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2021年秋人教A版选择性必修第一册模块综合试卷(含答案)

1、模块综合试卷模块综合试卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1直线 l 过点(3,0),且与直线 y2x3 垂直,则直线 l 的方程为( ) Ay1 2(x3) By1 2(x3) Cy1 2(x3) Dy1 2(x3) 答案 B 解析 因为直线 y2x3 的斜率为 2, 所以直线 l 的斜率为1 2. 又直线 l 过点(3,0), 故所求直线的方程为 y1 2(x3) 2已知椭圆的中心在原点,离心率 e1 2,且它的一个焦点与抛物线 y 24x 的焦点重合,则此椭圆方程 为( ) A.x 2 4 y2 31 B.x 2

2、 8 y2 61 C.x 2 2y 21 D.x 2 4y 21 答案 A 解析 抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0), 椭圆的一个焦点坐标为(1,0),c1, 又 ec a 1 2,a2,b 2a2c23, 椭圆的标准方程为x 2 4 y2 31. 3已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 相切,圆心在直线 yx 上,则圆 C 的方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 答案 A 解析 圆心在 yx 上,设圆心坐标为(a,a), 圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切, 圆心到两直线 yx 及 xy40 的距

3、离相等, 即|2a| 2 |2a4| 2 a1, 圆心坐标为(1,1),R 2 2 2, 圆 C 的标准方程为(x1)2(y1)22. 4.如图,ABACBD1,AB平面 ,AC平面 ,BDAB,BD 与平面 成 30 角,则 C,D 间的距离 为( ) A1 B2 C. 2 D. 3 答案 C 解析 |CD |2|CA AB BD |2|CA |2|AB |2|BD |22CA AB 2AB BD 2CA BD 11100 211 cos 120 2. |CD | 2. 5过点 P(2,4)作圆 C:(x2)2(y1)225 的切线 l,直线 m:ax3y0 与切线 l 平行,则切线 l 与

4、直 线 m 间的距离为( ) A4 B2 C.8 5 D. 12 5 答案 A 解析 根据题意,知点 P 在圆 C 上, 切线 l 的斜率 k 1 kCP 1 14 22 4 3, 切线 l 的方程为 y44 3(x2),即 4x3y200. 又直线 m 与切线 l 平行, 直线 m 的方程为 4x3y0. 故切线 l 与直线 m 间的距离 d |020| 42324. 6已知椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0),过点(4,0)的直线交椭圆 E 于 A,B 两点若 AB 的中点坐标为(2,1), 则椭圆 E 的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 3 D. 2 3 3 答

5、案 B 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x21 a2 y21 b21, x22 a2 y22 b21, 两式相减得x 2 1x 2 2 a2 y 2 1y 2 2 b2 0, 因为 AB 的中点坐标为(2,1), 所以 x1x24,y1y22, 所以y1y2 x1x2 x1x2b2 y1y2a2 2b2 a2 , 又 kABy1y2 x1x2 01 42 1 2, 所以2b 2 a2 1 2,即 a2b, 所以 ec a 1 b a 2 3 2 . 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA15,P 是棱 DD1上的动点,则当PA1C 的面积最 小时,DP

6、 等于( ) A1 B2 C.5 2 D4 答案 A 解析 根据题意,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所 示, 设 DPx(0 x5), 故可得 P(0,2,x),A1(0,0,5),C(1,2,0), 由空间中两点之间的距离公式可得|A1P|4x52 x210 x29, |PC| 1x2,|A1C| 30, 故在PA1C 中,由余弦定理可得 cosA1PC|A1P| 2|PC|2|A 1C| 2 2|A1P| |PC| x25x x210 x29 1x2, 则 sinA1PC 1cos2A1PC 5x210 x29 x210 x29

7、x21, 故 1 A PC S1 2sinA1PC|A1P|PC| 1 2 5x210 x29 x210 x29x21 x 210 x29 1x2 1 2 5x210 x291 2 5x1224, 当且仅当 x1 时,PA1C 的面积最小 故满足题意时,DP1. 8.如图,F1,F2分别是双曲线 C 的左、右焦点,过 F1的直线与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点, 若ABF2为等边三角形,则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C. 7 D3 答案 C 解析 根据双曲线的定义,可得|BF1|BF2|2a, ABF2是等边三角形,即|BF2|AB|, |BF1|BF2|2a

