1、第三章 导数及其应用 考点要求考点要求 1导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景 (2)理解导数的几何意义 2导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1 x，y x的导数 (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简 单的复合函数(限于形如 f(axb)的导数 (3)常见基本初等函数的导数公式 (C)0(C 为常数)；(xn)nxn 1，nN ； (sinx)cosx；(cosx)sinx； (ex)ex；(ax)axlna(a0，且 a1)； (lnx)1 x；(logax) 1 xlogae(a
2、0，且 a1) (4)常用的导数运算法则 法则 1：u(x) v(x)u(x) v(x) 法则 2：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 法则 3： u（x） v（x） u（x）v（x）u（x）v（x） v2（x） (v(x)0) 3导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求 不超过三次的多项式函数的单调区间 (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求某些函数的极大值、极小 值，以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、 最大(小)值的关系 4生活中的优化问题 会
3、利用导数解决某些实际问题 31 导数的概念及运算导数的概念及运算 【教材梳理】 1导数的概念 (1)定义 如果函数 yf(x)的自变量 x 在 x0处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量 yf(x0 x)f(x0)，比值y x就叫函数 yf(x)从 x0 到 x0 x 之间的平均变化率，即y x f（x0 x）f（x0） x 如果当 x0 时，y x有极限，我们就说函数 yf(x)在点 x0 处 _，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0处的导数，记作或 y| 0 xx ，即 f(x0) 0 lim x y x 0 lim x f（x0 x）f（x0） x (2)导函数 当 x 变化时，f(x
4、)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函 数有时也记作 y，即 f(x)y 0 lim x f（xx）f（x） x (3)用定义求函数 yf(x)在点 x0处导数的方法 求函数的增量 y_； 求平均变化率y x_； 取极限，得导数 f(x0) 0 lim x y x 2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜 率也就是说，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是相应的切线方程为 3基本初等函数的导数公式 (1)c(c 为常数)， (x)(Q*) (2)(si
5、nx)_， (cosx)_ (3)(lnx)_， (logax)_ (4)(ex)_， (ax)_ 4导数运算法则 (1)f(x) g(x)_ (2)f(x)g(x)_； 当 g(x)c(c 为常数)时，即cf(x)_ (3) f（x） g（x） _ (g(x)0) 5复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 _即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 【常用结论】 6导数的两条性质 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 (2)可导函数 yf(x)的导数为 f(x)，若 f(x)为增函数，则 f(
6、x)的图象是下凹的；反之，若 f(x) 为减函数，则 f(x)的图象是上凸的 7几类重要切线方程 (1)yx1 是曲线 ylnx 的切线， yx 是曲线 yln(x1)的切线， ， yxn 是曲线 yln(x n1)的切线，如图 1 图 1 图 2 (2)yx1 与 yex 是曲线 yex的切线，如图 2 (3)yx 是曲线 ysinx 与 ytanx 的切线，如图 3 图 3 图 4 (4)yx1 是曲线 yx2x，yxlnx 及 y11 x的切线，如图 4 由以上切线方程又可得重要不等式，如 lnxx1，x1ex等 【自查自纠】 1(1)可导 f(x0) (3)f(x0 x)f(x0) f
7、（x0 x）f（x0） x 2f(x0) yy0f(x0)(xx0) 3(1)0 x 1 (2)cosx sinx (3)1 x 1 xlna (4)ex axlna 4(1)f(x) g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x) cf(x) (3)f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 5yxyuux 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同 ( ) (2)加速度是位移关于时间的导数 ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (5)函数 f(x)si
