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九年级数学第3章 圆的基本性质单元测试(B卷提升篇)(浙教版)(解析版)

1、 1 / 23 第第 3 章章 圆的基本性质单元测试(圆的基本性质单元测试(B 卷提升篇)卷提升篇) 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分) (2020内江)如图,点 A、B、C、D 在O 上,AOC120,点 B 是的中点,则D 的度 数是( ) A30 B40 C50 D60 【思路点拨】连接 OB,如图,利用圆心角、弧、弦的关系得到AOBCOBAOC60,然后 根据圆周角定理得到D 的度数 【答案】解:连接 OB,如图, 点 B 是的中点, AOBAOC12060, DAOB30 故选:A

2、 【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半 2 (3 分) (2020鞍山)如图,O 是ABC 的外接圆,半径为 2cm,若 BC2cm,则A 的度数为( ) 2 / 23 A30 B25 C15 D10 【思路点拨】连接 OB 和 OC,证明OBC 为等边三角形,得到BOC 的度数,再利用圆周角定理得出 A 【答案】解:连接 OB 和 OC, 圆 O 半径为 2,BC2, OBC 为等边三角形, BOC60, A30, 故选:A 【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质,解题的关键是正确的作出辅助线 3 (3 分)

3、 (2019 秋绿园区期末)如图,在每个小正方形的边长均为 1 的 55 的网格中,选取 7 个格点(小 正方形的顶点) ,若以点 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个点在圆内,则 r 的 取值范围是( ) 3 / 23 A3r Br Cr Dr3 【思路点拨】利用勾股定理求出各格点到点 A 的距离,结合点与圆的位置关系,即可得出结论 【答案】解:给各点标上字母,如图所示 AB,ACAD,AG3,AF, AE 所以以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内, 这三个点只能为 B、C、D 点, , 故选:D 【点睛】本题考查了点与圆

4、的位置关系以及勾股定理,利用勾股定理求出各格点到点 A 的距离是解题的 关键 4 (3 分) (2019 秋天心区校级期中)下列说法正确的是( ) A等弧所对的弦相等 B平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C相等的弦所对的圆心角相等 D相等的圆心角所对的弧相等 【思路点拨】根据垂径定理,圆心角,弧,弦之间的关系一一判断即可 【答案】解:A、正确本选项符合题意 B、错误应该是平分弦(此弦非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧,本选项符合题意 C、错误,必须在同圆或等圆中,本选项不符合题意 D、错误必须在同圆或等圆中,本选项不符合题意 故选:A 【点睛】本题考查垂径定理,圆心角,弧,弦之间的关系等知

5、识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属 于中考常考题型 5 (3 分) (2016 秋丹江口市期末)如图,四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形,顶点 P 在上,且不 4 / 23 与 M、N 重合,当 P 点在上移动时,矩形 PAOB 的形状,大小随之变化,则 AB 的长度( ) A不变 B变小 C变大 D不能确定 【思路点拨】四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形,根据矩形的性质 ABOP半径,所以 AB 长度不 变 【答案】解:四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形, ABOP半径, 当 P 点在上移动时,半径一定,所以 AB 长度不变, 故选:A 【点睛】本题考查了圆的

6、认识,矩形的性质,用到的知识点为:90的圆周角所对的弦是直径,垂直于 非直径的弦的直径平分弦,三角形的中位线等于第三边的一半 6 (3 分) (2020碑林区校级模拟)已知,O 的半径为 3,ABC 内接于O,且 BC3则A 的度 数为( ) A60 B120 C60或 120 D不能确定 【思路点拨】如图,当点 A 在优弧 BC 上时,连接 BO 并延长交O 于 D,连接 CD,根据三角函数的定 义和圆周角定理即可得到AD60,当点 A 在劣弧 BC 上时,求得A18060120, 于是得到结论 【答案】解:如图,当点 A 在优弧 BC 上时,连接 BO 并延长交O 于 D,连接 CD, 则

