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2018-2019学年浙教版九年级上数学4.1比例线段(3)同步导学练(含答案)

1、4.1 比例线段(3)黄金比为 0.618,黄金分割是分一条线段,黄金比是一个比值,注意它们的区别215和联系1.已知线段 a=4,b=16,线段 c 是 a,b 的比例中项,那么 c 等于(B).A.10 B.8 C.-8 D.82.已知 C 是线段 AB 上的一个点,且满足 AC2=BCAB,则下列式子成立的是(B).3.美是一种感觉,当人体的下半身长与身高的比值接近 0.618 时会给人一种美感.已知某女士身高 160cm,下半身长与身高的比值是 0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度约为(D).A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm4.已知 P,Q 是线段 AB

2、 的两个黄金分割点,且 AB=10cm,则 PQ 长为(C).A.5( -1) B.5( +1) C.10( -2) 555D.5(3- )5.如图所示,P 是线段 AB 的黄金分割点,且 PAPB,如果 S1表示以 PA 为一边的正方形的面积,S 2表示长为 AB、宽为 PB 的矩形的面积,那么 S1与 S2之间的大小关系是(A).A.S1=S2 B.S 1S 2 C.S 1S 2 D.不能确定(第 5 题) (第 7 题)6.已知线段 a=9,c=4,如果线段 b 是 a,c 的比例中项,那么 b= 6 .7.为了弘扬雷锋精神,某中学准备在校园内建造一座高 2m 的雷锋人体雕像,向全体师生

3、征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料,了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案,其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m(精确到 0.01m,参考数据1.414, 1.732, 2.236).2358.已知 C 是线段 AB 的黄金分割点,且 ACBC,BC=3- ,则 AB 的长为 2 59.已知 C,D 是线段 AB 的黄金分割点,AB=10,求线段 AC 与 CD 的长.(第 9 题)【答案】C,D 是线段 AB 的黄金分割点,AC= AB=5 -5,BD= AB=5 -2152155.AD=AB-BD=15-5 .CD=

4、AC-AD=5 -5-(15-5 )=105-20.5(第 10 题)10.如图 1 所示为一张宽与长之比为 的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.按215图 2 所示的折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形EFDC,那么矩形 EFDC 还是黄金矩形吗?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由【答案】矩形 EFDC 是黄金矩形.理由如下:四边形 ABEF 是正方形,AB=DC=AF. = , = ,即 F 是线段 AD 的黄金分割点. =ADB215A215AFD= . = .矩形 EFDC 是黄金矩形.F215C11.乐器上的一根琴弦 AB=60cm,两个

5、端点 A,B 固定在乐器板面上,支撑点 C 是 AB 的黄金分割点(ACBC) ,则 AC 的长为(C).A.(90-30 )cm B.(30+30 )cm C.(30 -30)cm D.(30 -60)cm555512.如图所示,P 为线段 AB 的黄金分割点(PBPA) ,四边形 AMNB、四边形 PBFE 都为正方形,且面积分别为 S1,S 2.四边形 APHM、四边形 APEQ 都为矩形,且面积分别为 S3,S 4.下列说法中,正确的是(B).A.S2= S1 B.S 2=S3 C.S 3= S4 D.S4= S15 21525(第 12 题) (第 14 题)13.已知线段 AB 及

6、 AB 上一点 P,P 为 AB 的黄金分割点.给出下列结论:AP 2=ABPB;AP= AB;PB= AB; = ; = .其215253PBA215APB215中正确的是(A).A. B. C. D.14.顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示,五边形 ABCDE 的 5 条边相等,5个内角相等,则图中的黄金三角形有 20 个15.(1)我们知道,将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP,PB,使 APPB,点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 BP,且 = ,点 P 就是线段 AB 的黄金分割点,此时 的值ABAB为 .25(2)如图所示,在 RtABC 中,B=90,

7、AB=2BC,现以点 C 为圆心、CB 长为半径画弧交边 AC 于点 D,再以点 A 为圆心、AD 长为半径画弧交边 AB 于点 E.求证:E 是线段 AB 的黄金分割点.(第 15 题)【答案】(1) 215(2)设 BC=a,则 AB=2a,AC= a.由题意得 CD=BC=a,AE=AD= a-a,BE=AB-AE=3a-55a.5 = , = . = ,即 E 是线段 AB 的黄金分割点.ABE2121AB(第 16 题)16.如图所示,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,BOC=108,过点 C 作直线 CD 分别交直线 AB 和O 于点 D,E,连结 OE,DE=12AB,OD=

8、2(1)求CDB 的度数(2)我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比 215写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由.求弦 CE 的长.在直线 AB 或 CD 上是否存在点 P(点 C,D 除外) ,使POE 是黄金三角形?若存在,画出点 P,简要说明画出点 P 的方法(不要求证明) ;若不存在,说明理由【答案】(1)AB 是O 的直径,DE= AB,OA=OC=OE=DE.则EOD=CDB,OCE=OEC.21设CDB=x,则EOD=x,OCE=OEC=2x.BOC=108,CDB+OCD=108.x+2x=108,x=3

9、6.CDB=36.(2)有三个:DOE,COE,COD.OE=DE,CDB=36,DOE 是黄金三角形.COD 是黄金三角形,OCOD= .OD=2,OC= -1.CD=OD=2,DE=OC= -215551.CE=CD-DE=2-( -1)=3- .5(第 16 题答图)存在,有三个符合条件的点 P1,P 2,P 3,如答图所示,以 OE 为底边的黄金三角形:作OE 的垂直平分线分别交直线 AB,CD 得到点 P1,P 2;以 OE 为腰的黄金三角形:点 P3 与点A 重合.17.【山西】宽与长之比是 (约 0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富215的美学价值,给我们以协调和匀

10、称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD,分别取 AD,BC 的中点 E,F,连结 EF;以点 F 为圆心、FD 为半径画弧,交 BC的延长线于点 G;作 GHAD ,交 AD 的延长线于点 H,则下列矩形中,属于黄金矩形的是(D).(第 17 题)A.矩形 ABFE B. 矩形 EFCD C. 矩形 EFGH D.矩形 DCGH18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠玉,生活中到处可见黄金分割的美.如图所示,线段 AB=1,点 P1 是线段 AB 的黄金分割点( AP1BP1 ) ,点 P2 是线段 AP1的黄金分割点(AP2P1P2) ,

11、点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点(AP3P2P3)依此类推,则 APn 的长度是 ( ) n 253(第 18 题)19.如图 1 所示,点 C 将线段 AB 分成两部分,若 = ,点 C 为线段 AB 的黄金分割AB点某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线,给出“黄金分割线”的定义:直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 S1,S 2,如果 = ,那么称直线12Sl 为该图形的黄金分割线如图 2 所示,在ABC 中,D 是 AB 的黄金分割点(1)研究小组猜想:直线 CD 是ABC 的黄金分割线,你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角

12、形的黄金分割线?(3)研究小组探究发现:过点 C 作直线交 AB 于点 E,过点 D 作 DFCE,交 AC 于点F,连结 EF(如图 3 所示) ,则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线.请你说明理由(第 19 题)【答案】(1)直线 CD 是ABC 的黄金分割线.理由如下:D 是 AB 的黄金分割点,= . ,.ABD直线 CD 是ABC 的黄金分割线.(2)三角形 AB 边的中点 D把 AB 分成相等的两条线段,即 AD=BD,.三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.(3)DFCE,S FDE =SFDC ,S DEC =SFEC .S AEF =SADC ,S 四边形 BEFC=SBDC .直线 EF 是ABC 的黄金分割线 .