1、竞赛讲座 26 平面图形的面积平面图形的面积 1 关于面积的两点重要知识 （1）相似三角形的面积比等于相似比的平方 例 1（第 2 届美国数学邀请赛题）如图 40-1，在ABC 的内部选取一点 P，过 P 点 作三条分别与ABC 的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形 t1、t2 和 t3 的面 积分别为 4，9 和 49求ABC 的面积 解 设 T 是ABC 的面积，T1、T2 和 T3 分别是三角形 t1、t2 和 t3 的面积；c 是边 AB 的长， c1、 c2 和 c3 分别是平行于边 AB 的三个三角形 t1、 t2 和 t3 的边长 那么， 由四个三角形相似，得 （2）两边夹角
2、的三角形面积，灵活运用ABC 的面积公式 S=可以方便地解决一 些较难的面积问题 例 2 已知 P、Q、R、S 四点分别由四边形的四个顶点 A、B、C、D 同时开始沿四 边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图 40-2） ，已知 P 由 A 至 B，R 由 C 至 D 分别需要两秒钟；Q 由 B 至 C，S 由 D 至 A 分别需要 1 秒钟；问开 始运动后，经过多少时间，四边形 PQRS 的面积最小？ 解设 P 的速度是 Q 的速度是;R 的速度是,S 的速度是.在 t(0t1)秒时,AP= 设四边形 PQRS 和四边形 ABCD 的面积分别为 S、S. +得, +得, 当 t
3、=有极小值 答:经过秒后,四边形 PQRS 面积最小 下面是一个用不等式来证明相等问题的例子 例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部 的一点,证明:如果 2A=OP2+OQ2+OR2+OS2 那么 PQRS 是正方形并且 O 是它的中心 证明 如图 40-3，按题设有 此处无图 p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rsin+spsin pq+qr+rs+sp 依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号由取等号有 由取等号有 p=q=r=s 因此 PQRS 是正方形,O 是它的中心. 2.等积变换与面积法 等积变换的特点是利用图形之间的面
4、积相等或成比例的转换来解题 例 4(第 17 届苏联竞赛题)图 40-4 中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所 示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等 证明 如图:连 ME、NC. SNME=SCEM， MENC 若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得 这样，则 N 为 BE 中点 又 同理可证 例 5（第 9 届全俄中学竞赛题）如图 40-5 在凸五边形 ABCDE 中，对角线 CE 分别 交对角线 BD、AD 于 F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2： 3，求CFD 和ABE 的面积比 解 连 AF.CF：FG：GE=
5、2：2：3， SCFD：SDFG：SDEG=2：2：3. SCFD=S,则 SFDG=S，SDGF=S. 又 BF：FD=5：4，SBEF:SFDE=5：4 SBEF=(SFDG+SDEG)=S 又由 BF：FD=5：4，SABF:SAFD=5：4 SABE=SABFE-SBFE =（SABF+SAFG+SAGE）-SBFE =5S-S=S (AG:GD=1:1). 即 SCFD:SABE=8:15. 例6 六边形ABCDEF内接于O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a),求此六边形的面积. 分析 如果连 OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出 SAOB=SBOC=SCOD， S
6、DOE=SEOF=SFOA =SAOB+SBOC+SCOD+SDOE+SEOF+SFOA 从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等 积 的 新 的 六 边 形ABCDEF, 其 中 , O与 O 为 等 圆 , 且 AF=BC=DE=1,AB=CD=EF=把 AB,CD,EF分别向两方延长得交点 M、N、 P(如图 40-6(b),容易证明BAF=120等,从而MNP 为等边三角形. 例 7 （1962 年上海竞赛题） 已知ABCABC如图 40-7， AB=c,BC=a,CA=b,A、 B、C到 BC、CA、AB 的距离分别为 l、m、n.求证：la+mb+n
