1、几何最值之费马点巩固练习几何最值之费马点巩固练习( (基础基础) ) 1. 已知点 P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P 点叫ABC 的费马点。已经 证明：在三个内角均小于 120的ABC 中，当APBAPCBPC120时，P 就是ABC 的费马 点。若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PDPEPF . 【解答】 【解析】如图，在等腰 RtDEF 中， 过点 D 作 DMEF 于点 M，过 E、f 分别作MEPMFP30，则 EMDM1， ，解得，则， ， . 2. 如图， 点 P 为锐角ABC 的费马点， 且 PA3， PC4， ABC60，
2、 则费马距离为 . 【解答】 【解析】如图所示， APBBPCCPA120，ABC60， 1360，1260，2460， 14，23，BPCAPB， ，即， . 3. 已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、 B、 C 三点的距离之和的最小值为， 求此正方形的边长 【解答】2 【解析】如图，连接 AC，把AEC 绕着点 C 顺时针旋转 60 得到GFC，连接 EF、BG、AG， 易证EFG、AGC 都是等边三角形，则 EFCE， 又FGAE，AEBECEBEEFFG，如下图所示： 点 B、G 为定点，线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点距离之和的最小值，此时 E、F 两点都在 BG
3、 上， 设正方形的边长为 ，则， ， 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值是， ，解得. 4. 若点 P 为ABC 所在平面上一点，且APBBPCCPA120 ， 则点 P 叫做ABC 的费马点 (1) 若 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC60 ，PA3，PC4， 则 PB 的值为 ； (2)如图，在锐角ABC 的外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB 过ABC 的费马点 P，且 BBPAPB PC 【解答】(1)；(2)见解析 【解析】(1)PABPBA180 APB60 ，PBCPBAABC60 ， PABPBC， 又APBBPC120 ，ABP BCP， ； (2)设点 P
4、 为锐角ABC 的费马点，即APBBPCCPA120 如图，把ACP 绕点 C 顺时针旋转 60 到BCE，连结 PE，则EPC 为正三角形 BEC APC 120 ，PEC60 BECPEC180 即 P、E、B 三点在同一直线上， BPC120 ， CPE60 ，BPC CPE 180 ， 即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即 BB 过ABC 的费马点 P 又 PEPC，BE PA， BBE BPBPEPAPBPC 5. 如图，向ABC 外作等边三角形ABD，AEC.连接 BE，DC 相交于点 P，连接 AP. (1)证明：点 P 就是ABC 费马点； (
5、2)证明：PAPBPCBEDC； 【解答】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1)作 AMCD 于 M，ANBE 于 N，设 AB 交 CD 于 O，如图所示： ADB，ACE 都是等边三角形， ADAB，ACAE，DABCAE60， DABBAE， ADCABE(SAS)， CDBE，SDACSABE，ADCABE， AMCD，ANBE， ， AMAN， APMAPN， AODPOB， OPBDAO60， APNAPM60， APCBPCAPC120， 点 P 是就是ABC 费马点； (2)在线段 PD 上取一点 T，使得 PAPT，连接 AT，如图所示： APT60，PTPA， APT
6、是等边三角形， PAT60，ATAP， DABTAP60， DATBAP， ADAB， DATBAP(SAS)， PBDT， PDDTPTPAPB， . PAPBPCPDPCCDBE. 6. 如图，在MNG 中，点 O 是MNG 内一点，则点 O 到MNG 三 个顶点的距离和最小值是 . 【解答】 【解析】以 MG 为边作等边三角形MGD，以 OM 为边作等边OME，连接 ND，作 DFNM，交 M 的 延长线于 F，如图所示： MGD 和OME 是等边三角形 OEOMME，DMGOME60，MGMD， GMODME， 在GMO 和DME 中， GMODME(SAS)，OGDE， NOGOMODEOENO， 当 D、E、O、M 四点共线时，NOGOMO 值最小， NMG75，GMD60， NMD135， DMF45， MG3， ， NOGOMO 的最小值是.