8、n(x)的导数是 f(x)cosx ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是( ) A B C D 解：由 yf(x)的图象知 yf(x)在(0，)上单调递减，说明 函数 yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除 A， C又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交，说明 y f(x)与 yg(x)的图象在 xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B故选 D (2021 届陕西西安中学高三月考)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)， 且满 足 f(x)2x
9、f(1)lnx，则 f(1) ( ) Ae B1 C1 De 解：对函数 f(x)求导，得 f(x)2f(1)1 x，将 x1 代入得，f(1) 2f(1)1，即 f(1)1故选 B (2020全国卷)函数 f(x)x42x3的图象在点(1， f(1)处的切线方程 为 ( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 解：因为 f(x)x42x3，所以 f(x)4x36x2，所以 f(1)1，f(1) 2，因此，所求切线的方程为 y12(x1)，即 y2x1故选 B (2020全国卷)曲线 ylnxx1 的一条切线的斜率为 2，则该切 线的方程为_ 解：设切线的切点坐标为(x0，y0)，
10、ylnxx1，y1 x1，y|xx0 1 x01 2，所以 x01，y02，所以切点坐标为(1，2)，所求的切线方程为 y22(x1)， 即 y2x故填 y2x 考点一考点一 求导运算求导运算 求下列函数的导数： (1)y(3x24x)(2x1)； (2)yx2sinx； (3)y3xex2xe； (4)y lnx x21； (5)yln(2x5) 解：(1)因为 y(3x24x)(2x1) 6x33x28x24x6x35x24x， 所以 y18x210 x4 (2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx (3)y(3xex)(2x)e (3x)ex3x(ex)(2x) 3
11、xexln33xex2xln2 (ln31)(3e)x2xln2 (4)y（lnx）（x 21）lnx（x21） （x21）2 1 x（x 21）2xlnx （x21）2 x 2（12lnx）1 x（x21）2 (5)令 u2x5，ylnu， 则 y(lnu)u 1 2x52 2 2x5，即 y 2 2x5 【点拨】 一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高 运算速度，减少差错，常用求导技巧有：连乘积形式：先展开化为多 项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式 函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形 式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形
12、式，再求导；三角 形式：先利用公式化简函数，再求导；复合函数：确定复合关系，由 外向内，层层求导 (1)f(x)x(2 020lnx)，若 f(x0)2 021，则 x0_ 解： f(x)2 020lnxx 1 x2 021lnx， 故由 f(x0)2 021， 得 x01 故 填 1 (2)设函数 f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，且 f(0)6，则 k( ) A0 B1 C3 D6 解：因为 f(x)x(xk)(x2k)(x3k)， 所以 f(x)(xk)(x2k)(x3k)x (xk)(x2k)(x3k)，所以 f(0) k 2k (3k)6k36，解得 k1故选 B (3)(20
13、19届江西南昌市高三模拟)设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f 2 sinx cosx，则 f 4 _ 解： 因为 f(x)f 2 sinxcosx， 所以 f(x)f 2 cosxsinx， 所以 f 2 f 2 cos 2sin 2， 即f 2 1， 所以f(x)sinxcosxf(x)cosxsinx故f 4 cos 4sin 4 2 故 填 2 (4)设函数 f(x)在(0， )内可导， 且 f(ex)xex， 则 f(1) _ 解法一：令 tex，故 xlnt，所以 f(t)lntt，即 f(x)lnxx，所以 f(x) 1 x1，所以 f(1)2 解法二： 等式两边同