7、c=2SABC. 分析 欲证上述结论，只须证 SABC+SBCA+SCAB=SABC 我们试想,当ABC 收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将 ABC逐渐“收缩”为一点的过程中， 保持左边三项的面积始终不变， 那么问题便解决 了.为了保持ABC 面积不变，我们试用“等积”工具，设法使 A沿平行于 BC 的直 线运动，同样 B、C分别沿着平行于 CA、AB 的直线运动.而这三条分别平行于 BC、 CA、AB 的直线如能共点，即反映ABC可收缩为一点 证明 分别过 B，C作直线 BDCA，CDBA，直线 CD 交 BD 于 D、交 BC 于 E 则CDB=BAC，又ABCABC，
8、 BAC=BAC=CDB 这说明 C、 D、 A、 B四点共圆， ADCABC ABCDEC，ADBC 过 D 分别作 DLBC 于 L，DMCA 于 M，DNAB 于 N，连 DA、DB、DC、 则由 DABC、DBCA，DCAB，得 DL=，DM=，DN= 于是a+mb+nc=DL BC+DM AC+DN AB=2（SDBC+SDCA+SDAB）=2S ABC. 有些看似与面积无关的几何问题，如能够巧妙地引入面积关系，便可迅速求解，这 就是所谓的“面积法” 例（美国数学竞赛题）在一个给定的角内，任决地给定一点，过作一直线 交定角的两边于、两点（如图） ，问过作怎样的直线才能使最大？ 解设，
9、、的面积分别为、，则 于是 因此 但， 当 =90时,sin 取得最大值 1,因此当过 P 点的直线与 OP 垂直时,达到最大值 3 杂题 竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题， 一般采用简化图形或根据题意构造适当 的图形来处理 例 9（1987 年全俄中学生竞赛题）凸四边形 ABCD 的面积为 S.K、L、M、N 分别 是 AC、AD、BC 和 BD 的中点证明：SKLNMS 证明 设 P、Q 分别是 AB、CD 的中点（如图） 注意到 PLQM、MKNL 都 是平行四边形，且 SKLNMS，因此，只须证明 KLNM 含于 PLQM 内 设 PL、MQ 分别交 AC 于 E、F，则点 K 位
10、于 E、F 之间若不然，例如点 K 在线 段 AE 上，则有，因，故有关系式 ，矛盾同理也不能在之间，于是 在内同样可证也在内，由此得 例（第届全苏中学生竞赛题）点在锐角的边上，作 和的外接圆问当点在什么地方时，两外接圆公共部分的面积最小？ 解 设、分别是和外接圆的圆心两外接圆的公共部分面 积是两个以为公共弦的弓形面积之和，可以考虑保时弓形的面积最小 注意到 常数 常数 因此， 研究当弓形所对的圆心角固定时， 弓形面积与弓形弦的关系 设圆心角为 ， 弓形弦长为，那么弓形的面积为 由此可见，上图中若越小，则每个弓形的面积越小、所以当是的 高，即，为垂足时，两外接圆公共部分的面积最小 例 设、为半
11、径等于的上任意两点，若过、的任意线段或曲线 段将面积平分，则的长必不小于 证明 若为的直径，且为直线时，显然将面积平分，这时 若是的直径，不是直线时，则，即 若不是的直径，如图，作平行于的直径，作关于 的对称点，必在上，连，易知为的直径由曲线平分 知，上必有点与、在的异侧取这样的一点，并连结、， 交于，连、，则 据此易证 综上得，即的长必不小于 最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧三角形的剖分 将任意 的三边、分别分成等分，然后过这些分点作平行于其他两边 的直线，这样将分成若干个全等的小三角形（如图）的手续， 叫做对进行剖分究竟分成多少等分，则视需要而定 例（年全国数学竞赛题）为的边上任一点，作 ，设的面积等于求证：、四边 形的面积中，至少有一个不小于 证明 如图，作的剖分这时每一个小三角形的面积均等于 显然，如果点在线段上变动时，完整地盖住了四个小三角形，因 此的面积对称地，如果点落在线段上，则的面积 余下的只须讨论点在线段内变动的情形，利用平行线的基本性质可证 这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积又因为 ， 这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等 将四边形中剪下来再拼到上； 把剪下来再拼 到上，我们看出：