8、,即|BF1|AB|AF1|2a, 又|AF2|AF1|2a, |AF2|AF1|2a4a. 在AF1F2中,|AF1|2a,|AF2|4a,F1AF2120 , |F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1| |AF2|cos 120 , 即 4c24a216a222a4a 1 2 28a2,得 c 7a, 由此可得双曲线 C 的离心率 ec a 7. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错 的得 0 分) 9若圆 C:x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l:4x3yc0 的距离为 2,则 c 的取

9、值可 能是( ) A13 B13 C15 D18 答案 BC 解析 圆 C:x2y22x4y200 化为(x1)2(y2)225, 则圆心 C(1,2),半径 r5, 若圆 C:x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l:4x3yc0 的距离为 2, 则圆心 C(1,2)到直线 l 的距离 d3,如图 即|4132c| 5 |c2| 5 3, 13c0,b0)的左、右焦点,过左焦点 F1且斜率为 15 7 的直线 l 与 C 在 第一象限相交于一点 P,则下列说法正确的是( ) A直线 l 的倾斜角的余弦值为7 8 B若|F1P|F1F2|,则 C 的离心率 e4 3 C若|PF2|F

10、1F2|,则 C 的离心率 e2 DPF1F2不可能是等边三角形 答案 AD 解析 设直线 l 的倾斜角为 ,则 tan 15 7 ,cos 7 8,故 A 正确 P 在第一象限内,若|F1P|F1F2|,则|PF1|F1F2|2c,|PF2|2c2a,由余弦定理得4c 24c22c2a2 8c2 7 8,整理得 3e 28e40,解得 e2 或 e2 3(舍),故 B 错误 若|PF2|F1F2|,则|PF2|F1F2|2c,|PF1|2c2a,由余弦定理得4c 22c2a24c2 8cca 7 8,整理得 3e 2e 40,解得 e4 3或 e1(舍)故 C 错误 由|PF1|PF2|,知

11、PF1F2不可能为等边三角形,故 D 正确 11 设抛物线 C: y22px(p0)的焦点为 F, 准线为 l, A 为 C 上一点, 以 F 为圆心, |FA|为半径的圆交 l 于 B, D 两点,若ABD90 ,且ABF 的面积为 9 3,则( ) A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 答案 BCD 解析 由题意,得以 F 为圆心,|FA|为半径的圆交 l 于 B,D 两点,且ABD90 , 由抛物线定义,可得|AB|AF|BF|, ABF 是等边三角形, FBD30 , SABF 3 4 |BF|29 3, |BF|6. 又

12、焦点 F 到准线的距离为 p|BF|sin 30 3, 则抛物线方程为 y26x, 则 BCD 正确,A 错误 12.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面为直角梯形,ADBC,BAD90 ,PA底面 ABCD,且 PAAD AB2BC,M,N 分别为 PC,PB 的中点则( ) ACDAN BBDPC CPB平面 ANMD DBD 与平面 ANMD 所成的角为 30 答案 CD 解析 以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(图略), 设 BC1, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), M

13、1,1 2,1 ,N(1,0,1), 从而CD (2,1,0),AN (1,0,1),BD (2,2,0),PC (2,1,2),PB(2,0,2),AD (0,2,0) CD AN 210,A 错误; BD PC 222120,B 错误; 设平面 ANMD 的法向量为 n(x,y,z), 则由 n AD 0, n AN 0, 得 2y0, xz0, 令 x1,得 n(1,0,1) PB 2n,PB平面 ANMD,C 正确; cosBD ,n BD n |BD | |n| 1 2, BD 与平面 ANMD 所成的角为 30 ,D 正确 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

14、) 13直线 l 到其平行直线 x2y40 的距离和原点到直线 l 的距离相等,则直线 l 的方程是_ 答案 x2y20 解析 根据题意,设所求直线 l 的方程为 x2yC0(C4), 则 |C4| 1222 |C| 1222, 解得 C2,故直线 l 的方程为 x2y20. 14已知抛物线 C:y22px(p0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交 点为 B,若AM MB ,则 p_. 答案 2 解析 如图,由 AB 的斜率为 3, 知 60 ,又AM MB , M 为 AB 的中点 过点 B 作 BP准线 l 于点 P, 则ABP60 ,

