1、 1 / 23 第第 3 章章 圆的基本性质单元测试（圆的基本性质单元测试（B 卷提升篇）卷提升篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2020内江）如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是的中点，则D 的度 数是（ ） A30 B40 C50 D60 【思路点拨】连接 OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到AOBCOBAOC60，然后 根据圆周角定理得到D 的度数 【答案】解：连接 OB，如图， 点 B 是的中点， AOBAOC12060， DAOB30 故选：A
2、 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半 2 （3 分） （2020鞍山）如图，O 是ABC 的外接圆，半径为 2cm，若 BC2cm，则A 的度数为（ ） 2 / 23 A30 B25 C15 D10 【思路点拨】连接 OB 和 OC，证明OBC 为等边三角形，得到BOC 的度数，再利用圆周角定理得出 A 【答案】解：连接 OB 和 OC， 圆 O 半径为 2，BC2， OBC 为等边三角形， BOC60， A30， 故选：A 【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线 3 （3 分）
3、 （2019 秋绿园区期末）如图，在每个小正方形的边长均为 1 的 55 的网格中，选取 7 个格点（小 正方形的顶点） ，若以点 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个点在圆内，则 r 的 取值范围是（ ） 3 / 23 A3r Br Cr Dr3 【思路点拨】利用勾股定理求出各格点到点 A 的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论 【答案】解：给各点标上字母，如图所示 AB，ACAD，AG3，AF， AE 所以以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内， 这三个点只能为 B、C、D 点， ， 故选：D 【点睛】本题考查了点与圆
4、的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点 A 的距离是解题的 关键 4 （3 分） （2019 秋天心区校级期中）下列说法正确的是（ ） A等弧所对的弦相等 B平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C相等的弦所对的圆心角相等 D相等的圆心角所对的弧相等 【思路点拨】根据垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可 【答案】解：A、正确本选项符合题意 B、错误应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项符合题意 C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意 D、错误必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知
5、识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型 5 （3 分） （2016 秋丹江口市期末）如图，四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形，顶点 P 在上，且不 4 / 23 与 M、N 重合，当 P 点在上移动时，矩形 PAOB 的形状，大小随之变化，则 AB 的长度（ ） A不变 B变小 C变大 D不能确定 【思路点拨】四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形，根据矩形的性质 ABOP半径，所以 AB 长度不 变 【答案】解：四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形， ABOP半径， 当 P 点在上移动时，半径一定，所以 AB 长度不变， 故选：A 【点睛】本题考查了圆的
6、认识，矩形的性质，用到的知识点为：90的圆周角所对的弦是直径，垂直于 非直径的弦的直径平分弦，三角形的中位线等于第三边的一半 6 （3 分） （2020碑林区校级模拟）已知，O 的半径为 3，ABC 内接于O，且 BC3则A 的度 数为（ ） A60 B120 C60或 120 D不能确定 【思路点拨】如图，当点 A 在优弧 BC 上时，连接 BO 并延长交O 于 D，连接 CD，根据三角函数的定 义和圆周角定理即可得到AD60，当点 A 在劣弧 BC 上时，求得A18060120， 于是得到结论 【答案】解：如图，当点 A 在优弧 BC 上时，连接 BO 并延长交O 于 D，连接 CD， 则
7、BCD90， BC3，BD6， sinD， D60， AD60， 当点 A 在劣弧 BC 上时，A18060120， 综上所述，A 的度数为 60或 120， 故选：C 5 / 23 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理、解直角三角形，关键在于作好辅助线构建直 角三角形 7 （3 分） （2020毕节市）如图，已知点 C，D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点，弧 CD 的长为，则 图中阴影部分的面积为（ ） A B C D+ 【思路点拨】连接 OC、OD，根据 C，D 是以 AB 为直径的半圆周的三等分点，可得COD60， OCD 是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形 OC
