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2022版新高考数学人教版一轮课件:第8章 第2讲 两条直线的位置关系

1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第二讲 两条直线的位置关系 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点一 两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括_三种情况 (1)两条直线平行 对于直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,l1l2k1k2,且 b1b2 对于直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20, l1l2A1B2A2B10,且B1C2B2C10(或A1C2A2C10) 平行、相交、重合 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章

2、 解析几何 (2)两条直线垂直 对于直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,l1l2k1 k21 对 于 直 线 l1: A1x B1y C1 0 , l2: A2x B2y C2 0 , l1l2_ A1A2B1B20 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点二 两条直线的交点 直 线 l1和 l2的 交 点 坐 标 即 为 两 直 线 方 程 组 成 的 方 程 组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解 相交方程组有_; 平行方程组_; 重合方程组有_ 唯一解 无解 无数个解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点三 三种

3、距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2| x1x22y1y22 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP| x2y2 (2)点 P(x0,y0)到直线 l:AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离为 d |C1C2| A2B2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 1求解距离问题的规律 运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平 行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形 式 返回导航

4、高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 2对称问题的求解规律 (1)中心对称:转化为中点问题处理 (2)轴对称:转化为垂直平分线问题处理特殊地:点P(a,b)关于直 线xym0对称的点坐标为(bm,am),点P(a,b)关于直线x ym0对称的点坐标为(bm,am) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然 ( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于1 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (

5、3)已知直线 l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1,B1,C1, A2,B2,C2为常数),若直线 l1l2,则 A1A2B1B20 ( ) (4)点 P(x0,y0)到直线 ykxb 的距离为|kx 0b| 1k2 ( ) (5)若点 A,B 关于直线 l:ykxb(k0)对称,则直线 AB 的斜率等 于1 k,且线段 AB 的中点在直线 l 上 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(课本习题改编)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程 是 ( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 3(

6、必修 2P110B 组 T2)已知点(a,2)(a0)到直线 l:xy30 的距 离为 1,则 a 等于 ( ) A 2 B2 2 C 21 D 21 A C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 由题意得|a23| 11 1 解得 a1 2或 a1 2 a0,a1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组三 走向高考 4(2020 高考全国)点(0,1)到直线 yk(x1)距离的最大值为 ( ) A1 B 2 C 3 D2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 解法一:由 yk(x1)可知直线过定点 P(

7、1,0),设 A(0, 1),当直线 yk(x1)与 AP 垂直时,点 A 到直线 yk(x1)距离最大, 即为|AP| 2,故选 B 解法二:因为点(0,1)到直线 yk(x1)距离 d |1k| k21 k22k1 k21 1 2k k21;要求距离的最大值,故需 k0;可得 d 1 2 k1 k 2,当且仅当 k1 时取等号,故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 5(2018 全国)坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为 _ (6,6) 解析 设坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为(a,b), 则 b a11 a 2 b 260 ,解得 a6,b

8、6,坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为(6,6) 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 两条直线平行、垂直的关系自主练透 (1)(2021 高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线 3x2y50的直线l的方程是 ( ) A6x4y30 B3x2y30 C2x3y20 D2x3y10 (2)“m3”是“直线l1:2(m1)x(m3)y75m0与直线l2: (m3)x2y50垂直”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 例 1 A A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考

9、) 第八章 解析几何 (3)(2021 青岛调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平 行,则m ( ) A2 B3 C2或3 D2或3 (4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在 直线的方程为y2x,则另外两边所在直线的方程为 ( ) A3xy140 Bx2y20 Cx3y20 Dx2y140 C CD 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)因为抛物线 y22x 的焦点坐标为 1 2,0 ,直线 3x2y5 0 的斜率为3 2,所以所求直线 l 的方程为 y 3 2 x1 2 ,化为一般式,得 6x4y30 (2)由 l1l

