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2022版新高考数学人教版一轮课件:第8章 第7讲 抛物线

1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第七讲 抛物线 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件: (1)在平面内; (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_; (3)定点F与定直线l的关系为_ 相等 点Fl 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义:焦点 F

2、到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 焦点 F_ F_ F_ F_ 离心率 e_ 准线 方程 _ _ _ _ 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR p 2,0 p 2,0 0,p 2 0,p 2 1 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0)

3、 x22py(p0) 标准 方程 p的几何意义:焦点F到准线l的距离 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0, y0) |PF|_ |PF|_ |PF|_ |PF|_ x0p 2 x0p 2 y0p 2 y0p 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 抛物线焦点弦的处理规律 直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点F,交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,如图 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)y1y2p2,x1x2p 2 4 (2)|AB|x1x2p,x1x22 x1x2p,即当 x1x2时,弦长最短

4、为 2p (3) 1 |AF| 1 |BF| 2 p 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (4)弦长 AB 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (5)以 AB 为直径的圆与准线相切 (6)焦点 F 对 A,B 在准线上射影的张角为 90 (7)A、O、D 三点共线;B、O、C 三点共线 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线 ( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,

5、 且其焦点 坐标是 a 4,0 ,准线方程是 x a 4 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形 ( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2,0 的弦,若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 x1x2p 2 4 ,y1y2p2,弦长|AB|x1x2p ( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段 叫做抛物线的通径,那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(必修2P69

6、例4)(2021 甘肃张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l 交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1x26,则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1根据题 意可得,|PQ|PF|QF|x11x21x1x228 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B 3 (2021 河南郑州名校调研)抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距 离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( ) A17 16 B15 16 C 7 16 D15 16 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析

7、由抛物线的方程 y4x2,可得标准方程为 x21 4y,则焦 点坐标为 F 0, 1 16 ,准线方程为 y 1 16,设 M(x0,y0),则由抛物线的定 义可得y0 1 161,解得 y0 15 16故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 D 题组三 走向高考 4 (2019 课标全国)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆 x2 3p y2 p 1 的一个焦点,则 p ( ) A2 B3 C4 D8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为 p 2,0 , 椭圆 x2 3p y2 p 1 的一

8、个焦点为 p 2,0 , 3ppp 2 4 ,p8故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 5(2020 新课标)已知A为抛物线C:y22px(p0)上一点,点A到 C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p ( ) A2 B3 C6 D9 C 解析 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距 离为 12,到 y 轴的距离为 9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线 的距离相等,故有:9p 212p6;故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 抛物线的定义及应用多维探究

9、 角度1 轨迹问题 (1)动圆与定圆A:(x2)2y21外切,且和直线x1相 切,则动圆圆心的轨迹是 ( ) A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 例 1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设动圆的圆心为C,则C到定圆A:(x2)2y21的圆心的 距离等于r1,而动圆的圆心到直线x1的距离等于r,所以动圆到直线 x2距离为r1,即动圆圆心到定点(2,0)和定直线x2的距离相等, 根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题 (2)(2021 河北保定

10、七校联考)已知M是抛物线x2 4y上一点,F为 其焦点,C为圆(x1)2(y2)2 1的圆心,则|MF|MC|的最小值为 ( ) A2 B3 C4 D5 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B (2021 山西运城联考)已知抛物线 C: x28y 的焦点为 F, O 为原点, 点 P 是抛物线 C 的准线上的一动点,点 A 在抛物线 C 上,且|AF|4,则 |PA|PO|的最小值为 ( ) A4 2 B2 13 C3 13 D4 6 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设抛物线 x24y 的准线方 程为 l: y1, C 为圆(x1)

11、2(y2)21 的圆心,所以 C 的坐标为(1,2),过 M 作 l 的垂线,垂足为 E,根据抛物线的定义可 知|MF|ME|,所以问题求|MF|MC|的最 小值, 就转化为求|ME|MC|的最小值, 由 平面几何的知识可知,当 C,M,E 在一条直线上时,此时 CEl,|ME| |MC|有最小值,最小值为|CE|2(1)3,故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由抛物线的定义知|AF|yAp 2yA2 4,yA2,代入 x28y,得 xA4,不妨取 A(4,2), 又 O 关于准线 y2 的对称点为 O(0, 4),|PA|PO|PA|PO|AO| 42)20

12、4)22 13, 当且仅当 A、 P、 O 共线时取等号,故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 引申本例(2)中,()|MC|MF|的最大值为_;最小值为 _;()若N为C上任一点,则|MF|MN|的最小值为_ 2 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 A 角度 3 到准线与到定点距离之和最小问题 (3)已知圆 C:x2y26x8y210,抛物线 y28x 的准线为 l,设 抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d,则 d|PC|的最小值为( ) A 41 B7 C6 D9 解析 由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24,圆心