8、D 的面积求解即可 【答案】解：连接 CD、OC、OD C，D 是以 AB 为直径的半圆周的三等分点， AOCCODDOB60，ACCD， 弧 CD 的长为， ， 解得：r1， 又OAOCOD， OAC、OCD 是等边三角形， 在OAC 和OCD 中， OACOCD（SSS） ， S阴影S扇形OCD 6 / 23 故选：A 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形 OCD 的面积，难 度一般 8 （3 分） （2019 秋新城区期末）如图，点 A，B，C，D，E 都在O 上，且的度数为 50，则B+ D 等于（ ） A130 B135 C145 D155 【
9、思路点拨】 连接 AB、 DE， 先求得ABEADE25， 根据圆内接四边形的性质得出ABE+EBC+ ADC180，即可求得B+D155 【答案】解：连接 AB、DE，则ABEADE， 为 50， ABEADE25， 点 A、B、C、D 在O 上， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ABC+ADC180， ABE+EBC+ADC180， B+D180ABE18025155 故选：D 7 / 23 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键 9 （3 分） （2020武汉）如图，在半径为 3 的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是的中点，AC
10、与 BD 交 于点 E若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是（ ） A B3 C3 D4 【思路点拨】连接 OD，交 AC 于 F，根据垂径定理得出 ODAC，AFCF，进而证得 DFBC，根据 三角形中位线定理求得 OFBCDF，从而求得 BCDF2，利用勾股定理即可求得 AC 【答案】解：连接 OD，交 AC 于 F， D 是的中点， ODAC，AFCF， DFE90， OAOB，AFCF， OFBC， AB 是直径， ACB90， 在EFD 和ECB 中 EFDECB（AAS） ， DFBC， OFDF， OD3， OF1， 8 / 23 BC2， 在 RtABC 中，AC2AB2B
11、C2， AC4， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解 题的关键 10 （3 分） （2019 秋台江区期中）如图，点 A 是半圆上的一个三等分点，点 B 为弧 AD 的中点，P 是直径 CD 上一动点，O 的半径是 2，则 PA+PB 的最小值为（ ） A2 B C D 【思路点拨】首先作 A 关于 CD 的对称点 Q，连接 BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理 解答 【答案】解：作 A 关于 MN 的对称点 Q，连接 CQ，BQ，BQ 交 CD 于 P，此时 AP+PBQP+PBQB， 根据两点之间线段最短，PA+
12、PB 的最小值为 QB 的长度， 连接 OQ，OB， 点 A 是半圆上的一个三等分点， ACD30 B 弧 AD 中点， BODACD30， QOD2QCD23060， 9 / 23 BOQ30+6090 O 的半径是 2， OBOQ2， BQ2，即 PA+PB 的最小值为 2 故选：D 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此题的关键是找到点 A 的对称点，把题目的问题转 化为两点之间线段最短解答 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2020白云区一模）四边形 ABCD 内接于O若BAD83，则BCD 的度数是
13、97 【思路点拨】根据圆内接四边形的对角互补直接求得另一个角即可 【答案】解：四边形 ABCD 内接于O， BAD+BCD180， BAD83， BCD180BAD1808397， 故答案为：97 【点睛】考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补， 难度不大 12（2020甘孜州） 如图， AB 为O 的直径， 弦 CDAB 于点 H， 若 AB10， CD8， 则 OH 的长度为 3 【思路点拨】根据垂径定理由 CDAB 得到 CHCD4，再根据勾股定理计算出 OH3 【答案】解：连接 OC， 10 / 23 CDAB， CHDHCD84， 直径 A
14、B10， OC5， 在 RtOCH 中，OH3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 13 （4 分） （2020金华二模）如图，过 D、A、C 三点的圆的圆心为 E，过 B、E、F 三点的圆的圆心为 D， 如果A66，那么B 16 【思路点拨】首先连接 DE，由过 D、A、C 三点的圆的圆心为 E，过 B、E、F 三点的圆的圆心为 D，根 据圆内接四边形的性质可得：C+AED180，继而可求得C90+B，又由三角形内角和 定理，即可求得答案 【答案】解：连接 DE， 过 D、A、C 三点的圆的圆心为 E， C+AED180， 过 B、E
15、、F 三点的圆的圆心为 D， BEDB， AED180B， C90+B， 11 / 23 A+C+B180， 66+90+B+B180， 解得：B16 故答案为：16 【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意 数形结合与方程思想的应用 14 （4 分） （2020松北区一模）在O 中，半径 OA1，AB、AC 为弦，AB，AC，则BAC 15或 75 【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理可得 【答案】解：分别作 ODAB，OEAC，垂足分别是 D、E OEAC，ODAB，根据垂径定理得 AEAC，ADAB， sinAOE，sinAOD， 根据特殊角