7、BCD90, BC3,BD6, sinD, D60, AD60, 当点 A 在劣弧 BC 上时,A18060120, 综上所述,A 的度数为 60或 120, 故选:C 5 / 23 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理、解直角三角形,关键在于作好辅助线构建直 角三角形 7 (3 分) (2020毕节市)如图,已知点 C,D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点,弧 CD 的长为,则 图中阴影部分的面积为( ) A B C D+ 【思路点拨】连接 OC、OD,根据 C,D 是以 AB 为直径的半圆周的三等分点,可得COD60, OCD 是等边三角形,将阴影部分的面积转化为扇形 OC

8、D 的面积求解即可 【答案】解:连接 CD、OC、OD C,D 是以 AB 为直径的半圆周的三等分点, AOCCODDOB60,ACCD, 弧 CD 的长为, , 解得:r1, 又OAOCOD, OAC、OCD 是等边三角形, 在OAC 和OCD 中, OACOCD(SSS) , S阴影S扇形OCD 6 / 23 故选:A 【点睛】本题考查了扇形面积的计算,解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形 OCD 的面积,难 度一般 8 (3 分) (2019 秋新城区期末)如图,点 A,B,C,D,E 都在O 上,且的度数为 50,则B+ D 等于( ) A130 B135 C145 D155 【

9、思路点拨】 连接 AB、 DE, 先求得ABEADE25, 根据圆内接四边形的性质得出ABE+EBC+ ADC180,即可求得B+D155 【答案】解:连接 AB、DE,则ABEADE, 为 50, ABEADE25, 点 A、B、C、D 在O 上, 四边形 ABCD 是圆内接四边形, ABC+ADC180, ABE+EBC+ADC180, B+D180ABE18025155 故选:D 7 / 23 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质,作出辅助线构建内接四边形是解题的关键 9 (3 分) (2020武汉)如图,在半径为 3 的O 中,AB 是直径,AC 是弦,D 是的中点,AC

10、与 BD 交 于点 E若 E 是 BD 的中点,则 AC 的长是( ) A B3 C3 D4 【思路点拨】连接 OD,交 AC 于 F,根据垂径定理得出 ODAC,AFCF,进而证得 DFBC,根据 三角形中位线定理求得 OFBCDF,从而求得 BCDF2,利用勾股定理即可求得 AC 【答案】解:连接 OD,交 AC 于 F, D 是的中点, ODAC,AFCF, DFE90, OAOB,AFCF, OFBC, AB 是直径, ACB90, 在EFD 和ECB 中 EFDECB(AAS) , DFBC, OFDF, OD3, OF1, 8 / 23 BC2, 在 RtABC 中,AC2AB2B

11、C2, AC4, 故选:D 【点睛】本题考查了垂径定理,三角形全等的判定和性质,三角形中位线定理,熟练掌握性质定理是解 题的关键 10 (3 分) (2019 秋台江区期中)如图,点 A 是半圆上的一个三等分点,点 B 为弧 AD 的中点,P 是直径 CD 上一动点,O 的半径是 2,则 PA+PB 的最小值为( ) A2 B C D 【思路点拨】首先作 A 关于 CD 的对称点 Q,连接 BQ,然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理 解答 【答案】解:作 A 关于 MN 的对称点 Q,连接 CQ,BQ,BQ 交 CD 于 P,此时 AP+PBQP+PBQB, 根据两点之间线段最短,PA+

12、PB 的最小值为 QB 的长度, 连接 OQ,OB, 点 A 是半圆上的一个三等分点, ACD30 B 弧 AD 中点, BODACD30, QOD2QCD23060, 9 / 23 BOQ30+6090 O 的半径是 2, OBOQ2, BQ2,即 PA+PB 的最小值为 2 故选:D 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题,解答此题的关键是找到点 A 的对称点,把题目的问题转 化为两点之间线段最短解答 二填空题(共二填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分) (2020白云区一模)四边形 ABCD 内接于O若BAD83,则BCD 的度数是