13、 C 的坐标为 (3,4)由抛物线定义知,当 d|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间 的距离,即 d|PC| 32)24)2 41 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B 角度 4 到两定直线的距离之和最小问题 (4)(2021 北京人大附中测试)点 P 在曲线 y24x 上,过 P 分别作直线 x1 及 yx3 的垂线,垂足分别为 G,H,则|PG|PH|的最小值为 ( ) A3 2 2 B2 2 C3 2 2 1 D 22 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 由题可知 x1 是抛物线的准线, 焦点 F(1,0),由抛物线的性质可知|PG|

14、PF|, |PG|PH|PF|PH|FH|103| 2 2 2, 当且仅当 H、P、F 三点共线时取等号,|PG| |PH|的最小值为 2 2故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有 关的轨迹是否为抛物线 (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题 时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化 (3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关 问题的重要途径 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 x28y B 变

15、式训练 1 (1)(角度 1)到定点 A(0,2)的距离比到定直线 l:y1 大 1 的动点 P 的轨迹方程为_ (2)(角度 1)(2021 吉林省吉林市调研)已知抛物线 y24x 的焦点 F,点 A(4,3),P 为抛物线上一点,且 P 不在直线 AF 上,则PAF 周长取最小 值时,线段 PF 的长为 ( ) A1 B13 4 C5 D21 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)(角度 2)(2021 山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2, 0)及抛物线 yx 2 4 上一动点 P(x,y),则 y|PQ|的最小值是_ (4)(角度 3)(2021 上海虹

16、口区二模)已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2: x1, 抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和 l2的距离之和的最小值 为 ( ) A37 16 B11 5 C2 D7 4 2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知 P 到 A 的距离等于其到直线 y2 的距离,故 P 的轨迹是以 A 为焦点, 直线 y2 为准线的抛物线, 所以其方程为 x28y (2)求PAF 周长的最小值,即求|PA|PF| 的最小值,设点 P 在准线上的射影为 D,根据 抛物线的定义, 可知|PF|PD|, 因此, |PA|PF| 的最小值,即|PA|PD|

17、的最小值根据平面几 何知识,可得当 D,P,A 三点共线时|PA|PD| 最小, 此时 P(9 4, 3), 且|PF| 9 41 13 4 , 故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)抛物线 yx 2 4 即 x24y,其焦点坐标为 F(0,1),准线方程为 y1因为点 Q 的坐标 为(2 2,0),所以|FQ| 2 2)2123过 点 P 作准线的垂线 PH,交 x 轴于点 D,如图 所示结合抛物线的定义,有 y|PQ|PD| |PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ| 1312,即 y|PQ|的最小值是 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考)

18、 第八章 解析几何 (4)直线 l2:x1 是抛物线 y24x 的准线,抛 物线 y24x 的焦点为 F(1,0),则点 P 到直线 l2:x 1 的距离等于 PF,过点 F 作直线 l1:4x3y6 0 的垂线,和抛物线的交点就是点 P,所以点 P 到直线 l1:4x3y60 的距离和到直线 l2:x 1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线 l1:4x 3y60 的距离,所以最小值为|406| 3242 2,故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点二 抛物线的标准方程自主练透 (1)过点P(3,2)的抛物线的标准方程为_ (2)焦点在直线x2y40

19、上的抛物线的标准方程为_ _,准线方程为_ 例 2 y24 3x或x 29 2y y216x或 x2 8y x4或y2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B (3)如图,过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准 线于点 A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程为( ) Ay23 2x By23x Cy29 2x Dy29x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设所求抛物线的方程为y22px(p0)或x22py(p0) 过点(3,2),42p (3)或 92p 2 p2 3或 p 9 4 所

20、求抛物线的标准方程为 y24 3x 或 x 29 2y 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)令 x0,得 y2,令 y0,得 x4 抛物线的焦点为(4,0)或(0,2) 当焦点为(4,0)时,p 24, p8,此时抛物线方程为 y216x; 当焦点为(0,2)时,p 22, p4,此时抛物线方程为 x28y 所求的抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y, 对应的准线方程分别是 x4,y2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)如图,分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交 准线于点 E,D, 设|BF|a,则由已知得|BC|2a,由

21、定义得|BD| a,故BCD30 在直角三角形 ACE 中, |AE|AF|3, |AC|3 3a,2|AE|AC|,33a6,从而得 a1 BDFG,|BD| |FG| |BC| |FC|,即 1 p 2 3,求得 p 3 2,因此抛物线的方程 为 y23x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未 知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可 (2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定 位,再定量一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2ax(a0);焦 点在y轴上的抛