14、时求导， 即 exf(ex)1ex， 令 x0 得 f(1)1e02故 填 2 【点拨】 曲线切线方程的求法：以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方 程的求解步骤：求出函数 f(x)的导数 f(x)；求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程 y f(x0)f(x0) (xx0)，并化简；如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0， y0)，解方程组 y0f（x0）， y1y0 x1x0f（x0）， 得切点(x0，y0)，进而确定切线方程求切线方 程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个 公共点的直线不一定是曲线的切线， 曲线的切线与曲线的公共点不一定
15、只有一个 考点二考点二 导数的几何意义导数的几何意义 命题角度 1 求切线方程 (1)(2021届山大附中高三月考)函数 f(x)ln(2x1)在点(1， f(1)处的切线方程为 ( ) Ayx1 By2x1 Cy2x2 Dyx 解：因为 f(x)ln(2x1)，所以 f(x) 2 2x1，f(1)2，f(1)0，所以切 线方程为 y2(x1)，即 y2x2故选 C (2)已知函数 f(x)xlnx，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切， 则直线 l 的方程为( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 解：设切点为(x0，y0)，因为 f(x)1lnx， 所以 y
16、0 x0lnx0， y01（1lnx0）x0，解得 x01， y00， 所以切点为(1，0)，f(1)1ln11 所以直线 l 的方程为 yx1，即 xy10故选 B (3)(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 ylnx 上，且该曲线 在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是 _ 解：设 A(x0，lnx0)，由 ylnx，得 y1 x， 所以 y| 0 xx 1 x0， 则该曲线在点 A 处的切线方程为 ylnx0 1 x0(xx0) 因为切线经过点(e，1)，所以1lnx0 e x01， 即 lnx0 e x0，则 x0e 所
17、以 A 点坐标为(e，1)故填(e，1) (1)(2019全国卷)曲线 y2sinxcosx 在点(， 1)处的切线 方程为 ( ) Axy10 B2xy210 C2xy210 Dxy10 解： 因为 y2cosxsinx， 所以 y|x2cossin2， 则 y2sinxcosx 在点(，1)处的切线方程为 y(1)2(x)，即 2xy210故选 C (2)若直线 yx 是曲线 yx33x2px 的切线，则实数 p 的值为( ) A1 B2 C13 4 D1 或13 4 解：因为 y3x26xp，设切点为 P(x0，y0)， 所以 3x2 06x0p1， x3 03x 2 0px0 x0，
18、解得 x00， p1 或 x03 2， p13 4 故选 D (3)曲线 yx1 x(x0)上点 P(x0，y0)处的切线分别与 x 轴，y 轴交于点 A， B，O 是坐标原点，若OAB 的面积为1 3，则点 P 的坐标为_ 解：由题意可得 y0 x0 1 x0，x00，因为 y1 1 x2， 所以过点 P 的切线的斜率为 1 1 x2 0， 则切线的方程为 yx0 1 x0 1 1 x2 0 (xx0)， 令 x0 得 y 2 x0，令 y0 得 x 2x0 1x2 0， 所以OAB 的面积 S1 2 2 x0 2x0 1x2 0 1 3， 解得 x0 5(舍去负根)，所以点 P 的坐标为
19、5，4 5 5 故填 5，4 5 5 命题角度 2 两曲线的公切线 若直线 ykxb 是曲线 ylnx2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b_ 解：设直线 ykxb 与 ylnx2 相切于点(x1，lnx12)，与 yln(x1)相切于点(x2，ln(x2 1)，则切线分别为 y(lnx12) 1 x1(xx1)，yln(x21) 1 x21(xx2)，这两条切线表示同 一条直线，所以 1 x1 1 x21， lnx11ln（x21） x2 x21， 解得 x11 2，所以 k 1 x12，blnx1211 ln2故填 1ln2 【点拨】 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切
20、线、切 点的三个关系列出参数的方程并解出参数，建立方程(方程组)的依据 主要是：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在 曲线上 (2020全国卷)若直线 l 与曲线 y x和 x2y21 5都相切，则 l 的方程为 ( ) Ay2x1 By2x1 2 Cy1 2x1 Dy 1 2x 1 2 解：设直线 l 在曲线 y x上的切点为(x0， x0)，则 x00，函数 y x的导数为 y 1 2 x，则直线 l 的斜率 k 1 2 x0，直线 l 的方程为 y x0 1 2 x0(xx0)，即 x2 x0y x00由于直线 l 与圆 x2y21 5相切，则 x0 14x0 1 5，整理得 5x 2 04x010， 解得 x01，x01 5(舍)， 则直线 l 的方程为 x2y10，即 y1 2x 1 2故选 D