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初三上册数学直升班培优讲 义:第18讲 几何变换之旋转一(教师版)

1、第第 1818 讲讲 几何变换之旋转(一)几何变换之旋转(一) 一、旋转初步:一、旋转初步: 旋转在生活中很常见,在数学中,旋转变换也是几何三大变换中最常考的一种,也是在近几年中考和 直升外地生考试中频繁出现的热点考点。 1旋转的三要素:旋转角度,旋转中心和旋转方向。 2旋转的性质:旋转前后对应的图形全等,对应的旋转角度相等。 3中心对称:特别的,如果旋转角度为180,那么旋转前后两个图形成中心对称。 注意:注意:两个图形成中心对称和中心对称图形要区别清楚,两个图形成中心对称指的是两个图形,中心 对称图形指的是一个图形,比如说平行四边形是一个中心对称图形。 二、大角夹半角:二、大角夹半角: 大

2、角2和半角,比较常见的是90和45,120和60,以90和45为例。 模型模型 I I:正方形中,45EAF,AHEF 可得:可得:BEDFEF;AHAB 模型模型 IIII:等腰直角ABC中,45MAN,可得 222 DNBMMN AD G F B EC H A D N B M Q 模块一 旋转初步 (1)如图 1-1,在RtABC中,90BAC,将ABC绕点顺时针旋转90后得到的ABC (点的对应 点是点B,点的对应点是点C) ,连接CC若32CC B ,则B的大小是( ) A32 B64 C77 D87 (2)如图 1-2,将矩形绕点旋转至矩形AB C D 位置,此时的中点恰好与点重合,

3、AB交于点若3AB , 则AEC的面积为( ) A3 B1.5 C2 3 D3 例1 C CBA B C B BA D D E C 图 1-1 图 1-2 (1)选 C; (2)选 D 【教师备课提示】【教师备课提示】例 1 的两个例题主要是让孩子们理解旋转的性质,抓住旋转前后两图形全等,利用对应 边和对应角相等来求解 如图 2-1,ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合) ,连接CP,将线段CP 绕点C顺时针旋转60得到线段CQ,连接QB交直线AD于点E (1)如图 2-1,若DAC是锐角,其它条件不变,猜想QEP的度数; (2)如图 2-2,若135DAC,15AC

4、P,且4AC ,求BQ的长 C B A Q E P D C B A Q P D E 图 2-1 图 2-2 (1)60QEP以DAC是锐角为例 证明:如图 1, ABC是等边三角形, ACBC,60ACB, 线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ, CPCQ,60PCQ, ACBBCPBCPPCQ, 即ACPBCQ, (SAS)ACPBCQ, APCQ ,12 ,60QEPPCQ; 例2 (2)连接CQ,作CHAD于H,如图, 与(1)一样可证明ACPBCQ, APBQ, 135DAC,15ACP, 30APC,45PCB, ACH为等腰直角三角形, 22 42 2 22 AHCHAC, 在

5、RtPHC中,32 6PHCH, 2 62 2PAPHAH, 2 62 2BQ 正方形ABCD中,点M、N分别为BC、CD边上的点,且45MAN,连接MN,过A作AEMN交MN于点 E,连接BD,分别交AM、AN于点F、G试证明以下结论: MNBMDN; 2 CMN CAB ; ABAE; AM平分BAE,AN平分DAE; 222 BFGDFG C A M D B N G F E C A M D B N G F ER T 4 15 6 7 23 (1)延长CB到点T,使BTDN,连接AT, 四边形ABCD是正方形,ABAD,90ABCADC , 在ABT和ADN中, ADAB ADNABT B

6、TDN (SAS)ABTADN, ATAN,12 ,45MAN,5245 , 5145TAM , 模块二 大角夹半角 例3 C B A Q P D E H 在AMT和AMN中, ATAN MANMAT AMAM (SAS)TAMNAM, TMMN,MNBTBMBMDN (2)TAMNAM TMNM, ATMANM SS ABAE; (3)在RtABM和RtAEM ABAE AMAM RtRt()ABMAEM HL,56 17 27 平分 BAE,AN平分DAE; (4)在AT上截取TRNG,连接RB,RF 则有(SAS)TBRNDG RBDG 在ARF和AGF中, ARAG RAFGAF AF

