 a211 而 y|x22x|的图象如图,所以 y|x22x| 的图象与 ya21 的图象总有两个交点所以方程有两解故选 B (3)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x(0,)时,f(x)2 021xlog2 021x, 则函数 f(x)的零点个数是( ) A1 B2 C3 D4 解: 作出函数 y2 021x和 ylog2 021x 的图象如图所示, 可知函数 f(x)2 021x log2 021x 在 x(0,)上只有一个零点,又 f(x)是定义在

12、R 上的奇函数,所以 f(x) 在 x(,0)上只有一个零点,又 f(0)0,所以函数 f(x)的零点个数是 3故选 C 考点三考点三 函数零点的应用函数零点的应用 命题角度 1 由函数零点个数求参数 函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( ) A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2) 解:因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)2 x2 xa 的一 个零点在区间(1,2)内,则有 f(1)0 且 f(2)0,即 a0, 3a0, 所以 0a3故选 C 【点拨】 由零点存在性定理求参数范围,属于零点

13、存在性定理的逆用, 要注意结合函数的单调性来确定参数的范围,否则可能出错 若函数 f(x)3ax12a 在区间(1,1)上存在一个零点,则实 数 a 的取值范围是( ) A 1 5, B(,1) 1 5, C 1,1 5 D(,1) 解:显然 a0,因为 f(x)在(1,1)上为单调函数,要使函数 f(x)在区间(1, 1)上存在一个零点,则有 f(1)f(1)0,即(a1)(5a1)1 5或 a1 故 选 B 命题角度 2 与零点相关的比较大小问题 已知三个函数 f(x)2xx,g(x)x2,h(x)log2xx 的零点依次 为 a,b,c,则( ) Aabc Bacb Cbac Dcab

14、解:方法一:由于 f(1)1 21 1 20,且 f(x)为 R 上的单调递增函数,故 f(x) 的零点 a(1,0) 因为 g(2)0,所以 g(x)的零点 b2 因为 h 1 2 11 2 1 20,且 h(x)为(0,)上的增函数,所以 h(x)的零点 c 1 2,1 因此 acb 方法二:由 f(x)0 得 2xx,由 h(x)0 得 log2xx,作出函数 y2x,ylog2x 和 y x 的图象(如图) 由图象易知 a0,0c1,而 b2,故 acb故选 B 【点拨】 与函数零点有关的函数值比较大小, 可以通过函数性质结 合零点存在性定理确定,也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象

15、, 根据交点及图象位置关系确定 已知函数 f(x)|lg(x1)|ax(0a1)有两个零点 x1,x2,则有 ( ) Ax1x21 Bx1x2x1x2 解: 由已知得: 不妨设 1x1ax2ax2ax10 lg(x11)ax1, lg(x21)ax2 lg(x11)(x21)ax2ax10,化简得 x1x2x1x2故选 B 思想方法微专题 数形结合思想在函数与方程中的应用 (1)(2020天津卷)已知函数 f(x) x3,x0, x,x0, 1,x0, 当 k0 时,此时 y2,如图 1,y2 与 h(x)有 1 个不同交点,不满足题意; 图 1 当 k0 时,如图 3,当 ykx2 与 yx

16、2相切时,联立方程得 x2kx20, 图 3 令 0 得 k280,解得 k2 2(负值舍去),所以 k2 2,此时直线 y|kx2|与 h(x)1(x0)无交点,满足题 意 综上,k 的取值范围为(,0)(2 2,)故选 D (2)设函数 f(x) 2xa,x1, 4(xa)(x2a),x1 ()若 a1,则 f(x)的最小值为_; ()若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是_ 解:()若 a1,则 f(x) 2x1,x1, 4(x1)(x2),x1 作出函数 yf(x)的图象,如图所示由图可得 f(x)的最小值为1 ()当 a1 时,要使 f(x)恰有 2 个零点,需满足

17、21a0,即 a2,所以 a2当 a1 时,要使 f(x)恰有 2 个零点,需满足 a0, a0, 解得1 2a0, 若函数 g(x)f(x)xa 有 3 个零点, 则实数 a 的取值范围是( ) A0,2) B0,1) C(,2 D(,1 解:当 x0 时,f(x)3x22,易知 f(x)在(,0上先增后减,绘制出 f(x)的大致图 象如图,令 h(x)xa,则 h(x)与 f(x)的图象有三个交点, h(x)的图象介于 l1和 l2之间,l2过原点,则 a0,l1与 f(x)相切,则由 f(x)3x221, 得 x1(x1 舍去),y1,代入 h(x)中,解得 a2,所以实数 a 的取值范围为0,2)故 选 A (2)(2019届北京市朝阳区高三二模)已知函数 f(x) 2x,xa, x,xa,若函数 f(x)存在零点, 则 实数 a 的取值范围是( ) A(,0) B(,1) C(1,) D(0,) 解:函数 f(x) 2x,xa, x,xa,的图象如图所示: 由于 2x0 恒成立,故若函数 f(x)存在零点,则必是 yx(xa)的零点,即 x0, 故实数 a 的取值范围是(0,)故选 D