16、的三角函数值可得AOE60，AOD45， BAO45，CAO906030， BAC45+3075， 或BAC453015 故答案为：15或 75 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理注意要考虑到两种情况 15 （4 分） （2020望花区二模）如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆 12 / 23 心角为 120圆弧多次复制并首尾连接而成，现有一点 P 从 A（A 为坐标原点） ，以每秒米的速度沿 曲线向右运动，则在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为 0 【思路点拨】先计算点 P 走一个的时间，得到点 P 纵坐标的规律：以 1，0，1，0 四个数为一个周
17、 期依次循环，再用 20204505，得出在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为是 0 【答案】解：点运动一个用时为2 秒 如图，作 CDAB 于 D，与交于点 E 在 RtACD 中，ADC90，ACDACB60， CAD30， CDAC21， DECECD211， 第 1 秒时点 P 运动到点 E，纵坐标为 1； 第 2 秒时点 P 运动到点 B，纵坐标为 0； 第 3 秒时点 P 运动到点 F，纵坐标为1； 第 4 秒时点 P 运动到点 G，纵坐标为 0； 第 5 秒时点 P 运动到点 H，纵坐标为 1； ， 点 P 的纵坐标以 1，0，1，0 四个数为一个周期依次循环， 2020450
18、5， 第 2020 秒时点 P 的纵坐标为是 0 故答案为 0 13 / 23 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点 P 纵坐标的规律：以 1，0，1，0 四个 数为一个周期依次循环也考查了垂径定理 16 （4 分） （2020牡丹江）在半径为的O 中，弦 AB 垂直于弦 CD，垂足为 P，ABCD4，则 SACP 或或 【思路点拨】如图 1，作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，连结 OD、OB，如图，根据垂径定理得到 AE BEAB2，DFCFCD2，根据勾股定理在 RtOBE 中计算出 OE1，同理可得 OF1，接 着证明四边形 OEPF 为正方形，于是得到 PAP
19、C1，根据三角形面积公式求得即可 【答案】解：作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，连结 OD、OB， 则 AEBEAB2，DFCFCD2， 如图 1， 在 RtOBE 中，OB，BE2， OE1， 同理可得 OF1， ABCD， 四边形 OEPF 为矩形， PEPF1， PAPC1， SAPC； 如图 2， 14 / 23 同理：SAPC； 如图 3， 同理：SAPC； 故答案为：或或 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股 定理 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2019 秋中山市期末）如
20、图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，如果 AB10，CD 8，求线段 AE 的长 【思路点拨】利用直径 AB10，则 OCOA5，再由 CDAB，根据垂径定理得 CEDECD4， 然后利用勾股定理计算出 OE，再利用 AEOAOE 进行计算即可 【答案】解：连接 OC，如图， AB 是O 的直径，AB10， OCOA5， CDAB， CEDECD84， 在 RtOCE 中，OC5，CE4， OE3， 15 / 23 AEOAOE532 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理 18 （8 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，AE
21、 为弦，C 为的中点，CDAB 于点 D，交 AE 于点 F，BC 交 AE 于点 G求证：AFFC 【思路点拨】首先证明BCAF，再同角的余角相等证明BACE，进而得到CAFACF， 最后利用等边对等角可得到结论 AFCF 【答案】证明：点 C 是弧 AE 的中点， BCAE， AB 是O 的直径， ACB90， 即ACF+BCD90， CDAB， B+BCD90， 又ACF+BCD90， BACF BCAFACF， AFCF 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，解决此题的关键是证明BCAFACF 19 （8 分） （2019 秋香坊区校级期中）如图，AB 为O 的弦，半径 OC，OD 分别交
22、 AB 于点 E，F且 16 / 23 （1）求证：OEOF； （2）作半径 ONAB 于点 M，若 AB8，MN2，求 OM 的长 【思路点拨】 （1）连接 OA、OB，证明AOEBOF（ASA） ，即可得出结论； （2）连接 OA，由垂径定理得出 AMAB4，设 OMx，则 OAONx+2，在 RtAOM 中，由勾 股定理得出方程，解方程即可 【答案】 （1）证明：连接 OA、OB，如图 1 所示： OAOB， AB， ， AOEBOF， 在AOE 和OBF 中， AOEBOF（ASA） ， OEOF； （2）解：连接 OA，如图 2 所示： OMAB， AMAB4， 设 OMx，则 OA