7、AF (SAS)ARFAGF RFGF,4345 ,90RBF, 22 RFRBBF 222 BFGDFG 如图,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,连接AE交对角线BD于点F,过点F作FGAE交BC于点G, 连接EG,已知正方形ABCD边长为 4cm,求ECG的周长 C A G D B E F C A G D B E F H 如图,连接CF, 易证(SAS)ABFCBF, AFCF,BAFBCF , FGAE, 在四边形ABGF中, 3609090180BAFBGF , 例4 又180BGFCGF, BAFCGF , CGFBCF , CFFG, AFFG; AFG是等腰直角三角形, 45

8、EAG, 把ADE顺时针旋转90得到ABH,则AHAE,BHDE,=BAHDAE, AFFG,FGAE, 904545HAGBAGDAE , EAGHAG , (SAS)AHGAEG, HGEG, HGBHBGDEBG, 28cm ECG CECEGCGECBGDECGBC 【教师备课提示】【教师备课提示】此题就是需要去先求半角模型,然后再利用半角模型求解 如图, 在直角梯形ABCD中,AD/BC()BCAD,90B,12ABBC,E是AB上的一点, 且45DCE, 4BE ,求DE的长 过C做CGAD交AD延长线于G, 延长AG至F, 使得GFEB CGAD 90AGCAB ABBC 四边形

9、ABCG为正方形 12CGCB, 易证(SAS)BECFGC, ECFC,1= 2 4=45 1+ 3= 2+ 3=45FCD (SAS)ECDFCD EDFD 设EDx 则4DGx,12(4)16ADxx 222 ADAEED 22 6425632xxx 10 x 10DE 例5 D E C B A 在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点, 且60MDN,120BDC, BDCD,探究:当点M,N分别在直线AB,AC上移动时,BM,CN,MN之间的数量关系及AMN的周长Q 与等边ABC的周长L的关系 (1)如图 6-1,当点M,N在边AB,AC上,且DMDN

10、时,BM,NC,MN之间的数量关系式_;此 时 Q L _ (2)如图 6-2,当点,在边,上,且DMDN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加 以证明; (3)如图 6-3,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若ANx,则Q _(用x,L表示) 图 6-1 图 6-2 图 6-3 (1)BM + NC = MN; 2 3 Q L (2)猜想:仍然成立,证明:如图,延长AC至E,使CEBM,连接DE, , 且, , 由是等边三角形, , (SAS)MBDECD , , ,在与中, , ,的周长 , 而等边ABC的周长, (3) 图 M N D CB A 图 M N D C

11、B A N 图 M D C B A BDCD120BDC30DBCDCB ABC90MBDNCD DMDEBDMCDE, DMDE MDNEDN DNDN ()MDNEDN SAS MNNENCBMAMN ()()2QAMANMNAMBMANNCABACAB 3LAB 2 3 Q L 2 2 3 xL 例6 M E N D C B A 如图所示,ABC是边长为 的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作一个60的 MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长 C A B M D N C A B M D N FE 如图所示,过D作DE交BC于E,使得BEBM;过D作DF交B

12、C于F,使得CFCN 因为120BDC,BDC为等腰三角形,所以30DBC, 又因为ABC为正三角形,所以 30ABC 注意到DBCMBD ,BMBE,BDBD,所以DBEDBM,可知AMCE同理, DCFDCN,ANBF 则有DEDM,DFDN,MDBEDB,NDCFDC 又因为60MDN,120BDC,则180MDBNDC 而120120EDCEDBMDB,120120BDFFDCNDC, 故24060EDCBDFMDBNDC,因此60FDE, 则FDENDM,MNEF,进而可知AMN的周长为 1 【教师备案教师备案】本题是大角夹半角模型的一种变化,可以将条件弱化成D是任意三角形的外心,

13、,结论改成,就变成了一道相当有难度的竞赛题了(第 27 届 全俄奥林匹克题) 如图, 菱形ABCD中, 点E、M在AD上, 且CDCM, 点F为AB上的点, 且 1 2 ECFB.求证:BFEFEM A BC D E F M A BC D E F M N 1 4 3 2 5 1 1 2 MDNBDC AMN CBC 例7 例8 延长AB到N,使BNEM,连接CN CDCM,CDCB,且ABCD BCCM,2ABC 125ABC 15 又BNME,BCCM,BNCMEC 43 ,CENC AD/BC 2BCMABC 1 2 ECFABC 34BCFBCFECF 又NCEC,CFCF NCFECF