15、BAP30 . |BP|1 2|AB|BM|. M 为焦点,即p 21, p2. 15在正四棱锥 SABCD 中,O 为顶点 S 在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SOOD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角的大小是_ 答案 30 解析 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 ODOSOAOBOCa, 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P 0,a 2, a 2 , 从而CA (2a,0,0),AP a,a 2, a 2 , CB (a,a,0) 设平面 PAC 的法向量为 n(x,y,z), 由 n CA 0, n AP 0, 可得 n(

16、0,1,1), 则 cosn,CB n CB |n| |CB | 1 2, 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 30 . 16直线 mxy20(mR)与圆 C:x2y22y10 相交于 A,B 两点,弦长|AB|的最小值为_, 若ABC 的面积为 3 2 ,则 m 的值为_ 答案 2 1 解析 直线 mxy20(mR)恒过圆 C:x2(y1)22 内的定点 M(0,2),r 2,圆心 C 到直线的距离 d|CM|1,|AB|2 r2d22, 即弦长|AB|的最小值为 2. SABC1 2r 2sinACB 3 2 , 即ACB 3或 2 3 . 若ACB 3,则圆心到弦 AB 的距离为 6

17、 2 1|CM|,故不符合题意; 若ACB2 3 ,圆心到直线的距离为 2 2 1|CM|, 设弦 AB 的中点为 N, 又|CM|1,故NCM 4, 即直线的倾斜角为 4,则 m 的值为 1. 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2,2)证明: (1)对任意的实数 ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标; (2)该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. 证明 (1)显然 2 与(1)不可能同时为零,故对任意的实数 ,该方程都表示直线 方程可变形为 2xy6(xy4)0, 由 2x

18、y60, xy40, 解得 x2, y2, 故直线经过定点 M(2,2) (2)过 P 作直线的垂线段 PQ(图略), 由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|,当且仅当 Q 与 M 重合时,|PQ|PM|,此时对应的直线方程是 y2x 2,即 xy40.但直线系方程不能表示直线 xy40, M 与 Q 不可能重合,而|PM|4 2, |PQ|b0)的长轴是短轴的 2倍,且右焦点为 F(1,0) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:yk(x2)交椭圆 C 于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为2 3,求直线 l 的方程及FAB 的 面积 解 (1)长轴是短轴的 2倍, a 2b,

19、 焦点 F 的坐标为(1,0), c1. 结合 a2b2c2,得 a 2,b1. 椭圆 C 的标准方程为x 2 2y 21. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2) 由 x2 2y 21, ykx2, 得(2k21)x28k2x8k220, 则 x1x2 8k2 2k21,x1x2 8k22 2k21. 线段 AB 中点的横坐标为2 3, x1x2 2 4k2 2k21 2 3. 解得 k21 4,即 k 1 2满足 0, 直线 l 的方程为 y 1 2(x2) |AB|1k2x1x224x1x22 5 3 , 点 F 到直线 l 的距离 d |3k| 1k2 3 5 5 . FAB 的

20、面积 SAFB1 2 2 5 3 3 5 5 1. 19(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA底面 ABCD,PAAB,E 为线段 PB 的中点 (1)求证:点 F 在线段 BC 上移动时,AEF 为直角三角形; (2)若 F 为线段 BC 的中点,求平面 AEF 与平面 EFD 夹角的余弦值 (1)证明 PAAB,E 为线段 PB 的中点, AEPB. PA底面 ABCD,BC平面 ABCD, PABC. 底面 ABCD 为正方形, BCAB. 又 PAABA,PA,AB平面 PAB, BC平面 PAB. AE平面 PAB, BCAE. PBBCB,PB,

21、BC平面 PBC, AE平面 PBC. EF平面 PBC, AEEF, 点 F 在线段 BC 上移动时,AEF 为直角三角形 (2)解 如图,以 AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,连接 DF,令 PA2,则 A(0,0,0),B(2,0,0),E(1,0,1),F(2,1,0),D(0,2,0), 设平面 AEF 的法向量为 m(x,y,z), 则 m AF 0, m AE 0, 可得 2xy0, xz0, 取 m(1,2,1), 设平面 DEF 的法向量为 n(a,b,c), 则 n DE 0, n EF 0, 可得 a2bc0, abc0, 取 n(1,2

22、,3), |cosm,n| |6| 6 14 21 7 , 平面 AEF 与平面 DEF 夹角的余弦值为 21 7 . 20. (12 分)已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C:(x1)2y24 交于 A,B 两点 (1)若|AB| 15,求直线 l 的方程; (2)x 轴上是否存在定点 M(x0,0),使得当 l 变动时,总有直线 MA,MB 的斜率之和为 0?,若存在,求出 x0 的值,若不存在,请说明理由 解 (1)设圆心 C 到直线 l 的距离为 d, 则 d|CA|2 |AB| 2 2 415 4 1 2. 当 l 的斜率不存在时,d1,不符合题意 当 l 的斜率存在时,设 l 的