13、97 【思路点拨】根据圆内接四边形的对角互补直接求得另一个角即可 【答案】解:四边形 ABCD 内接于O, BAD+BCD180, BAD83, BCD180BAD1808397, 故答案为:97 【点睛】考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识,解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补, 难度不大 12(2020甘孜州) 如图, AB 为O 的直径, 弦 CDAB 于点 H, 若 AB10, CD8, 则 OH 的长度为 3 【思路点拨】根据垂径定理由 CDAB 得到 CHCD4,再根据勾股定理计算出 OH3 【答案】解:连接 OC, 10 / 23 CDAB, CHDHCD84, 直径 A

14、B10, OC5, 在 RtOCH 中,OH3, 故答案为:3 【点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 13 (4 分) (2020金华二模)如图,过 D、A、C 三点的圆的圆心为 E,过 B、E、F 三点的圆的圆心为 D, 如果A66,那么B 16 【思路点拨】首先连接 DE,由过 D、A、C 三点的圆的圆心为 E,过 B、E、F 三点的圆的圆心为 D,根 据圆内接四边形的性质可得:C+AED180,继而可求得C90+B,又由三角形内角和 定理,即可求得答案 【答案】解:连接 DE, 过 D、A、C 三点的圆的圆心为 E, C+AED180, 过 B、E

15、、F 三点的圆的圆心为 D, BEDB, AED180B, C90+B, 11 / 23 A+C+B180, 66+90+B+B180, 解得:B16 故答案为:16 【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意 数形结合与方程思想的应用 14 (4 分) (2020松北区一模)在O 中,半径 OA1,AB、AC 为弦,AB,AC,则BAC 15或 75 【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理可得 【答案】解:分别作 ODAB,OEAC,垂足分别是 D、E OEAC,ODAB,根据垂径定理得 AEAC,ADAB, sinAOE,sinAOD, 根据特殊角

16、的三角函数值可得AOE60,AOD45, BAO45,CAO906030, BAC45+3075, 或BAC453015 故答案为:15或 75 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理注意要考虑到两种情况 15 (4 分) (2020望花区二模)如图,在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为 2 米,圆 12 / 23 心角为 120圆弧多次复制并首尾连接而成,现有一点 P 从 A(A 为坐标原点) ,以每秒米的速度沿 曲线向右运动,则在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为 0 【思路点拨】先计算点 P 走一个的时间,得到点 P 纵坐标的规律:以 1,0,1,0 四个数为一个周

17、 期依次循环,再用 20204505,得出在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为是 0 【答案】解:点运动一个用时为2 秒 如图,作 CDAB 于 D,与交于点 E 在 RtACD 中,ADC90,ACDACB60, CAD30, CDAC21, DECECD211, 第 1 秒时点 P 运动到点 E,纵坐标为 1; 第 2 秒时点 P 运动到点 B,纵坐标为 0; 第 3 秒时点 P 运动到点 F,纵坐标为1; 第 4 秒时点 P 运动到点 G,纵坐标为 0; 第 5 秒时点 P 运动到点 H,纵坐标为 1; , 点 P 的纵坐标以 1,0,1,0 四个数为一个周期依次循环, 2020450

18、5, 第 2020 秒时点 P 的纵坐标为是 0 故答案为 0 13 / 23 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标,解题的关键是找出点 P 纵坐标的规律:以 1,0,1,0 四个 数为一个周期依次循环也考查了垂径定理 16 (4 分) (2020牡丹江)在半径为的O 中,弦 AB 垂直于弦 CD,垂足为 P,ABCD4,则 SACP 或或 【思路点拨】如图 1,作 OEAB 于 E,OFCD 于 F,连结 OD、OB,如图,根据垂径定理得到 AE BEAB2,DFCFCD2,根据勾股定理在 RtOBE 中计算出 OE1,同理可得 OF1,接 着证明四边形 OEPF 为正方形,于是得到 PAP