10、2,得 2(m1)(m3)2(m3)0,m3 或 m2, m3 是 l1l2的充分不必要条件 (3)由题意知 mm16, 4m4, 解得 m2 或3故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (4)设斜边所在直线的斜率为 k,由题意知 tan 4 2k 12k1, k1 3, 斜边所在直线方程为 y21 3(x4), 即 x3y20, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由 y2x x3y20可知 A 2 5, 4 5 , A 关于 M 的对称点 B 38 5 ,16 5 , 另一条直角边的方程为 y16 5 1 2 x38 5 , 即 x2y

11、140,故选 C、D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅 要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同 时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间 的关系得出结论 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 1 (1)(2021 吉林长春模拟)曲线 f(x)2sin x 在 x 3处的切线与直线 ax y10 垂直,则 a_ (2)(2012 浙江)设 aR,则“a1”是“直线 l1:ax2y0

12、与直线 l2:x(a1)y40 平行的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 1 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题得 f(x)2cos x,kf 3 1所以 1(a) 1,a1 (2)l1l2a2a20a1 或2,a1 是 l1l2的充分不必要 条件故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点二 两直线的交点、距离问题师生共研 (1)两条垂直直线l1:2xy10与l2:ax4y60的交 点到原点的距离为_ (2)已知点P(2,1) 求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程

13、; 求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少? 是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程; 若不存在,请说明理由 例 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)(2020 上海)已知直线l1:xay1,l2:axy1,若l1l2,则l1 与l2的距离为_ 2 解析 (1)kl12,kl2a 4 ,由 l1l2知2 a 4 1,a 2,l2:x2y30,由 2xy10 x2y30得交点 A(1,1),|AO| 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2,而点 P 的

14、坐标为(2,1), 显然,过点 P(2,1)且垂直于 x 轴的直线满足条件, 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x2 若斜率存在,设 l 的方程为 y1k(x2), 即 kxy2k10 由已知得|2k1| k21 2,解得 k3 4 此时 l 的方程为 3x4y100 综上,可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的 直线,如图 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由 lOP,得 klkOP1, 所以 kl 1 kOP2 由直线方程的点斜式,得

15、 y12(x2),即 2xy50 所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线,最 大距离为|5| 5 5 由可知,过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线,因此不存 在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)直线 l1:xay1,l2:axy1, 当 l1l2时,a210,解得 a1; 当 a1 时 l1与 l2重合,不满足题意; 当 a1 时 l1l2, 此时 l1:xy10,l2:xy10; 则 l1与 l2的距离为 d |11| 1212 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几

16、何 距离的求法 (1)点到直线的距离: 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须 为一般式 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)两平行直线间的距离: 利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一 点到另一条直线的距离; 利用两平行线间的距离公式 提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般 形式,且使x、y的系数分别相等 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 2 (1)(2021 西南名校联盟联考)设直线 l1: 3xy10 与直线 l2: x2y 50 的交点为 A,则 A 到直线 l:

17、xby2b0 的距离的最大值为 ( ) A4 B 10 C3 2 D 11 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 AC (2)(多选题)已知两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 距离相 等,则 m 的值可以为 ( ) A6 B1 2 C1 2 D1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 C (3)(2021 绵阳模拟)若 P,Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y5 0 上任意一点,则|PQ|的最小值为 ( ) A9 5 B18 5 C29 10 D29 5 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析

18、(1)解法一:显然 l1与 l2的交点 A(1,2),又直线 l 过点 B(2, 1),所求最大距离为|AB|3 2,故选 C 解法二:显然 l1与 l2的交点为 A(1,2),则 A 到直线 l 的距离 d |12b2b| 1b2 3 1b22b 1b2 31 2b 1b23 2(当且仅当 b1 时取 等号),故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)直线 mxy30 与直线 AB 平行或过 AB 中点,m 42 13 1 2,即 m 1 2;AB 中点(1,3),m330 即 m6,故选 A、C (3)因为3 6 4 8 12 5 ,所以两直线平行,由题意

