1、4.1 比例线段（3）黄金比为 0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别215和联系1.已知线段 a=4，b=16，线段 c 是 a，b 的比例中项，那么 c 等于(B).A.10 B.8 C.-8 D.82.已知 C 是线段 AB 上的一个点，且满足 AC2=BCAB，则下列式子成立的是(B).3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近 0.618 时会给人一种美感.已知某女士身高 160cm，下半身长与身高的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D).A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm4.已知 P，Q 是线段 AB
2、 的两个黄金分割点，且 AB=10cm，则 PQ 长为(C).A.5（ -1） B.5（ +1） C.10（ -2） 555D.5（3- ）5.如图所示，P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，如果 S1表示以 PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长为 AB、宽为 PB 的矩形的面积，那么 S1与 S2之间的大小关系是(A).A.S1=S2 B.S 1S 2 C.S 1S 2 D.不能确定（第 5 题） （第 7 题）6.已知线段 a=9，c=4，如果线段 b 是 a，c 的比例中项，那么 b= 6 .7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2m 的雷锋人体雕像，向全体师生
3、征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m（精确到 0.01m，参考数据1.414， 1.732， 2.236）.2358.已知 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，BC=3- ，则 AB 的长为 2 59.已知 C，D 是线段 AB 的黄金分割点，AB=10，求线段 AC 与 CD 的长.（第 9 题）【答案】C，D 是线段 AB 的黄金分割点，AC= AB=5 -5，BD= AB=5 -2152155.AD=AB-BD=15-5 .CD=
4、AC-AD=5 -5-（15-5 ）=105-20.5（第 10 题）10.如图 1 所示为一张宽与长之比为 的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按215图 2 所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形EFDC，那么矩形 EFDC 还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由【答案】矩形 EFDC 是黄金矩形.理由如下：四边形 ABEF 是正方形，AB=DC=AF. = ， = ,即 F 是线段 AD 的黄金分割点. =ADB215A215AFD= . = .矩形 EFDC 是黄金矩形.F215C11.乐器上的一根琴弦 AB=60cm，两个
5、端点 A，B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是 AB 的黄金分割点（ACBC） ，则 AC 的长为(C).A.（90-30 ）cm B.（30+30 ）cm C.（30 -30）cm D.（30 -60）cm555512.如图所示，P 为线段 AB 的黄金分割点（PBPA） ，四边形 AMNB、四边形 PBFE 都为正方形，且面积分别为 S1，S 2.四边形 APHM、四边形 APEQ 都为矩形，且面积分别为 S3，S 4.下列说法中，正确的是(B).A.S2= S1 B.S 2=S3 C.S 3= S4 D.S4= S15 21525（第 12 题） （第 14 题）13.已知线段 AB 及
6、 AB 上一点 P，P 为 AB 的黄金分割点.给出下列结论：AP 2=ABPB；AP= AB；PB= AB； = ； = .其215253PBA215APB215中正确的是(A).A. B. C. D.14.顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5个内角相等，则图中的黄金三角形有 20 个15.（1）我们知道，将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP，PB，使 APPB，点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 BP，且 = ，点 P 就是线段 AB 的黄金分割点，此时 的值ABAB为 .25（2）如图所示，在 RtABC 中，B=90，
7、AB=2BC，现以点 C 为圆心、CB 长为半径画弧交边 AC 于点 D，再以点 A 为圆心、AD 长为半径画弧交边 AB 于点 E.求证：E 是线段 AB 的黄金分割点.（第 15 题）【答案】(1) 215(2)设 BC=a，则 AB=2a，AC= a.由题意得 CD=BC=a，AE=AD= a-a，BE=AB-AE=3a-55a.5 = ， = . = ，即 E 是线段 AB 的黄金分割点.ABE2121AB（第 16 题）16.如图所示，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BOC=108，过点 C 作直线 CD 分别交直线 AB 和O 于点 D，E，连结 OE，DE=12AB，OD=
8、2（1）求CDB 的度数（2）我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比 215写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.求弦 CE 的长.在直线 AB 或 CD 上是否存在点 P（点 C，D 除外） ，使POE 是黄金三角形？若存在，画出点 P，简要说明画出点 P 的方法（不要求证明） ；若不存在，说明理由【答案】(1)AB 是O 的直径，DE= AB，OA=OC=OE=DE.则EOD=CDB，OCE=OEC.21设CDB=x，则EOD=x，OCE=OEC=2x.BOC=108，CDB+OCD=108.x+2x=108，x=3
9、6.CDB=36.(2)有三个：DOE，COE，COD.OE=DE，CDB=36，DOE 是黄金三角形.COD 是黄金三角形，OCOD= .OD=2，OC= -1.CD=OD=2，DE=OC= -215551.CE=CD-DE=2-（ -1）=3- .5（第 16 题答图）存在，有三个符合条件的点 P1，P 2，P 3，如答图所示，以 OE 为底边的黄金三角形：作OE 的垂直平分线分别交直线 AB，CD 得到点 P1，P 2;以 OE 为腰的黄金三角形：点 P3 与点A 重合.17.【山西】宽与长之比是 （约 0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富215的美学价值，给我们以协调和匀
10、称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取 AD，BC 的中点 E，F，连结 EF；以点 F 为圆心、FD 为半径画弧，交 BC的延长线于点 G；作 GHAD ，交 AD 的延长线于点 H，则下列矩形中，属于黄金矩形的是(D).（第 17 题）A.矩形 ABFE B. 矩形 EFCD C. 矩形 EFGH D.矩形 DCGH18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图所示，线段 AB=1，点 P1 是线段 AB 的黄金分割点（ AP1BP1 ） ，点 P2 是线段 AP1的黄金分割点（AP2P1P2） ，
11、点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点（AP3P2P3）依此类推，则 APn 的长度是 （ ） n 253（第 18 题）19.如图 1 所示，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 = ，点 C 为线段 AB 的黄金分割AB点某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 = ，那么称直线12Sl 为该图形的黄金分割线如图 2 所示，在ABC 中，D 是 AB 的黄金分割点（1）研究小组猜想：直线 CD 是ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角
12、形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点 C 作直线交 AB 于点 E，过点 D 作 DFCE，交 AC 于点F，连结 EF（如图 3 所示） ，则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线.请你说明理由（第 19 题）【答案】(1)直线 CD 是ABC 的黄金分割线.理由如下：D 是 AB 的黄金分割点，= . ，.ABD直线 CD 是ABC 的黄金分割线.(2)三角形 AB 边的中点 D把 AB 分成相等的两条线段，即 AD=BD，.三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.(3)DFCE，S FDE =SFDC ，S DEC =SFEC .S AEF =SADC ，S 四边形 BEFC=SBDC .直线 EF 是ABC 的黄金分割线 .