19、C1,根据三角形面积公式求得即可 【答案】解:作 OEAB 于 E,OFCD 于 F,连结 OD、OB, 则 AEBEAB2,DFCFCD2, 如图 1, 在 RtOBE 中,OB,BE2, OE1, 同理可得 OF1, ABCD, 四边形 OEPF 为矩形, PEPF1, PAPC1, SAPC; 如图 2, 14 / 23 同理:SAPC; 如图 3, 同理:SAPC; 故答案为:或或 【点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股 定理 三解答题(共三解答题(共 7 小题,共小题,共 66 分)分) 17 (6 分) (2019 秋中山市期末)如

20、图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 E,如果 AB10,CD 8,求线段 AE 的长 【思路点拨】利用直径 AB10,则 OCOA5,再由 CDAB,根据垂径定理得 CEDECD4, 然后利用勾股定理计算出 OE,再利用 AEOAOE 进行计算即可 【答案】解:连接 OC,如图, AB 是O 的直径,AB10, OCOA5, CDAB, CEDECD84, 在 RtOCE 中,OC5,CE4, OE3, 15 / 23 AEOAOE532 【点睛】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理 18 (8 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,AE

21、 为弦,C 为的中点,CDAB 于点 D,交 AE 于点 F,BC 交 AE 于点 G求证:AFFC 【思路点拨】首先证明BCAF,再同角的余角相等证明BACE,进而得到CAFACF, 最后利用等边对等角可得到结论 AFCF 【答案】证明:点 C 是弧 AE 的中点, BCAE, AB 是O 的直径, ACB90, 即ACF+BCD90, CDAB, B+BCD90, 又ACF+BCD90, BACF BCAFACF, AFCF 【点睛】此题主要考查了圆周角定理,解决此题的关键是证明BCAFACF 19 (8 分) (2019 秋香坊区校级期中)如图,AB 为O 的弦,半径 OC,OD 分别交

22、 AB 于点 E,F且 16 / 23 (1)求证:OEOF; (2)作半径 ONAB 于点 M,若 AB8,MN2,求 OM 的长 【思路点拨】 (1)连接 OA、OB,证明AOEBOF(ASA) ,即可得出结论; (2)连接 OA,由垂径定理得出 AMAB4,设 OMx,则 OAONx+2,在 RtAOM 中,由勾 股定理得出方程,解方程即可 【答案】 (1)证明:连接 OA、OB,如图 1 所示: OAOB, AB, , AOEBOF, 在AOE 和OBF 中, AOEBOF(ASA) , OEOF; (2)解:连接 OA,如图 2 所示: OMAB, AMAB4, 设 OMx,则 OA

23、ONx+2, 在 RtAOM 中,由勾股定理得:42+x2(x+2)2, 17 / 23 解得:x3, OM3 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,垂径定理, 勾股定理等知识;熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键 20 (10 分) (2020 春福田区校级期中)如图,ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2,4) ,B(1,1) ,C(4, 3) (1)请画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1,并写出点 A1、B1的坐标; (2)请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2BC2; (3)求出(2)中线段 BC 所扫过的面积(结

24、果保留根号和) 【思路点拨】 (1)分别作出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点,再顺次连接即可得; (2)分别作出点 A、C 绕点 B 逆时针旋转 90后所得对应点,再顺次连接可得; (3)根据扇形面积公式计算可得线段 BC 所扫过的面积 【答案】解: (1)根据关于 x 轴对称点的坐标特点可知:A1(2,4) ,B1(1,1) ,C1(4,3) ,如 图,连接 A1、B1、C1即可得到A1B1C1 18 / 23 (2)如图,A2BC2即为所求: (3)由题可得 BC,CBC290, 线段 BC 所扫过的面积 【点睛】本题主要考查作图轴对称变换、旋转变换,解题的关键是根据轴对称变换和旋转变