19、可知|PQ|的最小值为 这两条平行直线间的距离,即|245| 6282 29 10,所以|PQ|的最小值为 29 10 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点三 对称问题多维探究 角度1 线关于点的对称 (2021 河北五校联考)直线axy3a10恒过定点M,则 直线2x3y60关于M点对称的直线方程为 ( ) A2x3y120 B2x3y120 C2x3y120 D2x3y120 例 3 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 由 axy3a10, 可得 y1a(x3), 所以 M(3,1), M 不在直线 2x3y60 上,设直线 2

20、x3y60 关于 M 点对称的直 线方程为 2x3yc0(c6),则|636| 49 |63c| 49 ,解得 c 12 或 c6(舍去),所以所求方程为 2x3y120,故选 D 另解:在直线 2x3y60 上取点 A(0,2)、B(3,0),则 A、B 关于 M 的对称点分别为 A(6,0),B(9,2),又 kAB 20 96 2 3, 故所求直线方程为 y2 3(x6),即 2x3y120故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 角度2 点关于线的对称 (2021 长沙一模)已知入射光线经过点M(3,4),被直线l:x y30反射,反射光线经过点N(2,6)

21、,则反射光线所在直线的方程为 _ 例 4 6xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设点 M(3,4)关于直线 l:xy30 的对称点为 M(a, b),则反射光线所在直线过点 M,所以 b4 a31, 3a 2 b4 2 30, 解得 a 1,b0又反射光线经过点 N(2,6),所以所求直线的方程为y0 60 x1 21,即 6xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (代入法)当 x3 时,由 xy30 得 y0, 当 y4 时,由 xy30 得 x1 M(3,4)关于直线 l 的对称点为 M(1,0) 又 kNM60 216

22、, 所求直线方程为 y6(x1),即 6xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 引申本例中入射光线所在直线的方程为_ x6y270 解析 N(2,6)关于直线 l 的对称点 N(3,5), 又 kMN 54 33 1 6, 所求直线方程为 y41 6(x3),即 x6y270 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 角度3 线关于线的对称 (2021 合肥模拟)已知直线l:xy10,l1:2xy2 0若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是 ( ) Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10 例 5 B 返回导航 高考一轮总复习 数

23、学(新高考) 第八章 解析几何 解析 解法一:因为 l1与 l2关于 l 对称,所以 l1上任一点关于 l 的 对称点都在 l2上,故 l 与 l1的交点(1,0)在 l2上又易知(0,2)为 l1上一 点, 设它关于 l 的对称点为(x, y), 则 x0 2 y2 2 10, y2 x 11, 解得 x1, y1, 即(1,0),(1,1)为 l2上两点,可得 l2的方程为 x2y10 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解法二:在 l1上取两点 A(0,2),B(1,0),则 A、B 关于 l 的对称点 分别为 A(1,1),B(1,0),kAB01 11 1 2

24、l2 的方程为 y01 2(x1),即 x2y10故选 B 解法三:设 P(x,y)是直线 l2上任一点,则 P 关于直线 l 的对称点为 P(y1,x1),又 Pl1,2(y1)(x1)20,即直线 l2的方 程为 x2y10故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 对称问题的解法 以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于 对称问题,一般常见的有: (1)中心对称 点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P(x,y)满足 x2ax, y2by. 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章

25、 解析几何 (2)轴对称 点 A(a,b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m,n),则 有 nb ma A B1, A am 2 B bn 2 C0. 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 特别地,当对称轴的斜率为1 时,可类比关于 yx 的对称问题采 用代入法,如(1,3)关于 yx1 的对称点为(31,11),即(2,2) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练3 已知直线l:2x3y10,点A(1,2)求: (1)(角度2)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)(角度3)直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程; (3)