14、 FNEFFBNBFBEM FBEFEM. (1)如图 1-1,边长为 6 正方形绕点B按顺时针方向旋转30后得到正方形EBGF,EF交CD于点H,则FH 的长为_(结果保留根号) (2) 如图 1-2, 在同一平面内, 将ABC绕点旋转40到ABC 的位置, 使得CCAB , 则 B A C ( ) A30 B40 C70 D80 图 1-1 图 1-2 (1)62 3;(2)A 30 H G F E D C B A C C AB B 模块一模块一 旋转初步旋转初步 演练1 演练2 复习巩固 如图,ABC中,1ABAC,45BAC,AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连 接BE、C

15、F相交于点D (1)求证:BECF; (2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长 (1)证明:AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,AEAB, AFAC,EAFBAC , EAFBAFBACBAF ,即EABFAC , ABAC,AEAF,AEB可由AFC绕点A按顺时针方向旋转得到, BECF; (2)解:四边形ACDE为菱形,1ABAC,1DEAEACAB,ACDE, AEBABE,45ABEBAC ,45AEBABE , ABE为等腰直角三角形,2= 2BEAC,21BDBEDE 已知梯形ABCD中,ADBC,ABBCDC, 点E、F分别在AD、AB上, 且 1 = 2 FCEBC

16、D (1)求证:BFEFED; (2)连接AC,若80B,70DEC,求ACF的度数 (1)证明:旋转BCF使BC与CD重合, ADBC,ABDC,即梯形ABCD为等腰梯形, AADC ,180AABC , 180ADCABC , 由旋转可知:ABCCDF , 180ADCCDF ,即ADF为平角, A,D,F共线, FCF C,ECEC, ECFBCFDCEECF , FCEF CE, EFEFDFED, BFEFED; (2)解:ABBC,80B, 50ACB, 由(1)得70FECDEC , 70ECB, 而80BBCD , 模块二模块二 大角夹半角大角夹半角 演练3 E A F D B

17、 C B AED F C F B AED F C B AED F C 10DCE, 30BCF, 20ACFBCABCF (1)如图 4-1,在四边形ABCD中,ABAD,90BD,E、F分别是边BC、CD上的点,且 1 2 EAFBAD求证:EFBEFD (2)如图 4-2,在四边形ABCD中,ABAD,180BD,E、F分别是边BC、CD上的点,且 1 2 EAFBAD, (1)中的结论是否仍然成立?不用证明 (3)如图 4-3,在四边形ABCD中,ABAD,180BD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且 1 2 EAFBAD, (1) 中的结论是否仍然成立?若成立, 请证明; 若不

18、成立, 请写出它们之间的数量关系, 并证明 A D F BEC A B E C F D A B F D C E 图 4-1 图 4-2 图 4-2 (1)延长EB到G,使BGDF,连接AG 90ABGABCD,ABAD, ABGADFAGAF,12 1 1323 2 EAFBAD GAEEAF又AEAE, AEGAEFEGEF EGBEBGEFBEFD (2) (1)中的结论EFBEFD仍然成立 (3)结论EFBEFD不成立,应当是EFBEFD 证明:在BE上截取BG,使BGDF,连接AG 180BADC,180ADFADC, BADFABAD, ABGADFBAGDAF,AGAF 1 2 B

19、AGEADDAFEADEAFBAD GAEEAFAEAE,AEGAEF 演练4 EGEF,EGBEBG,EFBEFD A D F BECG 13 2 A B F D C E G 如图,已知正方形ABCD的边长为 1,P、Q是其内两点,且45PAQPCQ求 P A BP C QQ A D SSS 的 值 如图,将绕点A顺时针旋转至处, 使与重合,连接 将绕点逆时针旋转至处, 使与重合,连接 由旋转可知: , 又 又, (SAS) APQAPM SS APQBMPPCQ SSS 同理:, , , 又, (SSS) ADQ90 ABM ADABPM CQDC90CBN CDCBPN ABMADQ A

20、MAQQDMBMABQAD ABMADQ SS 1 45 2 PAQBAD 45MAPMABPABQADPAB PAQMAP AQAM APAP APQAPM PMPQ PABPCQQAD SSS PABPCQMAB SSS AMPBMPPCQ SSS CDQCBNCPQCPN BMQDPNPQ BNQDPNPQ QCDAPQBPC SSS BCNAPQBPC SSS CNBNPAPQ SSS P PCQBNPAPQ SSS BPBPBMBN PMPNPQ PBMPBN 演练5 A BC D M N P P D CB A Q PBMPBN SS PABPCQQADQCDAPQBPC SSSSSS 11 22 PABPCQQADABCD SSSS 正方形