23、ONx+2， 在 RtAOM 中，由勾股定理得：42+x2（x+2）2， 17 / 23 解得：x3， OM3 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理， 勾股定理等知识；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键 20 （10 分） （2020 春福田区校级期中）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，C（4， 3） （1）请画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1、B1的坐标； （2）请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2BC2； （3）求出（2）中线段 BC 所扫过的面积（结
24、果保留根号和） 【思路点拨】 （1）分别作出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）分别作出点 A、C 绕点 B 逆时针旋转 90后所得对应点，再顺次连接可得； （3）根据扇形面积公式计算可得线段 BC 所扫过的面积 【答案】解： （1）根据关于 x 轴对称点的坐标特点可知：A1（2，4） ，B1（1，1） ，C1（4，3） ，如 图，连接 A1、B1、C1即可得到A1B1C1 18 / 23 （2）如图，A2BC2即为所求： （3）由题可得 BC，CBC290， 线段 BC 所扫过的面积 【点睛】本题主要考查作图轴对称变换、旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变
25、换，得到 变换后的对应点 21 （10 分） （2020河北区一模）四边形 ABCD 内接于O，AC 为其中一条对角线 （）如图，若BAD70，BCCD求CAD 的大小； （）如图，若 AD 经过圆心 O，连接 OC，ABBC，OCAB，求ACO 的大小 19 / 23 【思路点拨】 （1）根据圆心角、弧、弦之间的关系解答； （2）连接 BD，根据圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质得到BACBDAOAC，根 据圆周角定理得到ABD90，计算即可 【答案】解： （1）BCCD， ， CADCABBAD35； （2）连接 BD， ABBC， BACBCA， OCAB， BACOCA， OA
26、OC， OACOCA， BACBCAOAC， 由圆周角定理得，BCABDA， BACBDAOAC， AD 是O 的直径， ABD90， ACO30 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握直径所对 的圆周角是直角是解题的关键 22 （12 分） （2020温州模拟）如图，AB 是 O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE 20 / 23 于点 F （1）求证：CFBF； （2）若 AD6，O 的半径为 5，求 BC 的长 【思路点拨】 （1）连接 ACAC，由圆周角定理得出ACB90，证出BACBCE；由 C 是弧 BD
27、 的 中点，得到DBCBAC，延长BCEDBC，即可得到结论； CFBF （2）连接 OC 交 BD 于 G，由圆周角定理得出ADB90，由勾股定理得出 BD8，由 垂径定理得出 OCBD，DGBGBD4，证出 OG 是ABD 的中位线，得出 OGAD3，求出 CGOCOG2，在 RtBCG 中，由勾股定理即可得出答案 【答案】 （1）证明：连接 AC，如图 1 所示： C 是弧 BD 的中点， DBCBAC， 在 ABC 中，ACB90，CEAB， BCE+ECABAC+ECA90， BCEBAC， 又 C 是弧 BD 的中点， 21 / 23 DBCCDB， BCEDBC， CFBF （2
28、）解：连接 OC 交 BD 于 G，如图 2 所示： AB 是 O 的直径，AB2OC10， ADB90， BD8， C 是弧 BD 的中点， OCBD，DGBGBD4， OAOB， OG 是ABD 的中位线， OGAD3， CGOCOG532， 在 RtBCG 中，由勾股定理得：BC2 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知识； 熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键 23 （12 分） （2019 秋江岸区校级月考）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 G 为弧 BC 上一 动点，CG 与 AB 的延长线交于点 F，连接
29、OD （1）判定AOD 与CGD 的大小关系为 AODCGD ，并求证：GB 平分DGF （2）在 G 点运动过程中，当 GDGF 时，DE4，BF，求O 的半径 22 / 23 【思路点拨】 （1）由垂径定理得出，由圆周角定理即可得出AODCGD；连接 BG、BC、 BD，由垂径定理得出，由圆周角定理得出BCDBGDBDC，由四边形 BDCG 为圆内接 四边形，得出BGFBDC，推出BGDBGF，即可得出结论； （2）由 SAS 证得BGDBGF，得出 BDBF4，由勾股定理得出 BE8，设O 的半径为 r，则 OE8r，在 RtODE 中， （8r）2+42r2，解得 r5 【答案】解：
30、（1）AODCGD；理由如下： AB 是O 的直径，弦 CDAB， ， AODCGD， 故答案为：AODCGD； 连接 BG、BC、BD，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB， ， BCDBGDBDC， 四边形 BDCG 为圆内接四边形， BGFBDC， BGDBGF， GB 平分DGF； （2）在BGD 和BGF 中， BGDBGF（SAS） ， BDBF4， BE8， 设O 的半径为 r，则 OE8r， 23 / 23 在 RtODE 中， （8r）2+42r2， 解得：r5，即O 的半径为 5 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性 质等知识；熟练掌握垂径定理、圆周角定理、证明三角形全等是解题的关键