22、物线的方程可设为x2ay(a0) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 A 变式训练 2 (1)(2021 重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,过点(p,0)且垂直于 x 轴的直线与抛物线 C 在第一象限内的交点为 A, 若|AF|1,则抛物线 C 的方程为 ( ) Ay24 3x By22x Cy23x Dy24x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(2021 安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴 上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为 ( ) Ax28y Bx24y Cx2

23、4y Dx28y D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知 xAp,又|AF|xAp 2 3p 2 1,p2 3,抛物 线 C 的方程为 y24 3x,故选 A (2)由题意可知抛物线的焦点在 y 轴负半轴上,故设其方程为 x2 2py(p0),所以 3p 25,即 p4,所以所求抛物线方程为 x 28y, 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点三 抛物线的几何性质师生共研 (1)(2021 广西四校联考)已知抛物线y22px(p0)上横坐标 为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为 ( )

24、 A4 B9 C10 D18 例 3 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 D (2)(2021 四川眉山模拟)点 F 为抛物线 C: y22px(p0)的焦点, 过 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点(点 A 在第一象限),过 A、B 分别作抛物 线 C 的准线的垂线段,垂足分别为 M、N,若|MF|4,|NF|3,则直线 AB 的斜率为 ( ) A1 B 7 24 C2 D24 7 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)抛物线 y22px 的焦点为 p 2,0 ,准线方程为 x p 2由 题意可得 4p 29,解得 p10,

25、所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10故选 C (2)由抛物线定义知|AM|AF|,|BN|BF|, AFMBFM360 MAFNBF 2 90 , MFN90 , 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 又|MF|4,|NF|3, |MN|5,p|KF|MF| |NF| |MN| 12 5 , 又AFMAMFMFK, kABtan(180 2MFK) 2tanMFK 1tan2MFK 8 3 1 4 3 2 24 7 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、 直观的特点来解题,特别是涉

26、及焦点、顶点、准线的问题更是如此 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练3 (1)(2021 广东茂名五校联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为 F(1,0),过焦点的直线交抛物线于A、B两点,若|AF|4|BF|,则|AB| _ 25 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 C (2)(2021 湖北荆州模拟)从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛 物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|9,设抛物线的焦点为 F,则直线 PF 的斜率为 ( ) A6 2 7 B18 2 7 C4 2 7 D2 2 7 返回导航 高考一轮总复习

27、数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)p 21,p2, 不妨设直线 AB 方程为 xmy1, A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y24x xmy1,得 y 24my40, y1y24,又|AF|4|BF|,y14y2, y21,从而 x21 4,|BF|1 1 4 5 4, |AB|5|BF|25 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设 P(x0,y0),由抛物线 y24x, 可知其焦点 F 的坐标为(1,0), 故|PM|x019,解得 x08, 故 P 点坐标为(8,4 2), 所以 kPF04 2 18 4 2 7 故选 C 返回导航 高

28、考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点四 直线与抛物线的综合问题师生共研 例 4 (1)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F 与双曲线 x2 12 y2 4 1 的一个焦点重合,直线 yx4 与抛物线交于 A,B 两点,则|AB|等于 ( ) A28 B32 C20 D40 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(2021 陕西师大附中期中)已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以 P(1,1)为中点,则弦AB所在直线的方程是 ( ) Ayx1 By2x1 Cyx2 Dy2x3 (3)(2021 湖南五市十校联考)已知抛物线C:y22px(p0),

29、直线y x1与C相交所得的长为8 求p的值; 过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x1交于H点,过 点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)双曲线 x2 12 y2 4 1 的焦点坐标为(4,0),故抛物线的焦点 F 的坐标为(4,0)因此 p8,故抛物线方程为 y216x,易知直线 yx 4 过抛物线的焦点设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) 由 y216x, yx4,可得 x 224x160,故 x 1x224 故|AB|x1x2p24832故选 B 返回导航 高考一轮总复

30、习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1y22, 由 y2 14x1 y2 24x2,知 k ABy 1y2 x1x2 4 y1y22, AB 的方程为 y12(x1),即 2xy10,故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)由 y22px yx1,消 x 可得 y 22py2p 0, y1y22p,y1y22p, 弦 长 为112 y1y2)24y1y2 2 4p28p8, 解得 p2 或 p4(舍去),p2, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由可得 y2 4x,设 M 1 4y