26、(角度1)直线l关于点A(1,2)对称的直线l的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设 A(x,y),由已知条件得 y2 x1 2 31, 2x1 2 3y2 2 10, 解得 x33 13, y 4 13. A 33 13, 4 13 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)在直线 m 上取一点, 如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M 必在直线 m上 设对称点 M(a,b),则 2a2 2 3b0 2 10, b0 a2 2 31, 得 M 6 13, 30 13 返回导航 高考一轮总复习 数学(新

27、高考) 第八章 解析几何 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则 由 2x3y10, 3x2y60,得 N(4,3) 又m经过点 N(4,3), 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)设 P(x,y)在 l上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(1,2)的对称点为 P(2x,4y), 点 P在直线 l 上, 2(2x)3(4y)10, 即 2x3y90 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)求证:动直线(m22m3)x(1mm2)y3m21 0(其中mR)

28、恒过定点,并求出定点坐标; (2)求经过两直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P,且与直 线l3:3x4y50垂直的直线l的方程 解析 (1)证明:解法一:令m0,则直线方程为 3xy10 再令m1时,直线方程为6xy40 例 6 巧用直线系求直线方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 和联立方程组 3xy10, 6xy40,得 x1, y2. 将点 A(1,2)的坐标代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m2 10 中, (m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(2 2)m2130, 故动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 恒过定

29、点 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解法二:将动直线方程按 m 降幂排列整理,得 m2(xy3)m(2x y)3xy10, 不论 m 为何实数,式恒为零, 有 xy30, 2xy0, 3xy10, 解得 x1, y2. 故动直线恒过点 A(1,2) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)解法一:解方程组 x2y40, xy20, 得 P(0,2) 因为 l3的斜率为3 4,且 ll3,所以直线 l 的斜率为 4 3, 由斜截式可知 l 的方程为 y4 3x2, 即 4x3y60 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几

30、何 解法二:设所求直线方程为4x3ym0, 将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m6, 故所求直线方程为4x3y60 解法三:设直线l的方程为x2y4(xy2)0, 即(1)x(2)y420 又ll3,3(1)(4)(2)0, 解得11 直线l的方程为4x3y60 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 引申若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l的方程为 _ 3x4y80 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 1确定方程含参数的直线所过定点的方法: (1)将直线方程写成点斜式yy0f()(xx0),从而确定定点(x0, y0) (2)

31、将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项 为0确定定点 (3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定 点坐标 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 2直线系的主要应用 (1)共点直线系方程:经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2y C20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0,其中 A1B2A2B10,待定系数R在这个方程中,无论取什么实数,都 得不到A2xB2yC20,因此它不能表示直线l2 (2)过定点(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新

32、高考) 第八章 解析几何 (3)平行直线系方程:与直线ykxb平行的直线系方程为ykx m(m为参数且mb);与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy 0(C,是参数) (4)垂直直线系方程:与直线AxByC0(A0,B0)垂直的直线 系方程是BxAy0(为参数) 如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定 时,那么可选用直线系方程来求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 4 (1)(2021 启东模拟)不论 m 为何值时, 直线(m1)x(2m1)ym5 恒过定点 ( ) A 1,1 2 B(2,0) C(2,3) D(9,4) (2)与

33、直线 l:5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程是 _ D 5x12y320或5x12y200 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)解法一:由(m1)x(2m1)ym5,得(x2y1)m (xy5)0,由 x2y10, xy50, 得定点坐标为(9,4),故选 D 解法二:令 m1,则 y4;令 m1 2,则 1 2x 9 2,即 x9, 直线过定点(9,4),故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解法三:将直线方程化为(2m1)(ya)(1m)(xb),则 ab5 2ab1,即 a4 b9,y4 1m 2m1(x9),故直线过点(9,4), 故选 D (2)设所求直线的方程为 5x12yc0, 则 |c6| 521222, 解得 c32 或20,故所求直线的方程为 5x12y320 或 5x12y200 谢谢观看