1、 倍长中线模型巩固练习倍长中线模型巩固练习(基础基础) 1. 如图，AD 为ABC 的中线 (1)求证：ABAC2AD (2)若 AB5，AC3，求 AD 的取值范围 【解答】(1)见解析；(2)1AD4 【解析】(1)证明：如图，延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE， AE2AD AD 是ABC 的中线，BDCD， 在BDE 和CDA 中，BDECDA(SAS)，BEAC， 在ABE 中，ABBEAE，ABAC2AD； (2)解：由可知 AE2AD，BEAC， 在ABE 中，ABBEAEABBE， AC3，AB5，53AE53， 22AD8，1AD4. 2. 如图，在ABC 中，AD
2、 平分BAC，且 BDCD求证：ABAC DCB A 2 1 E BC D A 【解答】见解析 【解析】证明：如图，延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE 在ADC 和EDB 中，ADCEDB(SAS)，ACEB，2E， AD 平分BAC，12，1E， ABBE，ABAC. 3. 如图，CB 是AEC 的中线，CD 是ABC 的中线，且 ABAC 求证：CE2CD；CB 平分DCE 【解答】见解析 【解析】证明：如图，延长 CD 到 F，使 DFCD，连接 BF D CB A 4 3 21 E C D B A ED C BA 由题意可得 CF2CD， CD 是ABC 的中线，BDAD，
3、在BDF 和ADC 中，BDFADC(SAS)，BFAC，3A， CB 是AEC 的中线，BEAB， ACAB，BEAC，BEBF， CBE 是ABC 的一个外角，CBEBCAABCA3， ACAB，BCACBA，CBECBA3CBF， 在CBE 和CBF 中，CBECBF(SAS)， CECF，45，CE2CD，CB 平分DCE. 4. 如图，在ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的延长线交 AC 于点 F求证： AEFEAF. 【解答】见解析 【解析】证明：如图，延长 AD 到 M，使 DMAD，连接 BM 5 4 E C A F B3 1 D 2 F
4、 E DC B A D 是 BC 边的中点， BDCD， 在ADC 和MDB 中，ADCMDB(SAS)， CADM，ACMB， BEAC，BEMB，MBEM，CADBEM， AEFBEM，CADAEF，即AEFEAF. 5. 如图，在ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EFAD 交 CA 的延长线于点 F，交 AB 于点 G， BGCF求证：AD 为ABC 的角平分线 【解答】见解析 【解析】证明：如图，延长 FE 到 M，使 EMEF，连接 BM M C D B E F A G F ED CB A 点 E 是 BC 的中点， BECE， 在CFE 和BME 中，
5、CFEBME(SAS)， CFBM，FM， BGCF，BGBM，3M，3F， ADEF，2F，13，12， 即 AD 为ABC 的角平分线 6. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，且 AFAB，已知 AD2.7，AE BE5，求 CE 的长 【解答】CE2.3 【解析】如图，延长 AF 交 BC 的延长线于点 G 3 2 1 M B G E DC A F F E D CB A 5 4 3 2 1 G A BC D E F ADBC，3G， 点 F 是 CD 的中点，DFCF， 在ADF 和GCF 中，ADFGCF(AAS)，ADCG， AD
6、2.7，CG2.7， AEBE，5B， ABAF，4590，BG90， 4G，EGAE5，CEEGCG52.72.3. 7. 如图，在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线上取一点 E，FEB 为等腰直角三角形，FEB90，连接 FD， 取 FD 的中点 G，连接 EG，CG求证：EGCG 且 EGCG 【解答】见解析 【解析】证明：如图，延长 EG，交 CD 的延长线于 M 由题意，FEB90，DCB90，DCBFEB180， EFCD，FEGM， 点 G 为 FD 中点，FGDG， G F E D CB A M A F EB G C D 在FGE 和DGM 中，FGEDGM(AAS)， E
7、FMD，EGMG， FEB 是等腰直角三角形，EFEB，BEMD， 在正方形 ABCD 中，BCCD，BEBCMDCD，即 ECMC， ECM 是等腰直角三角形， EGMG，EGCG，ECGMCG45，EGCG. 8. 如图，ABC 与BDE 均为等腰直角三角形，BAAC，EDBD，垂足分别为 A，D，连接 EC，F 为 EC 中 点，连接 AF，DF，猜测 AF，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由 【解答】AFDF 且 AFDF 【解析】AFDF，AFDF，理由如下： 延长 DF 交 AC 于点 P，如图所示： BAAC，EDBD，BACEDA90， DEAC，DECECA， F 为 EC 中点，EFCF， 在EDF 和CPF 中，EDFCPF(ASA)， DECP，DFPF， F E D CB A P F E D CB A ABC 与BDE 均为等腰直角三角形， ABAC，DEBD，ABBDACDEACCP，即 ADAP， 在DAF 和PAF 中，DAFPAF(SSS)， DFAPFA90，DAFPAF45，AFDF，AFDF.