1、竞赛讲座 25 绝对值与二次根式绝对值与二次根式 1 绝对值 例 1 （1986 年扬州初一竞赛题）设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15.对 于满足 px15 的 x 的来说，T 的最小值是多少？ 解由已知条件可得 T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x. 当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时，T=30-15=15，故 T 的最小值是 15. 例 2 若两数绝对值之和等于绝对值之积， 且这两数都不等于 0.试证这两个数都 不在-1 与-之间. 证 设两数为 a、b，则|a|+|b|=|a|b|. |b|=|a|b
2、|-|a|=|a|（|b|-1）. ab0，|a|0，|b|0. |b|-1=0，|b|1. 同理可证|a|1. a、b 都不在-1 与 1 之间. 例 3 设 a、b 是实数，证明 |a|-|b|a+b|a|+|b|. 证明 当|a|-|b|0 时，|a|-|b|a+b|成立. 当|a|-|b|0 时，由于 （|a|-|b|）2-|a+b|2 =（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab） =-2（|ab|-ab）0， |a|-|b|a+b|. 同理可证|a+b|a|+|b|. 2 根式 在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设 参法、公式法等等，现举例
3、如下： （1） 配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成 完全立方式. 例 4 (1981 年宁波初中竞赛题)设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值. 解 =4-=2+(2-), 故 x=2,y=2-, x+y+ =4-+2+=6. 例 5 化简 解 原式= =|x+3|+|x-1|-|x-2|. 令 x+3=0，x-1=0，x-2=0.得 x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分： 当 x-3 时 原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4； 当-3x1 时， 原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2； 当 1x2 时， 原式=（x
4、+3）+（x-1）+（x-2）=3x； 当 x2 时， 原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4. 说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技 巧. 例 6 化简（a0）. 解 原式= = = a0. a22b2， 原式= 例 7 求证： 证明： = 原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例 8 已知求证: (x+y+z)3=27xyz. 证明: 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得（x+y+z）3=27xyz. 例 9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 A+B= = = 由 A+B=a， 得 （2）
5、比较系数法 例 10 求满足条件的自然数 a、x、y. 解 将等式两边平方得 x、y、a 都是自然数. 只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾. x+y=a，xy=6. 由条件可知 xy 且 x、y 是自然数. 当 x=6 时，y=1，得 a=7. 当 x=3 时，y=2，得 a=5. 故 x=6,y=1,a=7. 或 x=3,y=2,a=5. 例 11 化简 分析 被开方式展开后得 13+2,含有三个不同的根式,且系数都是 2,可看成是将平方 得来的. 解 设 =, 两边平方得 13+2 =x+y+z+2 比较系数,得 由有，代入，得代入，得 y2=52，y=5（x、y、z 非负） ，
6、=1， 原式=1+ （4）设参法 例 12 （1986 年数理化接力赛题） 设（a1，a2，an，b1，b2，bn 都是正数）.求证: = 证明 设 且 a1=b1k,a2=b2k,，an=bnk. 左边= = 右边= = 左边=右边 （5）公式法、代数变换及其他 例 13 已知 x=求 x3+12x 的值. 解 由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得 =8-3 =8-12x. x3+12x=8. 例 14 设 求 x4+y4+（x+y）4. 解 由条件知 x+y=5，xy=1. 原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4 =(x+y)2-2xy2-2x2y2+(x+y)4
7、 =(25-2)2-2+54 =1152. 例 15 (1978 年罗马尼亚竞赛题)对于 aR，确定的所有可能的值. 解 记 y=. 先假定 a0，这时 y0，把两边平方得 即 再平方，整理后得 从而 0. 由知 y22a2+2-2=2. 再由知 y21，0y1. 反过来,对于0,1中的每一个 y 值,由可以定出 a，并且这时 2a2+2-y20，故可由 逆推出和，因而在 a0 时，的值域为（0，1）. 同样在 a0 时，的值域为（-1，0） ，综上的值域是（-1，1）. 练习十七 1 选择题 （1）若实数 x 满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（ ）. （A）x-1（B）1-x（C）
8、（x-1） （D）1（E）-1 （2）方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的积为（ ）. （A）-6 （B）3 （C）-3 （D）6 （E）-18 （3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的 a、b 的值（ ）. （A） 不存在 （B）有一组 （C）有二组 （D）多于二组 2 空题 （1） 已知|x-8y|+（4y-1）2+则 x+y+z=_. （2） 若 abc0，l1=乘积中最小的一个是_. （3） 已知 0 x1，化简 （4） 已知则 （ 5 ） （ 北 京 市 1989 年 高 一 数 学 竞 赛 题 ） 设 x 是 实 数 ， 且 f （ x ） =|x+1|+|x+
9、2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于_. 3.化简(a0). 4.已知 ab0，a2+b2=a2b2，化简 5如果 x0，y0，且试求的值. 6 （第 8 届美国教学邀请赛试题） 求的值. 7求适合下列各式的 x、y； （1）若 x、y 为有理数，且 （2）若 x、y 为整数， 8已知求证 a2+b2=1. 9已知 A=求证 11A3-B312A3+B313. 10 （1985 年武汉初二数学竞赛题）已知其中 a、b 都是正数. （1） 当 b 取什么样的值时，的值恰好为 b？ （2） 当 b 取什么样的值时，的值恰好为？ 练习十七 1.略 2 （1）3 （2）l （3）2x （4）a2-2 （5）6. 当时，当时， ，若，原式；若 ，原式 原式 原式 （） （），；， 由 条 件 知 两 边 平 方 后 整 理 得 再 平 方 得 1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0 即 1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,1-(a2+b2)2=0,a2+b2=1. 9.A2+B2=6,AB=2,(A+B)2=1,A+B=,A-B=,A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)= 当 b0 时，原式值为 b， 当 0b1 时，原式值为