25、换,得到 变换后的对应点 21 (10 分) (2020河北区一模)四边形 ABCD 内接于O,AC 为其中一条对角线 ()如图,若BAD70,BCCD求CAD 的大小; ()如图,若 AD 经过圆心 O,连接 OC,ABBC,OCAB,求ACO 的大小 19 / 23 【思路点拨】 (1)根据圆心角、弧、弦之间的关系解答; (2)连接 BD,根据圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质得到BACBDAOAC,根 据圆周角定理得到ABD90,计算即可 【答案】解: (1)BCCD, , CADCABBAD35; (2)连接 BD, ABBC, BACBCA, OCAB, BACOCA, OA

26、OC, OACOCA, BACBCAOAC, 由圆周角定理得,BCABDA, BACBDAOAC, AD 是O 的直径, ABD90, ACO30 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理,掌握直径所对 的圆周角是直角是解题的关键 22 (12 分) (2020温州模拟)如图,AB 是 O 的直径,C 是弧 BD 的中点,CEAB,垂足为 E,BD 交 CE 20 / 23 于点 F (1)求证:CFBF; (2)若 AD6,O 的半径为 5,求 BC 的长 【思路点拨】 (1)连接 ACAC,由圆周角定理得出ACB90,证出BACBCE;由 C 是弧 BD

27、 的 中点,得到DBCBAC,延长BCEDBC,即可得到结论; CFBF (2)连接 OC 交 BD 于 G,由圆周角定理得出ADB90,由勾股定理得出 BD8,由 垂径定理得出 OCBD,DGBGBD4,证出 OG 是ABD 的中位线,得出 OGAD3,求出 CGOCOG2,在 RtBCG 中,由勾股定理即可得出答案 【答案】 (1)证明:连接 AC,如图 1 所示: C 是弧 BD 的中点, DBCBAC, 在 ABC 中,ACB90,CEAB, BCE+ECABAC+ECA90, BCEBAC, 又 C 是弧 BD 的中点, 21 / 23 DBCCDB, BCEDBC, CFBF (2

28、)解:连接 OC 交 BD 于 G,如图 2 所示: AB 是 O 的直径,AB2OC10, ADB90, BD8, C 是弧 BD 的中点, OCBD,DGBGBD4, OAOB, OG 是ABD 的中位线, OGAD3, CGOCOG532, 在 RtBCG 中,由勾股定理得:BC2 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知识; 熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键 23 (12 分) (2019 秋江岸区校级月考)如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,点 G 为弧 BC 上一 动点,CG 与 AB 的延长线交于点 F,连接

29、OD (1)判定AOD 与CGD 的大小关系为 AODCGD ,并求证:GB 平分DGF (2)在 G 点运动过程中,当 GDGF 时,DE4,BF,求O 的半径 22 / 23 【思路点拨】 (1)由垂径定理得出,由圆周角定理即可得出AODCGD;连接 BG、BC、 BD,由垂径定理得出,由圆周角定理得出BCDBGDBDC,由四边形 BDCG 为圆内接 四边形,得出BGFBDC,推出BGDBGF,即可得出结论; (2)由 SAS 证得BGDBGF,得出 BDBF4,由勾股定理得出 BE8,设O 的半径为 r,则 OE8r,在 RtODE 中, (8r)2+42r2,解得 r5 【答案】解:

30、(1)AODCGD;理由如下: AB 是O 的直径,弦 CDAB, , AODCGD, 故答案为:AODCGD; 连接 BG、BC、BD,如图所示: AB 是O 的直径,弦 CDAB, , BCDBGDBDC, 四边形 BDCG 为圆内接四边形, BGFBDC, BGDBGF, GB 平分DGF; (2)在BGD 和BGF 中, BGDBGF(SAS) , BDBF4, BE8, 设O 的半径为 r,则 OE8r, 23 / 23 在 RtODE 中, (8r)2+42r2, 解得:r5,即O 的半径为 5 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性 质等知识;熟练掌握垂径定理、圆周角定理、证明三角形全等是解题的关键