23、方程为 ykx,由点到直线的距离公式得 |k| k21 1 2, 解得 k 3 3 , 故直线 l 的方程为 y 3 3 x. (2)存在定点 M,且 x03. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2. 当 l 的斜率不存在时,由对称性可得AMCBMC,k1k20,符合题意; 当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 ykx,代入圆 C 的方程, 整理得(k21)x22x30, x1x2 2 k21,x1x2 3 k21, k1k2 y1 x1x0 y2 x2x0 2kx1x2kx0 x1x2 x1x0 x2x0 2x06k x1x0 x2x0k21,

24、 当 2x060,即 x03 时,有 k1k20, 存在定点 M(3,0)符合题意,即 x03. 21(12 分)等边ABC 的边长为 3,点 D,E 分别是 AB,AC 上的点,且满足AD DB CE EA 1 2(如图),将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使二面角 A1DEB 成直二面角,连接 A1B,A1C(如图) (1)求证:A1D平面 BCED; (2)在线段 BC 上是否存在点 P, 使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 ?若存在, 求出 PB 的长; 若不存在, 请说明理由 (1)证明 由已知可得 AE2,AD1,A60 . 从而 DE 1222212cos

25、 60 3. 故 AD2DE2AE2, A1DDE,BDDE. A1DB 为二面角 A1DEB 的平面角 又二面角 A1DEB 为直二面角, A1DB90 , 即 A1DDB. DEDBD,且 DE,DB平面 BCED, A1D平面 BCED. (2)解 存在 由(1)知 EDDB,A1D平面 BCED,以 D 为坐标原点,以射线 DB,DE,DA1分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正 半轴建立空间直角坐标系,如图, 过 P 作 PHDE 交 BD 于点 H, 设 PB2a(02a3), 则 BHa,PH 3a,DH2a, 易知 A1(0,0,1),P(2a, 3a,0),E(0, 3,0),

26、PA1 (a2, 3a,1), DE平面 A1BD, 平面 A1BD 的一个法向量为DE (0, 3,0) 直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 , sin 60 |PA1 DE | |PA1 | |DE | 3a 4a24a5 3 3 2 , 解得 a5 4. PB2a5 2,满足 02a3,符合题意 在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 ,此时 PB5 2. 22(12 分)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1( 3,0),F2( 3,0),椭圆上的点 P 满 足PF1F290 ,且PF1F2的面积为

27、3 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B,过点 Q(1,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,直线 AN 与直 线 x4 的交点为 R,求证:点 R 总在直线 BM 上 (1)解 由题意知|F1F2|2c2 3. 椭圆上的点 P 满足PF1F290 ,且 1 2 PF F S 3 2 , 1 2 PF F S1 2|F1F2| |PF1| 1 22 3|PF1| 3 2 , |PF1|1 2,|PF2| |F1F2| 2|PF 1| 27 2. 2a|PF1|PF2|4,a2. 又 c 3, b a2c21, 椭圆 C 的方程为x 2

28、4y 21. (2)证明 由题意知 A(2,0),B(2,0) 当直线 l 与 x 轴垂直时,M 1, 3 2 ,N 1, 3 2 , 则 AN 的方程是 y 3 6 (x2),BM 的方程是 y 3 2 (x2), 直线 AN 与直线 x4 的交点为 R(4, 3), 点 R 在直线 BM 上 当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 yk(x1),M(x1,y1),N(x2,y2),R(4,y0), 由 ykx1, x2 4y 21, 得(14k2)x28k2x4k240, x1x2 8k2 14k2,x1x2 4k24 14k2. AR (6,y 0),AN (x 22,y2),A,N,R 共线, y0 6y2 x22. 又BR (2,y 0),BM (x12,y1), 需证明 B,M,R 共线, 2y1y0(x12)0,只需证明 2k(x11)6kx21 x22 (x12)0, 若 k0,显然成立,若 k0,即证明(x11)(x22)3(x21)(x12)2x1x25(x1x2)824k 24 14k2 58k2 14k280 成立,这个式子显然成立, B,M,R 共线,即点 R 总在直线 BM 上