31、 2 0,y0, 直线 OM 的方程 y 4 y0 x, 当 x1 时,yH 4 y0, 代入抛物线方程 y24x,可得 xN 4 y2 0, N 4 y2 0, 4 y0 , 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 直线 MN 的斜率 k y0 4 y0 y2 0 4 4 y2 0 4y0 y2 04, 直线 MN 的方程为 yy0 4y0 y2 04 x1 4y 2 0 , 整理可得 y 4y0 y2 04(x1), 故直线 MN 过点(1,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类 似

32、,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦 点若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式|AB| x1x2p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系 数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒:涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 4 (1)(2021 甘肃诊断)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点,且交抛物 线于 A,B 两点,交其准线于 C 点,已知|AF|4,C

33、B 3BF ,则 p ( ) A2 B4 3 C8 3 D4 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(2021 安徽皖南八校模拟)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点 F 到直线 xy10 的距离为 2 求抛物线 C 的方程; 过点 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, 交 y 轴于点 P 若|AB |3|BP |,求直线 l 的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)过 A,B 分别作准线的垂线交准线于 E,D 两点, 设|BF|a,根据抛物线的性质可知,|BD|a, |AE|4,根据平行线段比例可知|BD|

34、 |AE| |CB| |AC|, 即a 4 3a 3aa4,解得 a2, 又|BD| |GF| |BC| |CF|,即 a p 3a 4a, 解得 p4 3a 8 3,故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)由抛物线 C:y22px(p0),可得焦点 F p 2,0 , 因为焦点到 xy10 的距离为 2, 即 p 21 2 2,解得 p2, 所以抛物线 C 的方程 y24x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由知焦点 F(1,0),设直线 l:yk(x1), A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组 ykx1) y24x

35、,整理得 k2x2(2k24)xk20, 所以 x1x22 4 k2, x1x21, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 又由|AB |3|BP |,得AB 3BP , 可得 x14x2, 由,可得 x12,x21 2, 代入,可得 2 4 k2 5 2,解得 k2 2, 所以直线 l 的方程为 2 2x y2 20 或 2 2xy2 20 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 例 5 巧解抛物线的切线问题 D (1)抛物线 C1:x22py(p0)的焦点与双曲线 C2: x2 3 y21 的右焦点的连线交 C1于第

36、一象限的点 M若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线,则 p ( ) A 3 16 B 3 8 C2 3 3 D4 3 3 (2)(2019 新课标,节选)已知曲线 C:yx 2 2 ,D 为直线 y1 2上的 动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B证明:直线 AB 过定点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)抛物线 C1: x22py(p0)的焦点坐标为 0,p 2 , 双曲线x 2 3 y21 的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为 y p 4(x2),联立 yp 4x2), y 1 2px 2, 得 2x2p2x2p20

37、返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设点 M 的横坐标为 m,易知在 M 点处切线的斜率存在,则在点 M 处切线的斜率为 y xm 1 2px 2 xmm p 又双曲线x 2 3 y21 的渐近线方程为 x 3y0,其与切线平行,所以 m p 3 3 ,即 m 3 3 p,代入 2x2p2x2p20,得 p4 3 3 或 p0(舍去) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设 D t,1 2 ,A(x1,y1),则 x2 12y1,由于 yx, 切线 DA 的斜率为 x1,故 y11 2 x1t x1,整理得:2tx12y110 设 B(x2

38、,y2),同理可得 2tx22y210 故直线 AB 的方程为 2tx2y10,即 y1 2tx 直线 AB 过定点 0,1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若 用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错 注意:直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不 充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3 条;过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 1 C 变式训练 5 (1)已知抛物线 C:y22px(p0),

39、过点 M p 2,0 作 C 的切线,则切 线的斜率为_ (2)已知抛物线 x28y,过点 P(b,4)作该抛物线的切线 PA,PB,切点 为 A,B,若直线 AB 恒过定点,则该定点为 ( ) A(4,0) B(3,2) C(0,4) D(4,1) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设斜率为 k,则切线为 yk xp 2 代入 y22px 中得 k2x2 p(k22)xk 2p2 4 0 0,即 p2(k22)24 k2 k2p2 4 0 解得 k21,k1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设 A,B 的坐标为(x1,y1),(x2,y2), yx 2 8 ,yx 4, PA,PB 的方程 yy1x1 4 (xx1),yy2x2 4 (xx2), 由 y1x 2 1 8 ,y2x 2 2 8 ,可得 yx1 4 xy1,yx2 4 xy2, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 切线 PA,PB 都过点 P(b,4), 4x1 4 by1,4x2 4 by2, 故可知过 A,B 两点的直线方程为 4b 4xy, 当 x0 时,y4, 直线 AB 恒过定点(0,4)故选 C 谢谢观看